Вивчення законів нормального розподілу Релея

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ДОНБАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра електронної техніки

ЗАТВЕРДЖУЮ

проректор по учбовій роботі

“ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ

І РОЗПОДІЛИ Релея”

Контрольна робота з фізики

Мета работы—вивчення законів розподілу різних випадкових процесів нормального шуму, гармонійного і трикутного сигналів з випадковими фазами, суми випадкових взаємно незалежних сигналів, аддитивної суміші гармонійного сигналу і шумової перешкоди, перевірка нормалізації розподілу при збільшенні числа взаємно незалежних доданків у випадковому процесі.

Теоретична частина

На відміну від детермінованих процесів, перебіг яких визначений однозначно, випадковий процес — це зміна в часі фізичної величини (струму, напруги і ін.), значення якої неможливо передбачити заздалегідь з вірогідністю, рівній одиниці.

Статистичні властивості випадкового процесу X{t) можна визначити, аналізуючи сукупність випадкових функцій часу {Xk(t)}, звану ансамблем реалізацій. Тут k—номер реалізації.

Миттєві значення випадкового процесу у фіксований момент часу є випадковими величинами. Статистичні властивості випадкового процесу характеризуються законами розподіли, аналітичними виразами яких є функції розподілу. Одновимірна інтегральна функція розподілу вірогідності випадкового процесу

Тут P{X(t1) <=x} - вірогідність того, що миттєве Значення випадкового процесу у момент часу t1 - прийме значення, менше або рівне x

Одновимірна диференціальна функція розподілу випадкового процесу або щільність вірогідності визначається рівністю

Аналогічно визначаються багатовимірні функції розподілу для моментів часу t1, t2 ...tn.

Одновимірна щільність вірогідності миттєвих значень суми взаємно незалежних випадкових процесів Z (t) = Y (t) +Х (t) визначається формулою

де W1x(x), W1y(y), W1z(z) - щільність вірогідності процесів X(t), Y(t), Z(t).

Найбільш поширеними функціями випадкового процесу (моментами) є:

середнє значення (перший початковий момент)

дисперсія (другий центральний момент)

Для стаціонарних випадкових процесів виконується умова

Статистичні характеристики стаціонарних випадкових процесів, що мають эродические властивості, можна знайти усереднюванням не тільки по ансамблю реалізацій, але і за часом одній реалізації Xk(t) тривалістю T:

середнє значення

дисперсія

інтегральна функція розподілу

де - відносний час перебування реалізації Xk(t) нижчий за рівень x;

щільність вірогідності

де - відносний час перебування реалізації Xk(t) в інтервалі

[x, x+x].D

Для нормального розподілу інтегральна функція і функція щільності і вірогідності мають наступний вигляд:

Опис лабораторної установки

Для виконання роботи необхідно використовувати універсальний стенд для вивчення законів розподілу випадкових процесів і електронний осцилограф.

Передня панель стенду

Стенд включає:

- сім джерел незалежних випадкових сигналів (одного шумового з нормальним розподілом, одного трикутного і п'ять гармонійних). Дисперсія випадкових сигналів регулюється відповідними потенціометрами ;

- перемикач досліджуваних законів розподілу (нормальний, Релея);

- перемикач роду робіт (для зняття статистичних характеристик mx, s_x2,а також інтегрального F(x) диференціального W(х) законів розподілу);

- регулятор рівня аналізу;

- регулятор глибини аналізу;

- індикатор рівня виходу;

- індикатор рівня аналізу;

- гнізда для підключення осцилографа;

- гніздо для заземлення стенду.

Блок схема стенду

1 - генератор трикутних імпульсів;

2 - генератор шуму;

3-7 - генератори гармонійних сигналів:

S - суматор;

- детектор;

ЕП - эммиторный повторитель;

ГПН - генератор постійної напруги;

ВС - верхній селектор;

РУ - регулятор рівня;

НС - нижній селектор;

ВУ - віднімаючий пристрій;

>- підсилювач;

ò- інтегратор;

І - індикатор;

Е0 - осцилограф.

Принцип роботи стенду

Апаратурний аналіз законів розподілу здійснюваний в лабораторній установці заснований на вимірювань відносного часу перебування реалізації в заданому інтервалі значення.

Суматор дозволяє отримувати сигнали з різними законами розподілу.

Необхідний рівень "х" при знятті законів розподілу після крапок встановлюють за допомогою потенціометра “постійна складова". Глибину аналізу " х” визначає потенціометр "рівень аналізу".

