Подвійний інтеграл його властивості

Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

План

• Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла
• Означення подвійного інтеграла
• Теорема існування
• Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі .

Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області .

Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:

(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .

Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).

Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує при :

Рис.11.1

. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так:

.

Отже, об’єм циліндричного тіла

. (11.3)

Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо на частин об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

(11.4)

Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом ¹⁾), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

Отже,

(11.5)

До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана ¹⁾ ми визначали для дуже простої множини – відрізку який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

Поняття про міру Жордана ¹⁾. В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо прямокутник з основою і висотою то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини і то

Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.

Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

Для трьохвимірних обмежених областей з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число , що задовольняє таким властивостям:

1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини і то

¹⁾ К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

Нехай в вимірному просторі задана обмежена область з кусково-гладкою границею і на(або на ) задана функція Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці і складемо суму

яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції що відповідає даному розбиттю.

Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум коли максимальний діаметр частинних множин ( ) і вона не залежить від вибору точок в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції на (або по ). Отже,

. (11.6)

Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання не має значення, оскільки де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .

2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

Будемо надалі вважати області із кусково-гладкими границями.

1⁰. Справедлива рівність

(11.7)

Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що

Але тоді

За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа в трьохвимірному – об’єм В - вимірному випадку формула (11.7) дає - вимірну міру

Нижче ми допускаємо, що для функцій , , , про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

2⁰. Справедлива рівність

(11.8)

де і константи.

3⁰. Якщо область з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини і то

(11.9)

4⁰. Якщо

то має місце нерівність

(11.10)

Доведення властивостей 3⁰ і 4⁰ аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.

5⁰. Справедлива нерівність

(11.11)

Дійсно, враховуючи, що отримаємо в силу (12.8) (при ) і (4.10)

тобто (11.11).

6⁰. Якщо то

(11.12)

константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

7⁰ . ( Теорема про середнє ). Нехай функція неперервна в замкнутій області яку ми будемо вважати зв’язною ¹⁾. Тоді існує точка така , що виконується рівність

(11.13)

Д о в е д е н н я. Оскільки функція неперервна в замкнутій області то вона досягає в цій області свого найменшого та найбільшого значень Тому

Інтегруючи ці нерівності по і використовуючи властивості 1⁰, 4⁰ , одержимо

. (11.14)

Із нерівностей (12.11) випливає

тобто число знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції В силу зв’язності існує неперервна крива, що належить ,

і яка з’єднує точки і тобто така крива, що

Функція

неперервна на відрізку (як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення .

Але тоді за теоремою про проміжне значення функції однієї змінної, існує таке , що в точці має місце рівність

що й доводить теорему.

¹⁾ Множина називається зв’язною, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить

Зауваження. Число називається середнім значенням неперервної функції в області .

Теорема існування. Якщо функція неперервна в замкнутій обмеженій області з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на так само, як і на і

(11.15)