Динаміка економічних показників. Структура зовнішньо-торгівельного обороту підриємства

СТАТИСТИКА

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Рішення задач з економічної статистики (варіант №9)

Зміст

1. Завдання №1 (варіант №9)

2. Завдання №2 (варіант №9)

3. Завдання №3 (варіант №9)

4. Завдання №4 (варіант №9)

5. Завдання №5 (варіант №9)

Список використаної літератури

1. Завдання №1 (варіант №9)

За наведеними даними про порушення технологічної дисципліни та втрати від браку продукції на 22 виробничих ділянках складіть комбінаційний розподіл виробничих ділянок за цими ознаками, утворивши по три групи з рівними інтервалами (за результатами групування зробіть висновок про наявність та напрямок зв’язку між ознаками).

Результати групувань викладіть в формі статистичних таблиць, проаналізуйте їх.

Рішення

1. Для рішення завдання виділимо факторну ознаку Х процент порушень технологічної дисципліни (%) на виробничій ділянці та результативну ознаку Y втрати від браку продукції (тис.гр.од.) на виробничій ділянці [6]. Кількість виробничих ділянок n = 22.

В табл.1.1 наведені ранжована по факторній ознаці Х [1] вибірка значень для 22 виробничих ділянок.

Таблиця 1.1 Ранжована по зростанню факторної ознаки Х вибірка даних

Згідно з умовами задачі розбиваємо ранжовану за факторною ознакою вибірку на 3 рівних інтервала:

В таблиці 1.2 наведені інтервали факторної та результативної вибірок на 3 інтервалах та частоти значень факторних та результативних рядів, які згідно таблиці 1.1 розподіляються по інтервалам.

Таблиця 1.2 Частотний розподіл ранжованих рядів по інтервалах вибірок

2. Розраховуємо основні показники інтервальних рядів [12]:

середнє значення;

середньоквадратичне відхилення;

варіацію.

Середня величина факторної ознаки згідно з даними таблиці 1.2 розраховується як

(1.1)

Середня величина результативної ознаки згідно з даними таблиці 1.2 розраховується як

(1.2)

Ступінь варіації об’єктивно відображає показник середнього квадрату відхилення (дисперсія). Його обчислюють як середню арифметичну з суми квадратів відхилень окремих варіантів від їх середньої за формулою [12]:

(1.3)

Корінь квадратний із середнього квадрату відхилень варіантів від їх середньої (тобто дисперсії) називається середнім квадратичним відхиленням [12]:

(1.4)

Середньоквадратичне відхилення для факторної та результативної ознак, з врахуванням даних табл.1.1, розраховується як:

Якщо порівняти середнє квадратичне відхилення з середньою величиною, то і буде одержана ця стандартна величина. Одержаний відносний показник називається коефіцієнтом варіації [12]:

(1.5)

де середнє арифметичне інтервального ряду розподілу, f – частота.

Коефіцієнт варіації є в певній мірі критерієм типовості середньої, при коефіцієнті варіації до 33% констатують, що середня величина в достатній мірі характеризує вибірку. Якщо коефіцієнт дуже великий, то це означає, що середня характеризує сукупність за ознакою, яка суттєво змінюється у окремих одиниць [12].

Коефіцієнти варіації для факторної та результативної ознак виборки дорівнюватимуть:

Таблиця 1.3 Проміжні розрахунки середньоквадратичних відхилень та коефіцієнта кореляції вибірок

Оскільки величини варіації менше 33%, вважаємо отримані характеристики середніх величин та середньоквадратичних відхилень суттєвими.

Лінійний коефіцієнт кореляції між факторною X та результативною Y ознакою обчислюється за формулою [10] (з врахуванням даних проміжних розрахунків, наведених в табл.1.3):

(1.6)

де дисперсія вибірки величин Х; (1.7)

дисперсія вибірки величин Y; (1.8)

коваріація виборок X,Y (1.8)

(1.9)

Лінійний коефіцієнт кореляції чим ближче до 1, тим тісніше зв’язок. Знак коефіцієнта вказує напрямок зв’язку: знак “+” відповідає прямій залежності, знак ““ – оберненій залежності [10].

