Определение момента инерции твердых тел

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Выполнил: студент группы

Проверил:

2009 г.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное - риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1 – стойка;

2 – блок;

3 – нить;

4 – грузы;

5 – средний кронштейн;

6 – фотодатчик;

7 – линейка;

8 – миллисекундомер;

9 – регулировочная опора.

Рис. 2.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значение времени <t > и средние значение квадрата времени < t²> прохождения грузом с перегрузкомпутиh:

(3.1), (3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути h:

σ_сл(t) = t(a, n) ×S(t) ; (3.4)

где t(a, n) - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где t_i− время прохождения пути при i–ом измерении ( i =1. … , n);

n – число измерений;

< t > – среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения путиh:

σ(t²) = 2 <t>σ(t) (3.6)

Исследуемая зависимость двух величин t² и h является линейной, то есть удовлетворяет в общем виде формуле:

(3.7)

где k - константа, зависящая от параметров экспериментальной

установки:

(3.8)

где I− его момент инерции блока ;

R– радиус блока ;

M, m – масса груза и перегрузка ;

g – ускорение свободного падения.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Результаты измерений времени прохождения груза

(Таблица 4.1)

Из таблицы методического указания к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа определим коэффициент Стьюдента.

t(a, n) = 2,1

Расчет погрешностей для построения графиков при коэффициенте

Стьюдента = 2,1

(Таблица 4.2)

Определяем абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени согласно методическому указанию к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа

с.

Построение графиков.

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам :

где обозначено:

k= 0,49 с²/м угловой коэффициент прямой

b= 0,06 с² отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

Искомая зависимость имеет вид: t²= 0,49∙h, с²(4.1)

Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях hпо выражению 4.1:

h₀₁ = 15 см, t²₀₁= 0,49×15= 7,35 c² → точка A₀₁

h₀₂ = 29 см, t²₀₂= 0,49×29=14,21 c² → точка A₀₂

Рисунок 4.1. Зависимость квадрата времениt²от пройденного пути h

Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:

где

∆(k) ≈ 0,01 с²/м

∆(b) = 0,17 с²

Используя выражение (3.7) для и учитывая, что г, г, R=75*10^-3 и g=980,67 см/с² вычисляется момент инерции блока.

I_ex = 16986 г∙см²

Абсолютная погрешности косвенного определения момента инерции блока I_э в ходе эксперимента, по формуле:

∆(I_ex) = 552 г∙см²

Экспериментальное значение момента инерции блока:

I__ex= (16986 ± 552) г∙см² = (1,7 ± 0,6) × 10 ^-4 кг∙м²

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь, r = 8400 кг/м³), рассчитать его момент инерции.

Толщина блока в метрах d= 6∙10^-3м

Объём сплошного диска V_CD= π∙d∙R²

V_CD= 1,06 см³

Масса сплошного диска m_CD= p∙ V_CD

m_CD = 890 г = 0,89 кг

Момент инерции сплошного диска I_CD= 1/2∙ m_CD∙r₂²

I_CD = 25031 г∙см²

Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can каждого диска находится по теореме Штейнера.

Радиус каждого выреза в метрах r₂ = 30∙10^{-3 м}

Объём каждого выреза V_can= π∙d∙ r₂²

V_can= 1.696∙10^-5 см³

Масса каждого вырезанного диска m_can= p∙V_can

m_can=142 г = 0,142 кг

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:

Ic=1/2∙m_can∙ r₂² Ic = 639 г∙см²

r₁=40∙10^-3м расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого

вырезанного диска в метрах

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока:

I_can=Ic+ m_can∙ r₁² I_can = 639 г∙см²

Момент инерции цилиндрического отверстияI_отв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем по формуле:

= 2911 г∙см²

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

I_an= I_CD-3∙ I_can I_an = 16298 г∙см²

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения t² = f(h)= 0,49∙hс². Все точкив этой зависимостиукладываются на прямую в пределах их погрешностей.Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t² = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,7 кг∙м²

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,6кг∙м²

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояниеr от оси вращения до линии действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерциихарактеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от распределения его массы относительно оси вращения.

Для элемента тела массой dm момент инерции dIвыражается соотношением: dI = r²dm,

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

где интегрирование осуществляется по всему телу.

2. Моменты каких сил действуют на блок?

Т₁ и Т₂ – силы натяжения нитей.

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M₁= T₁R, M₂= T₂R .

Вращательное движение блока описывается уравнением:

Рис. 6.1

где ε - угловое ускорение блока, I- его момент инерции,

- сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Согласно рис.6.1 вращательное движение блока описывается уравнением

3. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции блока рассчитывается как:

I = I_диск – 3× I_отв

где I_диск – момент инерции сплошного диска;

I_отв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).

Момент инерции цилиндрического отверстияI_отв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера :

Момент инерции Iотносительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

I = I₀ + ml²

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

Физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин; точность вычислений.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

К работе прилагается:

· регистрационный файл - phyLab2.reg

· файл журнала измерений - Ж.лаб2.txt