Интегральные методы оценки качества переходных процессов

Реферат

на тему:

"Интегральные методы оценки качества переходных процессов"

Введение

Интегральная оценка является обобщенным показателем качества переходного процесса, при этом качество системы оценивается с помощью числа, являющегося интегралом некоторой функции.

Особенность интегральной оценки в том, что в отличии от других методов оценки качества, величина интеграла представляет число, которое ничего не говорит о характере переходного процесса, о конкретных показателях качества, зато, в сравнении с другими, метод отличается простотой.

Линейная интегральная оценка

Рассмотрим переходные процессы, приведенные на рис. 1а-в.

а б в

Рис. 1

Заштрихованная площадь называется площадью регулирования, она может быть оценкой качества переходного процесса. Чем меньше площадь, тем лучше качество переходного процесса.

Площадь регулирования может быть определена с помощью интеграла, который называется простой (линейной) интегральной оценкой

(1)

Задача сводится к определению J_1, не зная переходного процесса, т.е. по его изображению, так как изображение проще определить.

Пусть известно

(1)

Если сравнивать выражения (1) и (2), то они отличаются на множитель e^-pt. При этом

, (3)

т.е. получили простую формулу для определения площади регулирования, а значит и оценки качества процесса регулирования.

Так как z(p) = y(p) – y_¥ /p, то значение интеграла (1) можно вычислить по формуле

(4)

Недостаток метода

Рассмотрим переходный процесс (рис. 2).

Рис. 2

Процесс затухает медленно, следовательно, качество системы плохое, но так как площади имеют разные знаки, то величина интеграла J₁будет мала. Поэтому этот метод не применим для колебательных переходных процессов, т.е. он пригоден только для монотонных процессов, поэтому ограничен в применении.

Хорошей оценкой мог бы служить интеграл

, (5)

Но его сложно вычислять, необходимо решать характеристическое уравнение.

Пример 5. Вычислить величину J₁ для заданной системы (рис. 3).

Рис. 3

3. Определим величину интеграла J₁

Интегральная квадратичная оценка

Интегральная квадратичная оценка пригодна для любых переходных процессов, и вычисляется по формуле

(6)

Подинтегральное выражение – z²(t) всегда положительно не зависимо от знака функции z(t).

Определим J₂ без расчета переходного процесса, для этого воспользуемся дуальной теоремой.

Рис. 4

Основная теорема: произведению изображений соответствует свертка оригиналов

(7)

Дуальная теорема: произведению оригиналов соответствует свертка изображений

(8)

Так как ,

то можно получить следующую формулу для расчета квадратичной интегральной оценки

(9)

Этот интеграл можно вычислить либо с помощью вычетов по полюсам подинтегральной функции, либо с использованием табулированных значений интеграла для функции

(10)

В таблице 1 приведены табулированные значения интеграла для n = 1 ¸ 3 для систем более высокого порядка таблицы приведены в литературе [5].

Таблица 1

Недостаток метода. Рассмотрим переходные процессы (рис. 5).

а) б)

Рис. 5

При использовании этого метода два процесса могут иметь одинаковую площадь регулирования, но оба они плохие по различным показателям качества, у первого большое время регулирования, а во втором большое перерегулирование.

Пример 6.Вычислить величину J₂ для заданной системы (рис. 6).

Рис. 6

3. Определим z(p)

4. Определим величину интеграла J₂ с помощью вычетов s₁ = – k/T

5. Определим величину интеграла J₂с помощью таблиц

Модифицированная интегральная оценка

При использовании модифицированной (улучшенной) интегральной оценки минимизируем не только квадратичное отклонение z(t), но и его производную – z’ (t). Такой оценкой является интеграл

(11)

где t – постоянная времени.

Минимуму интеграла соответствует приближение переходного процесса не к ступенчатому, а к некоторому экспоненциальному с заданной постоянной времени (которая называется экстремалью). Применение этой оценки приводит к более пологим переходным процессам, т.е. менее колебательным и имеющим меньшее число перерегулирований.

Недостаток метода: Сложность выбора экстремали, она выбирается на основе опыта.

Достоинства и недостатки интегральных методов

Достоинства методов:

1. Простота.

2. Оценка качества является обобщенной (в виде одного числа), что удобно при оптимизации систем и для сравнительного анализа систем

Недостатки методов:

1. Каждый методов имеет свои специфические, ранее рассмотренные недостатки.

2. Величина интеграла представляет число, которое ничего не говорит о характере переходного процесса, т.е. о конкретных показателях качества.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.

2. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.

3. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. – M.: Наука, 1978.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.