Таким чином, між факторною ознакою Х та результативною ознакою Y вихідної вибірки задачі існує пряма залежність дуже тісного зв’язку.

На рис.1.1 наведені результати побудування в „електронних таблицях” Excel2000 лінійної регресії між Y та X, що підтверджує тісний прямий зв’язок, характеризуємий високим значенням індекса детермінації R²>0,75 .

Коефіцієнт детермінації визначається як відношення сум відхилення аналітичних значень Yx від середнього значення ряда вибірки до сум відхилення фактичних значень Yi від середнього значення ряда вибірки наступним чином [10]:

(1.10)

Щільність зв’язку оцінюється індексом детермінації: R=, проте інтерпретується тільки R². Якщо коефіцієнт детермінації більше 0,75 , то більше 75% варіації залежної величини Y пояснюється варіацією незалежного параметра кореляції X і зв’язок є щільним [10].

Рис.1.1. – Кореляційно-регресійна лінійна залежність між результативною Y та факторною X ознаками досліджуємої вибірки

2. Завдання №2 (варіант №9)

За наведеними даними визначте відносні величини, які б характеризували:

а) динаміку показників;

б) структуру зовнішньо-торгівельного обороту та структурні зрушення;

в) інтенсивність зовнішньоекономічної діяльності за кожен рік;

г) на основі співвідношення індексів цін експорту та імпорту дайте оцінку умов торгівлі.

Зробіть висновки.

Рішення

1. Рішення задачі оцінки динаміки росту показників зовнішньоекономічної діяльності виконаємо з застосуванням апарату індивідуальних та загальних індексів [14].

Індексом у статистиці називається відносний показник, який характеризує зміну рівня якогось суспільного явища з часом або його співвідношення у просторі.

Прийнято розрізняти дві категорії індексів: індивідуальні та загальні. Індекс, який характеризує співвідношення величин окремого явища, називається індивідуальним, а індекс, котрий характеризує співвідношення рівнів усього явища в цілому або його частин, що складаються з кількох окремих елементів, які безпосередньо не піддаються підсумовуванню, загальним.

Статистичний індекс – це узагальнюючий показник, який виражає співвідношення величин складного економічного явища, що складається з елементів безпосередньо несумірних. У статистиці розрізняють декілька вдів індексів, в основу класифікації яких покладені різні ознаки [14]:

- характер об'єкта дослідження,

- ступінь охоплення одиниць сукупності,

- база порівняння,

- вид зрівнюваних величин.

Індивідуальні індекси дають порівняльну характеристику окремих елементів складного явища і мають форму відношення певного показника у базисному (0) та звітному (1) періодах [14]:

(2.1)

Загальний індекс є агрегатуваннням індивідуальних індексів і характеризує зміну сукупностей, до якої входять різнорідні елементи . Так загальна формула агрегатного індексу сукупності явищ у базисному (0) та звітному (1) періоді має наступний вираз(для вартісних економічних явищ , які характеризуються обсягами (q) та ціною (р) одиниці обсягу):

(2.2)

Для характеристики економічних явищ загальний агрегатний індекс (2.2) розбивають на два індекси :

- загальний індекс фізичного обсягу вартісного явища (при умові незмінних цін р у базисному та звітному періодах):

(2.3)

- загальний індекс цін вартісного явища (при умові незмінного обсягу q у базисному та звітному періодах):

(2.4)

Для характеризування структурних зрушень середніх величин в вартісних економічних явищах застосовують індекси змінного складу, індекси постійного складу та індекси структурних зрушень, які формують систему взаємопов'язаних індексів [14]:

- для змінного індексу цін (відношення середніх рівнів у базисному та звітному періодах):

(2.5)

(2.6)

де індекс цін постійного складу Ipz дорівнює :

(2.7)

а індекс цін за рахунок структурних зрушень Id дорівнює :

(2.8)

2. Розраховуємо показники динаміки зміни параметрів зовнішньоекономічної торгівлі як індивідуальні індекси рівнів ВНП та зовнішньо-торгівельного обороту у поточному році (1) відносно минулого (0 – базового) року:

а) Індивідуальний індекс росту вартості ВНП дорівнює:

б) Індивідуальний індекс росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі (сума експорту та імпорту) дорівнює:

Таким чином, індекс росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі у поточному році вище індексу росту вартості ВНП в:

тобто в країні зростає обсяг зовнішньоекономічного сектору.

