Вычисление статистических показателей с помощью пакета "Excel"

Министерство образования и науки Украины

кафедра прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Эконометрия"

Харьков, 2008 г.

Задание № 1.

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":

построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о линейной зависимости

Y = b₀ + b₁ * X;

определить параметры b₀ и b₁;

вычислить коэффициенты детерминации R² и коэффициент корреляции r;

сделать прогноз Y в указанной точке X_р.

Решение:

1. Набираем исходные данные в таблицу 1:

Таблица 1

2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.

Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией.

Y = b₀ + b₁X

3. Найдем параметры b₀ и b₁.

Опишем полученный результат:

в первой строке находятся оценки параметров регрессии b₁, b₀;

во второй строке находятся средние квадратичные отклонения s_b1, s_b0.

в третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации R², а во второй ячейке оценка среднего квадратичного отклонения показателя s_е.

в четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F - статистики, во второй ячейке находится k - число степеней свободы;

в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второй ячейке - сумма квадратов остатков.

Полученные результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2.

По данным таблицы 2 можем записать модель:

Y = 5,277335 + 1,958977Х

Коэффициент детерминации R² = 0,967063 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.

4. Найдем прогноз в заданной точке X_p = 10,1. Для этого подставим X_p в модель. Получим

Y_p = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.

Все полученные результаты запишем в таблицу 3.

Таблица 3.

5. Диаграмма примет вид:

6. Вычислим коэффициент корреляции r. В результате расчета получим коэффициент корреляции r = 0,9834.

r = = √0,967063 = 0.9834

Задание № 2.

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":

построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о криволинейной связи между Х и Y;

произвести линеаризацию;

определить параметры a и b;

сделать прогноз в указанной точке;

Решение:

Набираем исходные данные в таблицу 1:

Таблица 1.

На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания.

Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходная модель имеет вид Y = be^ax. Делаем линеаризующую подстановку: V = Y, U = lnX.

Полученные данные заносим в таблицу 2.

Таблица 2.

Строим корреляционное поле:

Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией

Y = b₁X + b₀

Диаграмма примет вид:

3. Найдем параметры b₀ и b₁.

Полученные результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3.

Параметры модели b₀ = 0,436791, b₁ = - 0,2297. Коэффициент детерминации R² = 0,995364 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.

Находим параметры исходной нелинейной модели:

а = е^b1 = e^-0,2297 = 0,79477

b = e^b0 = e^0,436791 = 1,54773

Исходная нелинейная модель примет вид: Y = 1,54773e^0,79477X

5. Вычислим прогнозируемое Y_p в то X_p = 6,5:

Y_p = 1,54773e ^0,79477*6,5 = 271,18

Задание № 3

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":

построить корреляционную матрицу;

по корреляционной матрице проверить факторы X₁, X₂, X₃ на мультиколинеарность, и, если она есть, устранить ее, исключив один из факторов;

проверить гипотезу о наличии линейной связи между показателем Y и оставшимися факторами;

определить параметры линейной связи;

вычислить коэффициент детерминации;

сделать прогноз в указанной точке.

Решение:

Набираем исходные данные в таблицу 1:

Таблица 1.

2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица 2):

Таблица 2.

Визуально можно предположить, что между данными X₂ и X₃ и X₁ и X₃ есть зависимость, значит, фактор X₃ исключаем из модели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X₂ (0,96548 < 0,9700431). Модель будет иметь вид:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂;

3. Строим график зависимости между X₁, X₂ и Y: визуально можно предположить, что зависимость между X₁, X₂ и Y линейная, коэффициент детерминации R² = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.

4. Найдем параметры b₀, b₁ и b₂. Полученные результаты заносим в таблицу 3:

Таблица 3.

5. По данным таблицы можем записать модель:

Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X₁ + 1,344552X₂;

Коэффициент детерминации R² = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.

6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточно подставить X_p в модель.

Y_p = - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19

Задание №4.

Предположим, что между показателем Y - объем выпущенной продукции и факторами X₁ - трудовые затраты, X₂ - объем основных фондов, существует зависимость типа

Y = AX × X

(производная функция Кобба-Дугласа). По приведенным статистическим данным с помощью пакета "Excel":

определить коэффициенты А, б₁, б ₂;

вычислить прогноз в указанной точке;

определить коэффициент эластичности по каждому из факторов в точке прогноза.

Решение:

1. Набираем исходные данные в таблицу 1:

Таблица 1.

Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощью замены:

V = lnY, U₁ = lnX₁, U₂ = lnX₂, b₀ = lnA, b₁ = б₁

получим линейную модель:

V = b₀ + b₁U₁ + b₂U₂

Полученные результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2.

2. Найдем параметры b₀, b₁ и b₂. Полученные результаты заносим в таблицу 3:

Таблица 3.

3. По данным таблицы можем записать модель:

V = 4,6556 + 0,5235U₁ + 1,2964U₂

4. Найдем параметры исходной модели:

А = e^bo = e^4.655595 = 105.1723; a₁ = b₁ = 0,5234561; a₂ = b₂ = 1,296429.

Исходная модель имеет вид:

Y = 105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964

5. Найдем прогноз в заданной точке:

Y = 105.1723 * 77.5^0.5235 * 67.2^1.2964 = 239856.97;

Вычислим коэффициент эластичности, который показывает, на сколько% увеличится (если Е_х > 0) или уменьшится (если Е_х < 0) показатель Y, если фактор X изменится на 1%.

E_X1 = (X₁ * ∂y) / (y * ∂x₁) = (X_1/ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) * ( (∂ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) / ∂x₁) = (X_1/ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) * (105.1723 * X₂^1.2964 * (∂ (X₁^0.5235)) / ∂x₁) = (X_1/X₁^0.5) * 0.5X₁^-0.5 = 0.5X₁^1-0.5-0.5 = 0.5X₁⁰ = 0.5

Вывод

Для модели Кобба-Дугласа коэффициент эластичности - это показатели степени a₁ и a₂, при чем a₁ = 0.5235 - коэффициент эластичности по трудозатратам, а a₂ = 1.2964 - коэффициент эластичности по объему основных фондов.

Литература

1. Лук`яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика. Підручник. - К. Товариство “Знання”. - 1998. - 494 с.

2. Грубер Й. Эконометрия: учебное пособие для студентов экономических специальностей. - К. 1996. - 400 с.

3. Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Эконометрия" для студентов экономического направления заочного факультета. / Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, - Харьков: 2006 г. - 32 с.

4. Конспект лекций по курсу "Эконометрия"