Парадоксы теории относительности

“В свете уже достигнутых знаний то или иное удачное достижение кажется почти само собой разумеющимся, и его суть без особого труда способен ухватить любой мало-мальски грамотный студент. Но годы изнурительных поисков во мгле, наполненные страстным стремлением к истине, сменой уверености и разочарования, и, наконец, выход работы в свет – это способен понять лишь тот, кто пережил все это САМ. “

Альберт Эйнштейн

Вступ.

Серед професорів Цюріхського Федерального вищого політехнічного училища, лекцій якого так сильно уникав Ейнштейн, був математик Герман Мінковський, який одного часу навіть вважав Ейнштейна ледарем. Пізніше він став професором відомого Гетингенського університету в Німеччині, де в результаті пошуку, розпочатого в 1907 році, йому вдалось показати, що математичний аппарат теорії відносності добре вписується в структуру чотирьохвимірного простору-часу. Чотирьохвимірний підхід до усіляких релятивістських відношень був уже до того часу добре розвинутий в праці Пуанкаре 1905 року, направленій ним на друк майже одночасно з Ейнштейном. Однак Мінковський пішов в цьому напрямі набагато далі, чим Пуанкаре, дякуючи чому право першовідкривача як правило приписується йому.

Ми вже знаємо в основних рисах, що таке координати. Для випадку двох вимірів точне положення точок можна, наприклад, задати на листку міліметрового паперу за допомогою координат х і у, які відраховуються вздовж двох координатних осей з початком в точці О, якими можуть служити, скажімо, дві взаємноперпендикулярні прямі Ох і Оу. На рисунку зображено самі суттєві деталі і відсутня міліметрова сітка, яка здатна сильно захаращити креслення. З точки Р тут опущено перпендикуляр на вісь х. Якщо Р має координати (х,у), то довжина відрізка OQ рівна х, а QP – y. Нехай r – це відстань від точки Р до початку координат. Тоді використання теореми Піфагора до прямокутного трикутника OQP дає

QP²=OQ²+QP², або r²=x²+y².

Тепер введемо ще одну пару ортогональних осей координат з тим же початком, але повернутих на деякий кут по відношенню до початкової системи координат. При цьому виникає питання “Що станеться з формулою для r², якщо її перевести з старих нештрихованих, до нових штрихованих координат?”

Існує дуже короткий шлях, який веде до відповіді і не потребує пошуку закону перетворення від старих координат (нештрихованих) до нових (штрихованих). На рисунку зображено основні деталі обох систем координат і показано розміщення точок О і Р відносно повернутих осей координат Ох’ і Оу’. Пряма PQ’ перпендикулярна осі х’. Відстань ОР (або r), та сама, що і раніше, тоді як координати х’ і у’ точки Р визначаються довжинами відрізків ОQ i QP. Але все таки з теореми Піфагора для прямокутного трикутника OQ’P слідує, що

QP²=OQ’²+Q’P²,

або r²=(x’)²+(y’)².

Якщо не враховувати штрихів, то формула для r в штрихованих координатах точно така ж, як і в нештрихованих.

В трьохвимірному просторі можна ввести ще одну вісь z, перпендикулярну двом нашим. Повторним приміненням теореми Піфагора можна довести, що поряд з співвідношенням

r²=x²+y²+z²,

яке має місце в нештрихованій системі координат, виконується і співвідношення

r²=(x’)²+(y’)²+(z’)²,

справедливе в штрихованій системі координат, створеній трійкою взаємно перпендикулярних осей, які мають той же початок, але повернутих відносно початкових.

Якщо згадати перетворення Лоренца, то неважко помітити, що вони являють собою деяке сплетіння координат x i t. Це дає підставу міркувати, що і час якось геометрично переплітається з простором. Як показує елементарний алгебраїчний розрахунок, при перетвореннях Лоренца величина s, яка визначається співвідношенням

s²=x²+y²+z²-c²t²,

веде себе так, що

(s’)²=(x’)²+(y’)²+(z’)²-c²(t’)².

Все це, не дивлячись на с² і знак “мінус”, дуже нагадує формули для r² в звичайних просторах двух і трьох вимірів, що приводить до чотирьохвимірної інтерпритації нашого світу, де час виступає на рівних з простором.