За допомогою амплітудних селекторів і формувачів виробляються прямокутні імпульси тривалість яких рівна часу перебування вхідного сигналу нижче за пороги селекції. Величина постійної складової на виході ВС пропорційна P{X(t)<=x} на виході НС - P{X(t) <=x-x}D, на виході ВУ:

Вимірювання постійною складовою здійснюється інтегратором, навантаженням якого є індикатор-прилад магнітно-електричної системи.

Порядок виконання роботи

1. Заземлити стенд і осцилографи.

2. Провести включення по дозволу викладача.

3. Встановити перемикач законів розподілу в положення "нормальне".

4. Включити генератор шуму і встановити ручку рівня сигналу в середнє положення.

5. Перемикач роду робіт (ПРР) встановити в положення "mx" і зняти величину математичного очікування.

6. Встановити ПРР в положення "s^2x" і зняти величину дисперсії випадкового процесу. (Всі значення зводите в таблицю )s

7. Встановити необхідний рівень "Dx".

8. Встановити ПРР в положення F(х) і зняти інтегральну функцію розподілу залежно від рівня аналізу для значень -3... +4 з кроком 1.

9. Встановити ПРР в положення “Wx” і зняти залежність функції щільності вірогідності “Wx” від рівня аналізу для значень згідно п.8.

10. Відключити генератор шуму і включити генератор трикутного сигналу. Повторити пп. 5...9.

11. Виконати п.10 для одного гармонійного сигналу.

12. Включити ще 2 гармонійних сигналу і повторити пп.5...9.

13. Включити все 5 генераторів гармонік і генератор трикутного сигналу і повторити пп. 5...9.

14. Встановити перемикач законів розподілу в положення "розподіл Релея". Повторити пп. 4...13.

Вказівки до звіту

Звіт повинен містити:

1) розрахунки дисперсій, законів розподілу сигналів;

2) функціональну схему аналізатора законів розподілу;

3) графіки розрахованих і зміряних функцій розподілу;

4) порівняння теоретичних і експериментальних результатів і аналіз можливих джерел погрішностей вимірювання;

5) виводи і оцінку отриманих результатів.

Контрольні питання

1. Які основні статистичні характеристики випадкових процесів вам відомі?

2. Дайте визначення стаціонарного випадкового процесу.

3. Визначите эргодическое властивість стаціонарного випадкового процесу.

4. Перерахуєте основні властивості інтегральної функції розподілу вірогідності.

5. Які статистичні властивості процесу характеризує одновимірна (багатовимірна) щільність вірогідності? Як вона вимірюється?

6. Які властивості має диференціальна функція розподілу?

7. Як визначають середнє значення і дисперсію випадкового эргодического процесу усереднюванням по ансамблю реалізацією і усереднюванням за часом?

8. Знайдіть щільність вірогідності миттєвих значенні гармонійного (трикутного) сигналу з випадковою рівноімовірною фазою. Результат поясните фізично.

9. Приведіть приклад дискретного эргодического випадкового процесу. Накреслите для нього графіки щільності вірогідності і функції розподілу вірогідності.

10. Дайте визначення одновимірної характеристичної функції розподілу вірогідності випадкового процесу.

11. Знайдіть диференціальний закон розподілу суми двох випадкових взаємно незалежних сигналів.

12. Знайдіть закони розподілу суми двох трикутних сигналів з випадковими взаємно незалежними початковими фазами.

13. Запишіть нормальний закон розподілу. Накреслите його графіки. Перерахуєте основні властивості нормального розподілу.

14 Сформулюйте центральну граничну теорему Ляпунова.

Література

[1, с. 132-144; 2, с. 76-98; 3, с. 166-174; 4, с. 403-421; 5, с. 83—88; 12;, с. 63—74, 183—188; 18].

1. Гонаровський і.С. Радіотехнічні ланцюги і сигнали -М.: Радянське радіо, 1977.

2, Зіновьев а.Л., Філіпів Л.І. Введеніє в теорію сигналів і ланцюгів — М.: Вища школа, 1975.

3. Баскаків С.І. Радіотехнічеськие ланцюги і сигнали.—М.: Вища школа, 1983.

4. Радіотехнічні ланцюги і сигналы/Под ред. К.А. Самойло - М.: Радіо і зв'язок 1982.

5. Гонаровський І.С. Радіотехнічеськие ланцюги і сигнали. - М.: Радянське радіо 1971.

12. Харкевіч А.А. Ізбранниє праці (у трьох томах) - М .. Наука 1973.