Основні поняття квантової механіки

РЕФЕРАТ

на тему:”Основні поняття квантової механіки”

План

1.2.1. Поняття стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.

1.2.2. Загальне (часове) рівняння Шредінгера.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

1.2.1. Подання стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови

У класичній механіці при одновимірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу tзадається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю або імпульсом частинки . Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

В фізиці мікрочастинок через наявність у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Установити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. У квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.

Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля. Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається . Хвильова функція не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються у пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі.

Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.

За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції

(1.2.1)

де ― функція, комплексно спряжена до .

В досліді Девіссона і Джермера, схема якого показана на рис. 1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції

. (1.2.2)

З іншого боку величина цього струму пропорційна також об’єму детектора dV

(1.2.3)

З урахуванням (1.2.2) і (1.2.3) маємо:

. (1.2.4)

Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму гальванометра буде також пропорційною величині цієї імовірності

I = k₂dp. (1.2.5)

Прирівнявши рівності (1.2.4) і (1.2.5), одержимо:

. (1.2.6)

Завжди можна вибрати значення хвильової функції таке, щоб k₁=k₂.

Тоді (1.2.6) набуде вигляду

, (1.2.7)

звідки

. (1.2.8)

Квадрат модуля хвильової функції (1.2.8) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором в момент часу t. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.

При відомій хвильовій функції рівність (1.2.8) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об’ємі dV

. (1.2.9)

Якщо частинка знаходиться у довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто

dV =1. (1.2.10)

Умова (1.2.10) називається умовою нормування.

Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, оскільки через хвильові властивості мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. У квантовій механіці за допомогою хвильової функції визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. Зі сказаного випливає, що хвильова функція повинна задовольняти певні обмежувальні умови, які ще називаються стандартними умовами: вона має бути скінченою, однозначною і неперервною, тому що імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.

1.2.2 Загальне (часове) рівняння Шредінгера

У класичній механіці рівняння одновимірного руху частинки дозволяє одержати її координату x(t) і імпульс p(t) за їх початковими значеннями x(0) і p(0). Таким рівнянням руху є другий закон Ньютона.

(1.2.11)

де m ― маса частинки; ― прискорення руху частинки; ― градієнт потенціальної енергії, зміна якої визначається діючою силою.

З визначення квантового стану рівняння руху квантової частинки має задавати зміну в часі хвильової функції . Оскільки квантовий стан характеризує лише одна хвильова функція, то відповідне квантове рівняння руху повинно містити лише першу похідну за часом від хвильової функції. В інших випадках таке рівняння не буде погоджуватись з визначенням квантового стану .

Рівняння руху квантової нерелятивістської частинки в силовому полі називається рівнянням Шредінгера, тому що вперше в 1926 році воно було сформульовано німецьким фізиком Е. Шредінгером.

Справедливість цього рівняння обґрунтована тим, що всі висновки які випливають із нього, знайшли своє експериментальне підтвердження. Рівняння Шредінгера відіграє у квантовій механіці таку ж роль, як і рівняння Ньютона в класичній.

У загальному випадку часове рівняння Шредінгера має вигляд

(1.2.12)

де m ― маса частинки; ― потенціальна енергія частинки в сило-вому полі; ― уявна одиниця; ― стала Дірака; ― оператор Лапласа.

Через присутність в рівнянні Шредінгера (1.2.12) уявної одиниці хвильова функція , яка задовольняє це рівняння, завжди комплексна. Не кожна функція може бути розв’язком рівняння (1.2.12). Перш за все ця функція повинна бути скінченною, неперервною і мати неперервні перші похідні. Ці вимоги мають чисто математичний характер. Крім того ─ хвильова функція повинна бути однозначною, інакше буде порушений її статистичний зміст.

Рівняння Шредінгера за часом є лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння в частинних похідних повинно мати безліч розв’язків, причому таких, що всяка лінійна комбінація будь-якої сукупності розв’язків теж буде його розв’язком.

Слід зауважити, що рівняння Шредінгера, подібно до законів Ньютона в класичній механіці, не є результатом якогось теоретичного доведення, а є узагальненням багатьох дослідних фактів, встановлених при вивченні мікросвіту. Відмітимо також, що рівняння Шредінгера описує рух частинок, швидкість яких значно менша швидкості світла, оскільки співвідношення між кінетичною енергією й імпульсом справедливе лише при цих умовах. У релятивістському випадку для описання хвильових властивостей мікрочастинок слід користуватись іншими рівняннями, наприклад рівняннями Дірака або Клейна ― Гордона.

1.2.3 Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

Потенціальна енергія частинки залежить від координат x, y, z і часу t. Якщо потенціальна енергія U від часу не залежить і відповідно повна енергія також не змінюється з часом, то хвильову функцію можна подати у вигляді добутку двох співмножників

. (1.2.13)

Перший співмножник в (1.2.13) залежить лише від часу, а другий ― лише від координат ().

Розв’язки рівняння Шредінгера, а також стани частинок, для яких потенціальна енергія, а також густина імовірностей не змінюються з часом, називаються стаціонарними. Стаціонарні стани не виключають залежності хвильової функції від часу, а лише обмежують її гармонічним законом .

Підставляючи хвильову функцію (1.2.13) у рівняння Шредінгера (1.2.12) одержимо

.

Скоротимо цей вираз на експоненту:

, (1.2.14)

де ; Е ― повна енергія частинки; ― потенціальна енергія частинки, яка є функцією лише координат; ― хвильова функція; m ― маса частинки; ― стала Дірака ().

Стаціонарне рівняння Шредінгера (1.2.14) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку відносно координат x, y, z. У випадку, коли =0, це рівняння не має фізичного змісту. У рівнянні Шредінгера для стаціонарних станів є єдиний вільний параметр ― повна енергія частинки Е. При деяких значеннях повної енергії це рівняння може мати нульові розв’язки. Ті значення повної енергії, при яких рівняння (1.2.14) буде мати нульові розв’язки, називаються власними значеннями. Кожному такому власному значенню енергії відповідає свій розв’язок рівняння (1.2.14).

Стаціонарне рівняння Шредінгера дає не лише значення хвильової функції, але й значення цієї функції у стаціонарних станах.