В такому чотирьохвимірному світі Мінковського величина s, аналогічна відстані між двума точками, називається чотирьохвимірним інтервалом між двома подіями. Точно так само, як формула для відстані r зберігає свій вигляд при перетвореннях, які описують поворот системи координат в звичайному просторі, вираз для інтервалу s зберігає свій вигляд при перетвореннях Лоренца в чотирьохвимірному просторі-часі. Цікаво, що з всього сказаного можна зробити висновок про близькість аналогії між перетвореннями Лоренца і перетвореннями, які описують поворот системи координат.

Щоб вияснити, наскількі важливим є чотирьохвимірний інтервал, знову припустимо, що ми з вами знаходимся в своїх космічних ракетах, які рівномірно рухаються одна відносно одної з достатньо великою швидкістю, і ви вирішили зіграти партію в шахи. Ваш перший хід е2-е4 включає в себе дві події – підйом королівської пішки з клітинки е2 і розміщення її на клітці е4. Для вас ці події розділені приблизно 6 сантиметрами в просторі і 1 секундою в часі.

Але через те, що ваша ракета рухається відносно мене з дуже великою швидкістю, дві цих події згідно моїм вимірам будуть розділені, скажімо, 1000 кілометрами в просторі і (поскільки ваш годинник, за моїми спостереженнями, відстає) приблизно 1,0000056 секунди в часі. Звідси наші погляди розходяться і за просторовим інтервалом і за часовим. Але, не дивлячись на це, якщо кожен з нас підрахує величину чотирьохвимірного інтервалу між двума подіями, виходячи тільки із своїх вимірів часу, то ми отримаємо одне і те саме значення.

Після стількох розбіжностей наших вимірів так приємно знайти щось таке, в чому ми, да і всі інші, хто рівномірно рухається, були б згідні. Ясно, що величина, яка має такі унікальні властивості, як не є краще підходить для опису явищ, які проходять в чотирьовимірному просторі спеціальної теорії відносності.

Ніхто не в стані уявити собі всі чотири виміри. Тому, щоб створити собі хоча б деяке уявне поняття про простір-час, як правило відкидають два з трьох просторових вимірів, розглядаючи лише ту область простору, де y i z рівні нулю (тобто вісь х), що дозволяє розглядати двовимірний простір-час з просторовою координатою х і часовою – t. Зручно замість часової координати t користуватися координатою ct, яка дає відстань, яку пройшло світло за час t, так що тепер і х, і ct – це відстані.

Уявимо, що я вимірюю координату ct, зручно розмістившись в точці х=0. При чому будемо для простоти, як звичайно, рахувати, що мій розмір (як і лінійні розміри інших спостерігачів і подій) дуже малі. Може здатися, що оскільки я розміщений в точці х=0, то мене слід “відобржати” не у вигляді точкової події О, а у вигляді відрізка прямої, яка лежить на осі ct. Цей відрізок називається моєю просторовою лінією.

Ну а як, з моєї точки зору, “відображаєтесь” на діаграмі ви?

Припустимо для простоти, що ви стартуєте рядом зі мною з точки О, тобто з точки х=0 і момент часу t=0, і рухаєтесь з постійною швидкістю вздовж моєї осі х. Так як ваша координата х з часом рівномірно зростає, то ваша просторова лінія буде подібна тій, що зображена на приведеній діаграмі Мінковського. Тобто просторова лінія будь-якої частинки, на яку не діють які б то не були сили (частинка рухається відносно мене з постійною швидкістю), буде прямою. В загальному випадку вона, звичайно, може і не проходити через подію О і не лежати в області чотирьохвимірного простору-часу, де рівні нулю і х і у.

Оскільки частинки, які рухаються з постійними швидкостями, зображені в просторі-часі Мінковського прямими, то перший закон Ньютона, який говорить, що вільні частинки рухаються з постійною швидкістю, може бути сформульований і трохи інакше: просторові лінії вільних частинок – прямі.

Зображаючи на папері простір Мінковського і при цьому намагаючись трактувати чотирьохвимірний інтервал s так само, як ми трактуємо відстань r в звичайній геометрії, неможливо уникнути дуже серйозних викривлень, що добре видно на прикладі двух просторових ліній OL i OL’, які складають з осями кути по 45⁰. Горизонтальна координата х любої точки лінії OL рівна по величині вертикальній координаті ct такої ж точки, і тому вздовж OL завжди справедлива рівність х=ct.