в) Індивідуальний індекс росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі товарами(сума експорту та імпорту) дорівнює:

г) Індивідуальний індекс росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі послугами(сума експорту та імпорту) дорівнює:

Таким чином, індекс росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі послугами у поточному році вище індексу росту вартості обороту зовнішньоекономічної торгівлі товарами в:

3. Структура зовнішньо-торгівельного обороту у базовому (0) та поточному роках розраховується як:

а) базовий (минулий рік):

питома вага зовнішньо-торгівельного обороту товарами становить

питома вага зовнішньо-торгівельного обороту послугами становить

б) поточний рік:

питома вага зовнішньо-торгівельного обороту товарами становить

питома вага зовнішньо-торгівельного обороту послугами становить

Таким чином, структурні зрушення в складі зовнішньої торгівлі у поточному році відносно базового(минулого) року характеризуються:

- зниженням на 5% питомої ваги торгівлі товарами ;

- підвищенням на 5% питомої ваги торгівлі послугами.

4. Інтенсивність зовнішньо-торгівельного обороту у базовому (0) та поточному(1) роках розраховується як відношення вартості обсягу зовнішньо-торгівельного обороту до вартості обсягів ВНП:

а) базовий (минулий рік):

б) поточний рік:

Таким чином, інтенсивність зовнішньої торгівлі в державі зросла на 5,3% від вартості обсягу ВНП держави.

5. Аналіз співвідношення індексів цін експорту та імпорту показує, що:

а) Індивідуальний темп росту індексу цін експорту дорівнює:

б) Індивідуальний темп росту індексу цін імпорту дорівнює:

Таким чином, темп росту індексу цін експорту зовнішньоекономічної торгівлі у поточному році вище темпу росту індексу цін імпорту зовнішньоекономічної торгівлі в:

тобто зовнішня торгівля є вигідною для держави.

3. Завдання №3 (варіант №9)

Є наступні дані вибіркового обстеження студентів одного з вузів:

Розрахуйте абсолютні та відносні показники варіації

Рішення

1. На рис.3.1 наведений графічний вигляд вихідної інтервальної статистичної вибірки (інтервальний варіаційний ряд) у вигляді гістограми.

2. Для інтервального ряду показник центру розподілу – середнє значення ряду розраховується за формулою [9]:

(3.1)

де f – частота на інтервалі;

x’ – середина кожного інтервалу інтервальної вибірки;

Рис.3.1. Гістограма вихідної інтервальної статистичної вибірки задачі

3. Показники варіації вибірки характеризуються:

абсолютним значення s середньоквадратичного відхилення від середнього рівня вибірки:

(3.2)

- відносним рівнем варіації відношенням середньоквадратичного відхилення до середнього рівня вибірки:

(3.3)

Для розрахунку варіації складається наступна допоміжна таблиця 3.1

Таблиця 3.1 Результати допоміжних розрахунків для розрахунку показників варіації вибірки

Абсолютне значення варіації вибірки дорівнює:

Відносне значення варіації вибірки дорівнює:

4. Завдання №4 (варіант №9)

Виробництво продуктів землеробства в регіоні характеризується наступними даними, млн.т.:

Для вивчення загальної тенденції виробництва продукті землеробства зробіть:

а) згладжування рівнів рядів динаміки за допомогою тричленної ковзної середньої;

б) аналітичне вирівнювання.

Виразіть загальну тенденцію розвитку кожного виду продуктів землеробства за 1984 – 1997 рр. відповідними математичними рівняннями. Визначте вирівняні (теоретичні) рівні рядів динаміки і нанесіть їх на графік з фактичними даними. Зробіть висновки за результатами розрахунків.

Рішення

1. Для обробки ряду динаміки з метою зменшення коливань його рівнів використовується метод рухомої середньої [9]. Суть цього методу полягає у тому, що первинний ряд динаміки замінюється рядом середніх значень, підрахованих на основі рухомих сум. Рухома сума визначається шляхом додавання рівнів ряду, включених в інтервал вирівнювання (переважно це 3, 5, 7 рівнів).

