Прикладная механика

Задача 1

Для стального трубчатого вала , который оборачивается с постоянной угловой скоростью, требуется:

1. Определить, пренебрегая трением в подшипниках, мощность на шкиве P₀ .

2. Найти крутящиеся моменты, переданные каждым шкивом.

3. Построить эпюру моментов.

4. Из условия жесткости и крепости определить внутренний и внешний диаметры вала.

5. Построить эпюру углов закручивания по длине вала, приняв за недвижимый срез под первым левым шкивом.

Дано:

P₁ = 24 кВт; a = 1,2 м;α = 0,8; G = 0,9·10⁵Мпа.

P₂ = 32 кВт; b = 1,0 м; ω = 130 рад/с;

P₃ = 27 кВт; c = 0,4 м; [σ] = 180 МПа;

P₄ = 12 кВт; d = 1,0 м; [θ] = 3,0º;

Решение:

Схема вала приведена на Рис. 1.

Рис. 1. Вал

Определяем мощность на шкиву P₀ :

∑ P_i = P₁ – P₂ - P₀ + P₄ -P₀ = 0;

P₀ = P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 24 – 32 – 27 + 12 = - 23 кВт.

1. Определяем крутящиеся моменты на шкивах:

Т₁ = = = 0,185 кНм;

Т₂ = = = 0,246 кНм;

Т₃ = = = 0,207 кНм;

Т₄ = = = 0,092 кНм;

Т₀ = = = - 0,177 кНм.

2. Определяем крутящиеся моменты на участках вала:

Т_кр1 = Т₁ = 0,185 кНм;

Т_кр2 = Т₁ – Т₂ = 0,185 – 0,246 = - 0,061 кНм;

Т_кр3 = Т₁ – Т₂ – Т₀ = - 0,061 + 0,177 = 0,116 кНм;

Т_кр4 = Т₁ – Т₂ – Т₀ – Т₃ = 0,116 – 0,207 = - 0,091 кНм.

Строим епюру крутящих моментов. Максимальный крутящий момент на первом участке:

Т_крmax= 0,185 кНм.

3. Определяем диаметр вала из условия прочности:

τ =

[τ]= 0,6·[σ] = 0,6·180 = 108 Мпа.

Для трубчатого вала

W_p =

Тогда условие крепости будет

τ =

Из условия получаем

D = = = 24,25 мм.

Определяем диаметр вала из условия жесткости

Θ =;

I_p = .

Допустимый угол закручивания задан в градусах, а нужно в радианах, поэтому:

[θ]= 3,0 = 0,0523 рад/м.

Условие жесткости:

Θ =

Из условия получаем:

D = = 32,3 мм.

Принимаем D = 33 мм.

d = α·D = 0,8·33 = 26,4 мм.

Тогда:

I_p = = = 6,87·10⁴ мм⁴

4. Найдем углы закручивания участков вала по формуле:

φ_i = ;

φ₁ = = 0,0359 рад = 2,06º;

φ₂ = = - 0,00987 рад = - 0,565º;

φ₃ = = 0,0075 рад = 0,43º;

φ₄ = = - 0,0147 рад = - 0,84º.

Приняв за недвижимый срез под левым шкивом, строим эпюру угла закручивания:

α₁ = 0;

α₂ = φ₁ = 2,06º;

α₀ = φ₁ + φ₂ = 2,06º + (-0,565º) = 1,495º;

α₃ = φ₁ + φ₂ + φ₃ = 1,925º;

α₄ = φ₁ + φ₂ + φ₃ + φ₄ = 1,085º.

Рис. 2. Вал и его эпюры

Задача 2

Для статически определимого бруса квадратного ступенчато-переменного сечения, нагруженного показанными на рис.3 осевыми сосредоточенными нагрузками, требуется:

1. Построить эпюру продольных сил.

2. Из условия прочности определить площади и размеры сечений участков бруса.

3. Вычислить абсолютные продольные деформации участков бруса и построить эпюру его осевых перемещений.

4. Сделать эскиз ступенчатого бруса.

Рис.3. Ступенчатый брус

Дано:

F₁= +94 kH; l₁=2,6 м;

F₂=-56 kH; l₂=2,0 м;

F₃= +37 кН; l₃= 1,2 м;

F₄= +84 кН; l₄=3,2 м;

[σ]= 170 МПа;Е = 1,9·10⁵ МПа.

