Перетворення кодів з однієї системи числення в іншу

Лабораторна робота №2

Тема: Перетворення кодів з однієї системи числення в іншу.

Мета: Отримати навички переведення натуральних чисел між системами числення з різними основами.

Завдання:

Згідно номера по списку в журналі викладача необхідно вибрати десяткове число K із табл. 1.

Таблиця 1 – Вихідні дані

Необхідно: перевести взяте з табл. 1 число K між десятковою, двійковою, вісімковою та шістнадцятковою системами числення.

Теоретичні дані:

Перш за все слід відзначити, що найбільш звичною системою числення для людини є десяткова система. Саме вона використовується у повсякденному житті: під час навчання, при розрахунках в магазині, в таксі/маршрутці/трамваї тощо. Крім десяткової системи числення для тих чи інших цілей можуть використовуватися двійкова і кратні до неї – вісімкова та шістнадцяткова – системи числення.

В теорії інформації, а саме в тій її частині, що стосується перетворення кодів з однієї системи числення в іншу, одним із основних є поняття алфавіту (позначається ) з основою .

Алфавіт – це множина цифр , за допомогою яких складається число .

В загальному вигляді поняття алфавіту можна представити у вигляді виразу:

(1)

де – загальна кількість цифр алфавіту .

Загальна кількість цифр алфавіту називається основою системи числення.

Існують різноманітні алфавіти, що відрізняються загальною кількістю цифр, які можуть використовуватися при складанні числа.

Для ілюстрації приведемо в табл. 2 вказані характеристики найбільш вживаних систем числення:

Таблиця 2 – Характеристики алфавітів найбільш поширених систем числення

^* – символи, які позначають в алфавіті цифри, які відповідають десятковим числам 10, 11, 12, 13, 14 та 15 відповідно.

Таким чином, в якості коректних двійкових чисел можна вказати такі: 100111, 111, 0, 10; тоді як число 100211 неможливе, адже в двійковому алфавіті немає цифри "2". З аналогічних причин можливі шістнадцяткові числа 106, E1F, 1BC, 589, проте неможливі 1I6, O04, 3P24.

Основа системи числення деякого числа вказується після нього у вигляді нижнього індексу, наприклад, запис 2009₁₀ означає десяткове число 2009.

Для зручності завдання на перекодування чисел з однієї системи числення в іншу запишемо у вигляді відповідності між їх основами: (пряме перекодування), або (пряме перекодування з подальшою перевіркою).

Для ілюстрації даного положення розглянемо три вирази:

1) = 7861₁₀, = ,

2) = 7861₁₀, = ,

3) = 7861₁₀, = .

Перший вираз слід інтерпретувати так: дано десяткове число 7861, його необхідно перекодувати з десяткової системи числення в двійкову, з якої в вісімкову, а потім число з вісімкової системи – у шістнадцяткову.

Другий вираз передбачає те саме, що і перший вираз, за винятком того, що після кожного прямого перекодування необхідно додатково виконати перевірку – зворотне перекодування.

Третій вираз вимагає переведення десяткового числа лише з десяткової системи числення у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову, відповідно, з виконанням перевірок після кожного перекодування.

З цифр алфавіту можна скласти велику кількість чисел :

, (2)

де –кількість цифр числа .

Порядковий номер цифр числа визначається справа наліво, починаючи з нуля і називається розрядом цифр. Таким чином в числі (2) є розрядів: від 0-го розряду (крайня цифра справа, також називається молодшим розрядом) до –1-го розряду (крайня цифра зліва, також називається старшим розрядом). Наприклад, можна розглядати як п’ятирозрядне двійкове число (нуль в старшому розряді можна не писати, тобто ).

Враховуючи, що у числі розрядів (цифр), а в алфавіті є цифр, можна визначити загальну кількість -розрядних чисел як:

(3)

Таким чином, наприклад, різних чотирьохрозрядних чисел в алфавіті можна отримати (адже , =2 та =4), а за допомогою алфавіту – вже чисел тієї ж розрядності.

Питання для самоперевірки засвоєння основних теоретичних положень:

– для числа = 2009 вкажіть кількість розрядів , кількість використаних цифр із алфавіту та основу прийнятої системи числення;

– для вісімкового числа 123456 вкажіть цифри, що знаходяться в першому, в останньому та в -му розрядах;

– вкажіть всі коректні числа із наступного списку, враховуючи множини цифр розглянутих вище алфавітів (див. табл. 2): 20₂, 10O₂, 456₁₆, 1011₂, 1011₈, 58₁₀, 58₁₆, 58₈, 15₁₆, 16₁₆, AІ98₁₆, 101₁₆, 1₀, 4СF₁₀, 4GF₁₆ (увага: можуть бути літери, які схожі на десяткові цифри);

– вкажіть коректні чотирирозрядні числа: 0011₂, 210FF₁₆, H₂O, 1021₈, 0222₁₀, H1N1_16, AD1A₈, 5A11F₁₆, 2222₂, 01101₈, 1714₈, 53C7₁₆;

– визначіть загальну кількість різних трирозрядних чисел, що може бути сформована за допомогою алфавітів , , та .

Вирішення задачі:

Для ілюстрації вирішення поставленої задачі, із табл. 1 вибрано десяткове число 234. З врахуванням викладеного вище матеріалу, умову поставленої задачі можна скорочено зобразити наступним чином:

Умова задачі: = 234₁₀, .

Розглянемо декілька способів перекодування чисел з однієї системи числення в іншу.

1-й спосіб перекодування чисел.