Головним недоліком даного методу є те, що вирівняний ряд стає коротшим від вихідного за рахунок втрати рівнів на початку та в кінці ряду.

Рівняння тричленної ковзної середньої наступне ( перша та остання точка фактичного ряду динаміки не осереднюється) [9]:

(4.1)

В табл..4.1 та на рис.4.1 наведені результати розрахунків осереднених значень вихідного ряду динаміки, заданого в завданні.

Рис.4.1. Результати розрахунку осереднення ряду тричленною ковзною

Таблиця 4.1 Результати розрахунку осереднення тричленною ковзною

2. Найбільш ефективним методом виявлення тенденції динаміки є аналітичне вирівнювання. Його суть полягає у тому, що вихідний ряд динаміки описують рівнянням тренду, яке розглядається як аналітичний вираз загальної тенденції зміни у часі (тренду). На практиці найчастіше використовують наступні рівняння тренду:

Виконаємо аналітичне вирівнювання на прикладі лінійного рівняння тренду.

Одновимірна лінійна регресійна модель представляється як [9]:

, (2.1)

де – постійна складова (початок відліку);

– коефіцієнт регресії;

– відхилення фактичних значень доходу від оцінки (математичного сподівання) середньої величини доходу в ітий період.

Існують різні способи оцінювання параметрів регресії. Найпростішим, найуніверсальнішим є метод найменших квадратів [2]. За цим методом параметри визначаються виходячи з умови, що найкраще наближення, яке мають забезпечувати параметри регресії, досягається, коли сума квадратів різниць між фактичними значеннями прогнозує мого параметра та його оцінками є мінімальною, що можна записати як

. (2.2)

За методом найменших квадратів параметри регресії і є розв’язком системи двох нормальних рівнянь [9]:

При використанні прямолінійного тренду параметри і можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь

(2.3)

або по формулах

(2.4)

Таблиця 4.2 Розрахунки сум для розрахунку коефіцієнтів а₀ та а₁ лінійної регресії

Таким чином, враховуючи розрахункові дані ряду динаміки в табл.4.2, коефіцієнти аналітичного рівняння лінійної регресії розраховуються як:

Рис.4.2. Аналітичне вирівнювання ряду лінійним трендом

Середньоквадратична помилка регресії, знаходиться за формулою

, (2.5)

Коефіцієнт детермінації для даної моделі

(2.6)

повинен дорівнювати: >0,75 – сильний кореляційний зв’зок, 0,36>>0,75 кореляційний зв’язок середньої щільності; <0,36 кореляційній зв’язок низької щільності [10].

Як показують дані, наведені на рис.4.2, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного лінійного тренду становить =0,1054 <0,36 тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного лінійного тренду є низької щільності.

Як показує спільний аналіз даних таблиць 4.1 та 4.2, а також графіків рис.4.1 та 4.2:

сума абсолютних відхилень кривої осереднення ряду тричленною ковзною становить 12,33;

сума абсолютних відхилень кривої аналітичного вирівнювання ряду лінійним трендом становить 0;

дисперсія відхилень кривої осереднення ряду тричленною ковзною від фактичних даних становить S²=634;

сума абсолютних відхилень кривої аналітичного вирівнювання ряду лінійним трендом від фактичних даних становить S²=5347;

Таким чином, вирівнювання ряду осереднюючою тричленою ковзною має кращі показники по мінімуму відхилень від фактичної кривої , але має зміщену середню оцінку, що пов’язано з алгоритмом розрахунку та неможливістю осереднення першої та останньої точки ряду.

На рис.4.3 – 4.4 за допомогою „електронних таблиць” Excel2000 побудовані аналітичні вирівнювання заданого ряду динаміки поліноміальними трендами 2 та 4 ступеню.

Як показують дані, наведені на рис.4.3, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного параболічного тренду є вищим, ніж у лінійного тренду, та становить =0,243654 <0,36 тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного параболічного тренду також є низької щільності.

Як показують дані, наведені на рис.4.4, коефіцієнт детермінації для побудованого аналітичного тренду поліномом 4 ступеню є значно вищим, ніж у лінійного тренду, та становить =0,6024 (0,36>>0,75) тобто кореляційній зв’язок фактичних значень та аналітичного тренду полінома 4 ступеня є середньої щільності.