Решение:

1. Изображаем в масштабе (по длине) брус и указываем нагрузку и размеры участков. На каждом участке проводим сечение и рассматриваем равновесие нижней отсеченной части, находим продольную силу в этих сечениях. Так как на исходном рисунке все силы направлены вниз, то продольная сила в любом сечении будет равна алгебраической сумме всех заданных сил, находящихся ниже данного сечения.

Сечение 1-1:

N₁=F₁=94 кН;

Сечение 2-2:

N₂=F₁+F₂=90+(-56)= 38 кН;

Сечение 3-3: N₃= F₁+ F₂+ F₃ = 90 + (-56) + 37 = 75 кН;

Сечение 4-4: N₄=F₁+ F₂+ F₃+ F₄= 90 + (-56) + 37 + 84 = 159 кН.

По этим данным строим эпюру N, учитывая, что на протяжении участка продольная сила постоянна.

2. Из условия прочности:

σ =

находим площади поперечных сечений участков бруса:

A₁ ≥ = = 552,9 мм²;

а₁ = = =23,51 мм;

A₂ ≥ = = 223,53 мм²;

а₂ = = = 14,95 мм;

A₃ ≥ = = 441,18 мм²;

а₃ = = =21 мм;

А₄ ≥ = = 935,29 мм²;

а₄ = = = 30,58 мм.

Примечание: N и [σ] имеют одинаковый знак поэтому при вычислении площади поперечного сечения их значения берутся по модулю.

3.Определяем удлинения (укорочения) участка бруса:

Δl₁ = = = 23,2 мм;

Δl₂ = = = 17,89 мм;

Δl₃ = = = 10,73 мм;

Δl₄ = = = 28,63 мм.

Строим эпюру перемещений, для чего определяем перемещение точек А,В, С. Dи Е.

σA= 0;

σВ = σА + Δl₄= 0 + 28,63 = 28,63 мм ;

σC = σВ + Δl₃ = 28,63 + 10,73 = 39,36 мм ;

σD = σC + Δl₂= 39,36 + 17,89 = 57,25 мм;

σE= σD + Δl₁= 57,25 +23,2 =80,45мм .

4.

Задача 3

Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами F₁ и F₂, равномерно распределенной нагрузкой q и парой сил М, требуется определить опорные реакции (Рис.5).

Рис.5. Схема нагрузки балки

Дано:

F₁ = 32 кН; а = 1,0 м;

F₂ = 12 кН; b = 1,2 м;

q = 20 кН/м; с = 1,6 м;

М = 32 кН·м; d = 1,4 м;

l= 1,2 м.

Решение:

1. Составляем уравнение равновесия балки:

∑М_А = 0;

- F₁·a – q(c+d) () – F₂ (b+c) – M + R_B (b+c+d+l) = 0;

∑М_В = 0;

- F₁ (a+b+c+d+l) – R_A (b+c+d+l) + F₂ (d+l) + q(c+d) () – M= 0;

2. Определяем реакции опор:

R_B= ==

= 48,07 кН;

R_A = ==

= - 8,07 кН;

Отрицательное значение R_Aуказывает, что направление силы R_Aпротивоположно тому, которое изображено на рисунке, т.е. опорная реакция R_Aнаправлена по вертиккали вниз.

Проверка:

∑ F_iy = 0;

F₁ + R_A - F₂ –q(c+d) + R_B =0;

32 – 8,07 – 12 - 20·3,0 + 48,07 = 0,

Потому

R_A= - 8,07 кН;

R_B = 48,07 кН.

Задача 4

Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами, распределенной нагрузкой и парой сил, требуется:

1. Определить опорные реакции.

2.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент.

3.Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, определить требуемый момент сопротивления и подобрать двутавровое, круглое и прямоугольное сечение (с заданным соотношением h/b) и сравнить их по экономичности, приняв для стали [σ]= 160 МПа.

Схема балки приведена на рис.6.

Дано:

а = 1,6 м;

b = 1,2 м;

с = 1,0 м;

d = 1,6 м;

l = 1,4 м.

F₁= 26 кН;

F₂= 12 кН;

q = 16 кН /м;

М = 32 кН·м;

h/b = 2.