Тепер згадаємо, що світловий сигнал, який вийшов з точки х=0 в момент часу t=0 і який поширюється в додатньому напрямі осі х, пройде за час t відстань ct, рівна добутку швидкості світла с на час t, тобто є х=сt. Таким чином OL – не що інше, як просторова лінія цього світлового сигналу. Тоді OL’ – просторова лінія світлового сигналу, який поширюється в протилежному напрямі. Але якщо координата х рівна ct (а у і z залишаються рівними нулю), то з формули для s² відразу ж слідує, що s=0. Тому інтервал між подією О і будь-якою подією чи на просторовій лінії OL, чи на просторовій лінії OL’ завжди рівний нулю, і з цим погодиться усякий спостерігач, який рухається рівномірно.

Нічого не поробиш, така відмінність між рівним нулю чотирьохвимірним інтервалом і відмінною від нуля відстанню на одній і тій самій просторовій діаграмі, не відразу ж укладається в свідомості. Але нехай вас це не лякає, так як закони спеціальної теорії відносності забороняють матеріальним об’єктам, які мають масу спокою, рухатись з швидкістю світла. Для таких об’єктів, які відправляються в путь з точки О, визначена раніше величина s² виходить від’ємна. Щоб уникнути цієї незручності, перевизначимо s², прийнявши її рівною раніше визначеній величині, але взятій зі знаком “мінус”, і, не дивлячись на таке перевизначення, будемо всеодно s будемо називати інтервалом.

Парадокс близнюків.

Розглянемо відому релятивістську задачу – парадокс близнюків. Один з близнюків залишається у себе вдома на Землі, а інший відправляється в космічну подорож. Близнюк-мандрівник залишає Землю в космічному кораблі, летить з великою швидкістю, скажімо, рік, потім розвертає назад, знову летить рік у напрямку до Землі і, накінець, приземляється. В ході своєї мандрівки він постарів на два роки. Яким же є його здивування, коли він зустрівшись з своїм братом-домосідом, знаходить, що той постарів на п’ятдесят років і тепер на сорок вісім років старше за нього.

Спочатку розглянемо це явище з точки зору ефекта уповільнення ходу годинника, визваного відносним рухом спостерігачів. Близнюк-мандрівник – це своєрідні біологічні часи; те саме відноситься і до близнюка-домосіда. Якщо таке порівняння вам не імпонує, то можна припустити, що близнюки мають годинники, які можуть відраховувати роки, які пройшли, і тоді ці годинники підтвердять існування суттєвої різниці їх віку. З точки зору близнюка-домосіда, годинник і процес старіння мандрівника будуть повільнішими, ніж його.

Але можна заперечити, що уповільнення годинників – однакова для обох. Так як кожен з спостерігачів в праві заявити, що саме часи іншого йдуть повільніше, чим його власні. В зв’язку з цим розглянемо цю ситуацію з точки зору близнюка-мандрівника. Тепер вже він виявиться в ролі близнюка-домосіда (але його домом буде ракета), а його брат в ролі близнюка-мандрівника (космічним кораблем якого буде Земля). Тоді при зустрічі близнюків тепер вже на два роки постаріє близнюк, який знаходився на Землі, а на п’ятдесят – близнюк на ракеті. Так що останній буде дуже здивований, коли, повернувшись на Землю, виявить, що не все так, як він уявляв, і його брат виявився не старшим, а набагато молодшим за його.

В дійсності ж близнюків не можна рахувати повністю рівноправними, так як припускалось раніше. Між ними є суттєва відмінність, яка найбільш сильно виражається при різкій зміні (скажімо на протязі всього 30 секунд) напрямку руху корабля близнюка-мандрівника. В цьому випадку мандрівник буде під дією потужної гальмівної сили, яка більше наж в міліон разів перевищує силу земного тяжіння, так що він буде вмить роздавлений об стінку кабіни свого корабля. І якщо подивитись на ту ж ситуацію з точки зору мандрівника, коли його роль виконує близнюк-домосід, то виявиться, що той не відчуває дії ніякої смертельно небезпечної сили.

А тепер розглянемо ту ж проблему, але з просторово-часової точки зору. Тут передусім слід наголосити увагу на те, що близнюк-мандрівник зовсім не старіє повільніше, чим його брат. Вони обидва старіють зовсім однаково. Якби ми зіткнулись з близнюками, які старіють в різному темпі, то нам би не бело б потреби посилати одного з них в далеку мандрівку. Без мандрівки можна було б обійтись і у тому випадку, коли ми дали б близнюку-мандрівнику годинника, який попередньо був би відрегульований так, щоб відставав від годинника домосіда, навіть знаходячись в стані спокою відносно них.