Рис.4.3. Аналітична вирівнювання ряду параболічним трендом за допомогою “електронних таблиць” Excel2000

Рис.4.4. Аналітичне вирівнювання ряду поліномом (трендом) 4ступеня за допомогою “електронних таблиць” Excel2000

5. Завдання №5 (варіант №9)

Залежність скорочення робітників від місця роботи досліджувалася в ході соціологічного опитування 200 респондентів, результати якого представлені в наступній таблиці:

Визначте коефіцієнти асоціації і контингенції. Проаналізуйте отримані результати.

Рішення

Для аналізу взаємозв'язку між атрибутивними ознаками будуються спеціальні таблиці, що мають назву таблиць співзалежності. В тому випадку, коли утворюються по дві групи за факторною та результативною ознаками, або коли вони є альтернативними, для оцінки тісноти зв'язку визначають коефіцієнти асоціації Ка та контингенції Кк за формулами [3]:

(5.1)

(5.2)

Якщо модуль коефіцієнта асоціації (5.1) наближується до 1,0

то існує сильний зв'язок між групами ознак;

Якщо модуль коефіцієнта контингенції (5.2) наближується до 0,5

то існує сильний зв'язок між групами ознак;

Для розрахунку названих коефіцієнтів використовують так звані тетрахорічні таблиці, що показують розподіл одиниць за факторною та результативною ознаками [3].

Таблиця 5.1 Тетрахорічна таблиця для вихідних даних завдання

Визначимо коефіцієнти асоціації та контингенції за даними таблиці 5.1:

Отже, за показником коефіцієнта асоціації Ка між Х та Y існує дуже слабкий прямий зв'язок.

Отже, за показником коефіцієнта контингенції Кк також між Х та Y існує дуже слабкий прямий зв'язок.

Список використаної літератури

1. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики. М: Финансы и статистика, 2000. 280 c.

2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. и др. Общая теория статистики: Учебник. – М: ИнфраМ, 1998. – 436 c.

3. Єріна А.М. Теорія статистики : практикум / А. М. Єріна, З. О. Пальян. – 6те вид., стер. – К. : Знання, 2008. – 255 с.

4. Кармелюк Г. І. Теорія ймовірностей та математична статистика : посібник з розв’язування задач : навч. посібник / Г. І. Кармелюк. – К. : Центр учбової літератури, 2007. – 576 с.

5. Математика для економістів: теорія та застосування : підручник / В. П. Лавренчук [та ін.]. – К. : Кондор, 2007. – 596 с.

6. Мармоза А.Т. Практикум з теорії статистики : навч. посібник / А. Т. Мармоза. 3тє вид., виправл. К. : Ельга : НікаЦентр, 2007. 348 с.

7. Общая теория статистики. Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности : учебник / под ред. О. Э. Башиной, А. А Спирина. 5е изд., перераб. и доп. М. : Финансы и статистика, 2007. 440 с. [

8. Орленко Н. С. Інформаційні системи і технології в статистиці : навчальнометодичний посібник для самост. вивчення дисципліни/ Н. С. Орленко ; Мво освіти і науки України, Держ. вищ. навч. заклад "Київський нац. екон. унт ім. В. Гетьмана". – К. : КНЕУ, 2008. – 282 с.

9. Практикум по эконометрике : учеб. пособие / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. – 2е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

10. Сеньо П. С. Теорія ймовірностей та математична статистика : підручник / П. С. Сеньо. – 2ге вид., переробл. і доповн. – К. : Знання, 2007. – 557 с.

11. Слюсарчук П. В. Теорія ймовірностей та математична статистика : підручник / П. В. Слюсарчук. – Ужгород : Карпати, 2005. – 183 с.

12. Статистика финансов : учебник / под ред. М. Г. Назарова. – 3е изд., испр. – М. : ОмегаЛ, 2007. – 461 с.

13. Статистика Конспект лекцій, Тернопіль, 2006р. – http;\ www.kneu.kiev.ua – Освітній Інтернетсайт Киівського національного економічного університету, 2008

14. Фінансовобанківська статистика : навч. посібник/ П. Г. Вашків [та ін.]. – К. : Либідь, 2007. – 512 с.