Рис. 6. Схема нагружения балки

Решение:

1.Определяем опорные реакции:

= 0;

-R_A·5,4- F₁·2,6 – M + q·3,8·1,9 - F₂·1,4 = 0

R_A = = - 0,16 кН;

= 0;

R_В ·5,4 + F₁·2,8- q·3,8·3,5 –М - F₂·6,8 = 0

R_В == 46,96 кН.

Проверка:

= 0.

R_A - q·3,8 + F₁ + R_В - F₂ = -0,16 – 60,8 + 26 + 46,96 – 12 = 0.

Значит, R_A = - 0,16 кН;

R_В = 46,96 кН.

2. Разбиваем балку на 5 участков и, проведя на каждом участке произвольное сечение, определяем поперечную силу и изгибающий момент:

Участок I: 0≤ х₁ ≤ 1,6 м

Q_x1 = R_A = - 0,16 кН

М_x1 = R_A·х₁= - 0,16 · х₁

х₁ = 0 М_А = 0

х₁ = 1,6 м М_А = -0,256 кН·м

Участок II: 0≤ х₂ ≤ 1,2 м

Q_x2 = R_A - q х₂

М_x2 = R_A(1,6 + х₂) - q = -0,16(1,6 + х₂) - 16·

x₂ = 0 Q_x2 = - 0,16 кН М_x2 = -0,256 кН·м

x₂ = 1,2 мQ_к = -19,36 кН М_к = -11,968 кН·м

Участок III: 0≤ х₃ ≤ 1,0 м

Q = R_A – q (1,2 + х₃) +F₁ = -0,16 – 16(1,2 + х₃) + 26 = 25,84 – 16(1,2 + х₃)

М = R_A (2,8 + х₃) +F₁· х₃- = -0,16(2,8+x₃) + 26 x₃-

x₃ = 0 Q_k = 6,64 кН М_k = -11,968 кН·м

x₃ = 1,0мQ = - 9,36 кН М = -13,328 кН·м

Участок IV: 0≤ х₄ ≤ 1,4 м

Q = F₂ =12 кН

М = -F₂ х₄ = -12 х₄

х₄ = 0 М = 0

х₄ = 1,4 м М = - 16,8 кН·м

Участок V: 0≤ х₅ ≤ 1,6 м

Q = F₂ – R_В + q· х₅ = 12 – 46,96 + 16 х₅ = -34,96 + 16 х₅

M = -F₂(1,4 + х₅) + R_В х₅ - q· = -12(1,4 + х₅) +46,96 х₅ - 16

x₅ = 0 Q = -34,96 кН М = -16,8 кН·м

x₅ = 1,6 мQ = -9,36 кН М = 18,656 кН·м

По полученным данным строим эпюры Q и М (рис.7).

На участке III поперечная сила Q принимает нулевое значение, поэтому в этом положении на эпюре «М» будет екстремум.

Q_х3 = 0;

25,84 – 16(1,2+х₃) = 0;

Х₃ = = 0,415 м

М (0,415) = - 10,59 кНм;

Наибольшее значение изгибающего момента М_max = 18,856 кН·м

1. Из условия прочности по нормальным напряжениям:

σ_max = ≤[σ]

находим требуемый момент сопротивления:

W_x ≥= = 181 см³

По таблицам сортамента выбираем двутавр № 20, у которого W_x = 184 см³ а площадь поперечного сечения А = 26,8 см^2.

Подбираем прямоугольное сечение:

W_x =

при h = 2·b

W_x =

Откуда b = = = 6,5 см

h = 2b = 13 см

А₀ = b·h = 6,5 ·13= 84,5 см²

Подбираем круглое сечение

W_x =

d = = 12,15 см

А₀ = == 115,88 см²

Находим отношение площадей, приняв площадь сечения двутавра за единицу:

А₁ : А_о : А₀ = 1 : 3,15 : 4,32.

Список использованой литературы

1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник – М., Высшая школа , 1983 – 303 с.

2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Уч. пособие/ Миролюбов И.Н. и др. – М., Высшая школа, 1985 – 399с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики – М., Высшая школа, 1986 – 416 с.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике – М., Высшая школа, 1985 – 367 с.

5. Архипов О.Г., Кравцова Е.М., Галабурда Н.Ш. Механіка: Навч. посібник- Луганськ: Вид-во Східноукр. Нац. Ун-ту, 2005 – 256с.