Чим же тоді пояснити, що близнюк-мандрівник виявився при зустрічі молодше свого брата-домосіда? Перед тим, як дати відповідь на це питання, розглянемо приклад. Нехай один водій вирішив їхати з пункта А в пункт С напряму, тоді як другий поїхав спочатку з пункта А в пункт В, потім з пункта В в пункт С. Тоді при порівнянні своїх лічильників кілометражу вони побачать, що хоча і той, і інший стартували в пункті А і прибули в пункт С, тим не менше вони пройшли різний шлях. І ніхто з них при цьому ніскільки нездивований.

А тепер давайте накреслимо просторові лінії близнюків на діаграмі Мінковського. Вони виходять з події А, якій відповідає старт космічного корабля, і закінчують в події С, якій відповідає приземлення корабля і зустріч близнюка-домосіда з братом-мандрівником. “лічильниками” в даному випадку являються самі близнюки або їх годинники, які ведуть відлік свого особистого часу, а значить, і вік кожного з них. АС – це просторова лінія близнюка-домосіда, а АВС – просторова лінія близнюка-мандрівника. І не має нічого дивного в тому, що час для АС відрізняється від часу для АВС.

Однак дещо тут може здатися дивним. В момент повернення на Землю близнюк-мандрівник повинен виявитись молодшим від свого брата-домосіда. Виходячи з того, що просторова лінія АВС довша, чим АС, то слідувало б, що в момент зустрічі мандрівник буде скоріше всього старшим за свого брата. Вся справа в тому, що при спробах накреслити діаграму Мінковського на простому листку паперу ми, як уже відмічалось, обов’язково приновимо викривлення, про які не слід забувати. Згадаємо, наприклад, що час вздовж просторових ліній, які лежать на світловому конусі, рівні нулю. В даному випадку виявляється, що в реальному просторі-часі інтервал АВС коротший, ніж АС.

Розглянуте нами передбачення спеціальної теорії відносності було підтверджено експериментально, правда, при дещо більш загальних обставинах – при наявності сили тяжіння. В загальних рисах ідея експерименту заключалась в наступному: одні виключно точні атомні часи залишали на Землі, а інші, ідентичні першим, розміщували на борту реактивного літака, який здійснював кругосвітний політ. Коли атомний хронометр-мандрівник “зустрівся” з своїм близнюком-домосідом, то виявилось, що він “відстукав” менше часу, при чому на величину, яка в точності узгоджується з передбаченнями теорії.

Парадокс шеста і сарая.

Ефект скорочення розмірів рухомих тіл породив багато парадоксів в теорії відносності. Розглянемо один із них – парадокс шеста і сарая.

Візьмемо шест АВ довжиною L=20 м і будемо рухати його з такою швидкістю, щоб в системі К він виявився довжиною n=10 м. Тоді в деякий момент цей шест повністю розміщується в сараї, довжина якого також 10 м. Однак в системі К’ овжина сарая буде рівна 5 м. Як можна сховати 20-метровий шест в 5-метровому сараї?

Подібні “парадокси” швидко розв’язуються, якщо виділити в явищі саме суттєве: в задачі розглядається чотири події, пов’язані з точками А, В, Е, F шеста АВ і лінійки EF, кінці якої E i F визначають границі сарая. Нехай події В, F i A, E одночасні в системі К. Тоді в системі К’ вони вже не будуть одночасні і питання, поставлене в умові, не має сенсу. Корисно, однак, вивчити послідовність подій в двух системах координат.

На рисунку зображено просторові лінії точок A, B, E, F в системі К:

x_F=n, x_E=0, x_B=βct, x_A=-n+βct. (1)

Поскільки L=nγ, то по умові задачі γ=2, β=. Припускаючи, що x_F(t₁)=x_B(t₁) або x_E(t₁)=x_A(t₁), знайдемо момент часу , в який шест і лінійка накладаються один на одного. Підставляючи (1) в формули

отримаємо просторові лінії подій в системі К’:

В цій системі шест довжиною L=20 м нерухомий, а сарай довжиною =5 м рухається в від’ємному напрямі осі х’. З рисунка видно, що в момент t’=0 кінець В шеста увійде в сарай і вийде з нього в момент , коли події B i Fодночасні, а події x’_E(ct’₁) i x’_A(ct’₁) – неодночасні. Потім сарай рухається вздовж стержня і в момент проходять одночасні події x’_В(ct’₂)= x’_А(ct’₂) – передня стінка сарая порівнялась з кінцем А шеста.

ЛІТЕРАТУРА

1. Гоффман Б. Корни теории относительности. /Пер. с англ. – М.: Знание, 1987. – с.178-195.

2. Павленко Ю.Г. Начала физики. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – с.522-525.