Перекодування чисел згідно з даним способом здійснюється за допомогою ділення числа на за допомогою арифметики з основою . Цифрами числа в системі числення з основою будуть залишки від ділення. Зручно користуватися цим способом при переведенні з десяткової системи числення () в будь-яку іншу, оскільки використовується десяткова арифметика.

Нижче проілюстрований порядок перекодування чисел з десяткової системи числення в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Умова 1: = 234₁₀, .

Виконаємо дане перекодування в три етапи, при цьому початкове число на цих етапах становить = 234₁₀:

1) , 2) , 3) .

Таким чином отримаємо = 234₁₀= 11101010₂ = 352₈ = EA₁₆.

2-й спосіб перекодування чисел.

Перекодування чисел згідно з даним способом здійснюється за допомогою множення цифр числа на основу системи числення в степені, що відповідає розряду кожної цифри в числі , тобто:

(4)

Даним способом зручно користуватися при переведенні в десяткову систему числення з інших систем, зважаючи на те, що при цьому використовується десяткова арифметика.

Виконаємо перевірку отриманих вище результатів перекодування з десяткової системи числення:

Умова 2: = 11101010₂ = 352₈ = EA₁₆, .

Перевірку здійснимо за три етапи:

1) = 11101010₂,

2) = 352₈,

3) = EA₁₆,

Всі три результати однакові і рівні взятому із завдання числу = 234₁₀. Це свідчить, що пряме перекодування чисел, що було виконано першим способом, дало правильні результати.

3-й спосіб перекодування чисел.

Даний спосіб доцільно використовувати при перекодуванні чисел між системами числення з основою , де (тобто основи систем, з якої і в яку переводиться число, повинні бути кратні 2).

Стосовно поставленої умови задачі, що вирішується, за допомогою цього способу може бути здійснено пряме перекодування числа попарно між двійковою, вісімковою та шістнадцятковою системами, а також виконано перевірку отриманих результатів.

Умова 3: = 11101010₂, .

Для виконання вказаного перекодування необхідно вміти поставити у відповідність будь-якій цифрі алфавітів та деяку послідовність цифр алфавіту . З цією метою далі приведена табл. 3, в якій кожній цифрі із систем числення з основами (, звідки ) та (, звідки ) відповідає послідовність із цифр двійкового алфавіту (-розрядне двійкове число).

Таблиця 3 – Відповідність цифр алфавітів та цифрам алфавіту .

^*У більшості випадків нулі в старших розрядах двійкових чисел ігноруються (наприклад, справедлива наступна рівність 000011₂ = 011₂ = 11₂). Таким чином, при тій чи іншій потребі, можна як додавати нулі в старші розряди, так і нехтувати зайвими нулями в старших розрядах двійкового числа.

Для перекодування необхідно, починаючи з 0-го розряду (крайня цифра справа), розбити двійкове число на групи цифр по розрядів в кожній (якщо кількість розрядів двійкового числа не кратна , для зручності можна дописати необхідну кількість нулів в старші розряди цього числа). Далі відбувається заміна кожної групи із двійкових цифр на одну цифру системи числення з основою згідно з наведеною вище табл. 3. Аналогічним чином відбувається зворотне перекодування чисел.

Таким чином, виконаємо перетворення з двійкової системи числення у вісімкову і шістнадцяткову та навпаки:

Умова 3.1: = 11101010₂, .

Такі перетворення виконуються за чотири етапи:

1) = 11101010₂, (пряме перекодування).

,

де 011₂ = 3₈, 101₂ = 5₈, 010₂ = 2₈ (див. табл. 3 враховуючи, що 8 та =3).

2) = 352₈, (перевірка результату першого етапу).

,

де 3₈ = 011₂, 5₈ = 101₂, 2₈ = 010₂ (див. табл. 3, враховуючи, що 8 та =3).

3) = 11101010₂, (пряме перекодування).

,

де 1110₂ = Е₁₆, 1010₂ = А₁₆ (див. табл. 3 враховуючи, що 16 та =4).

4) = ЕА₁₆, (перевірка результату третього етапу).

,

де Е₁₆ = 1110₂, А₁₆ = 1010₂ (див. табл. 3 враховуючи, що 16 та =4).

Отримавши навички щойно розглянутого перекодування чисел можна здійснити перекодування чисел з вісімкової системи в шістнадцяткову та навпаки. Це відбувається шляхом виконання перекодування з початкової системи числення в двійкову, а потім в кінцеву систему числення.

Умова 3.2: = 352₈, .

Таким чином, перевід заданого числа = 352₈ з вісімкової системи в шістнадцяткову вимагатиме виконання спочатку другого, а потім третього етапів вирішення щойно розглянутої умови 3.1. Для зворотного перекодування, в свою чергу, потрібно здійснити четвертий та перший етапи вирішення цієї ж умови.

Отже, здійснимо необхідні перекодування в два етапи:

1) = 352₈, (пряме перекодування).

,

де 3₈ = 011₂, 5₈ = 101₂, 2₈ = 010₂, 1110₂ = Е₁₆, 1010₂ = А₁₆ (див. табл. 3).

Нуль в старшому розряді двійкового числа ігнорується.

2) = ЕА₁₆, (перевірка результату першого етапу).

,

де Е₁₆ = 1110₂, А₁₆ =1010₂, 011₂ = 3₈, 101₂ = 5₈, 010₂ = 2₈ (див. табл. 3).

Висновок:

В процесі вирішення поставленої задачі були отримані навички перекодування натурального числа K = 234₁₀ між системами числення з основами m=2, m=8, m=10 та m=16, що дало наступні результати: 234₁₀ = 11101010₂ = 352₈ = ЕA₁₆. Виконана перевірка показала правильність отриманих результатів.