Статистический анализ

1. Анализ распределения элементов статистического ряда

Исходная таблица содержит данные по количеству выявленных лиц, совершивших кражи чужого имущества в населенных пунктах А и Б с 1961 по 2000 гг. В то время было принято измерять временные интервалы пятилетиями. В интервале с 1961 г. по 2000 г. укладывается ровно 8 пятилеток.

Таблица 1. Группировочная таблица по числу выявленных лиц в населенных пунктах А и Б с 1 по 8 пятилетку

С точки зрения статистики у нас появились два вариационных ряда для признаков Х (населенный пункт А) и У (населенный пункт Б) с одинаковым числом вариантов n = 8 без выделения частот и относительных частот. Одновременно эти ряды являются рядами динамики для одного и того же временного интервала с 1 по 8 пятилетку. Графически они могут быть представлены в виде полигонов как ряды динамики.

В рамках данной темы целесообразнее рассматривать интервальные ряды для распределения числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б.

Таблица 2. Интервальные ряды для числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б

Таблица 2 служит таблицей частот. Для построения гистограмм лучше рассмотреть относительные частоты.

Таблица 3. Статистическое распределение интервальных рядов

Относительные частоты вычисляются по формуле:

Wi = n_i/n, (n = 1, 2, 3, …, 8),

где n_а = 1244, n_б = 2643

Диаграмма 1. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту А

Диаграмма 2. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту Б

Населенный пункт А характеризуется неравномерностью распределения числа выявленных лиц, совершивших кражи. Пики преступности данного вида приходятся на 3 и 6 пятилетки. Относительное снижение преступности отмечается в 7 пятилетке (выявлено всего 79 лиц, относительная частота на гистограмме составил W₇ = 0,06). В целом усматривается незначительное снижение уровня преступности.

В населенном пункте Б уровень рассматриваемой преступности выше, чем в населенном пункте А. Обострение преступности произошло в 5 пятилетки. 7-ая пятилетка была спокойнее остальных.

2. Вычисление основных статистических параметров

Таблица 4. Основные статистические параметры рядов распределения

Среднее значение вычисляется по формуле:

Х = 1/8 ∑х

Среднее квадратичное отклонение

б = √х² – (х)²

Асимметрия

As = М³/ б³

Эксцесс

Ех = М⁴/ б⁴

где М³ = 1/8 ∑(х_i– х)³,

М⁴ = 1/8 ∑(х_i– х)⁴.

Отметим промежуточные результаты:

М³(А) = 51664,875;

М⁴(А) = 407404409,3;

М³(Б) = -201499,2539;

М⁴(Б) = 97879670,62.

Видно, что в населенном пункте Б средний уровень преступности почти в 2 раза больше, чем в населенном пункте А.

У соответствующих двух рядов распределения разный характер асимметрии. Довольно большой эксцесс у первого признака, у второго – незначительный.

Заметим, что нулевое значение эксцесса характерно для нормального закона распределения (распределения Гаусса).

3. Анализ динамических рядов

Таблица 5. Ряды динамики числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б

Таблица 6. Основные показатели динамики по населенному пункту А

Таблица 7. Основные показатели динамики по населенному пункту Б

Диаграмма 3. Графическое изображение рядов динамики по населенным пунктам А (сплошная линия) и Б (пунктирная линия)

При заполнении таблиц 6 и 7 использованы формулы для цепной формы расчета:

∆ = у – у_i,

Тр = у_i/у_{i – 1},

Тпр = Тр – 1,

А = у_{i – 1}/100

и для базисной формы:

∆ = у_i – у₀,

Тр = у_i/у₀,

Тпр = Тр – 1,

∆^- = ∆/7,

Тр^- = ⁷√(Тр)₁ (Тр)₂ … (Тр)₇.

Графики и расчетные таблицы говорят о небольшом снижении уровня краж по населенным пунктам А и Б. В среднем абсолютное снижение больше у населенного пункта Б, а темп снижения больше у пункта А. Но сам уровень преступности все время остается выше в населенном пункте Б.

4. Корреляционная зависимость

Парный коэффициент корреляции

Ч_ху = ху^- – х^-*у^-/б_хб_у.

После вычисления среднего значения

ху^- = 1/8∑х_iy_i = 52514,25

получаем Ч_ху = 0,26

Корреляционная зависимость слабая.

У величины Ч_ху как у случайной величины есть среднее квадратичное отклонение

m_ч = √1-ч²/n-2 = 0,4

Величина t_ч = ч/ m_ч распределена по закону Стьюдента со степенью свободы к = n – 2 = 6.

При уровне значимости а = 0,05

Табличное значение

t_табл = 2,4469

Предельная ошибка

∆ч = t_табл * m_ч = 0,98.

Поскольку вообще -1≤ч_ху≤1, то вычисленная ошибка ∆ч = 0,98 смысла не имеет. Причина кроется в слабой тесной связи признаков х и у.

5. Уравнение регрессии

Линейная регрессия у = а + вх рассчитывается по формуле:

ỷ – у^- = ч б_у/б_х (х-х^-),

ỷ – 330,4 = 0,26 * 80,404/53,661 (х – 155,5),

ỷ = 0,39х + 269,8

Критерий Фишера имеет расчетное значение

F = (tч)⁴ = (ч/ m_ч)⁴ = 0.18

При надежности 95% табличное значение F_табл = 5,99. со степенями свободы к₁ = 1, к₂ = 6.

Так как F = 0,18 ‹ 1, следует перейти к обратной величине F_факт = 5,55. Но тогда и F_табл = 233,97 для степеней свободы к₁ = 6, к₂ = 1.

Мы видим, что все уравнение регрессии не значимо.

Абсолютная ошибка ∆у зависит от конкретного значения х и рассчитывается по формуле:

∆у = б_ост √1+1/8 + ∑(х – х^-)²/8б_х²,

Где в свою очередь,

б_ост = √∑(у_i –ỷ_i)²/6.

По формуле ỷ = 269,8 + 0,39х найдем восемь значений ỷ(х):

337 312 362 323 332 361 301 315

Значит, б_ост = 89,373.

Самая малая ошибка ∆у будет при х = х^-:

(∆у)_min= 34,8 * 2,4469 = 232.

Для ошибки это слишком много. Это объясняется слабой теснотой корреляционной зависимости.

6. Обобщение статистических данных и статистический анализ

После группировки исходных данных по пятилетним периодам получились вариационные интервальные ряды.

Поэтому в их ранжировке нет необходимости.

После построения гистограмм выяснилось, что распределения сильно отличаются от распределения Гаусса. Поэтому их исследование с помощью понятий асимметрии и эксцесса становится формальным.

Вычисление средних значений позволило сделать вывод о почти двукратном превышении показателя преступности в населенном пункте Б. Это подтверждает и сравнительная диаграмма 3.

В течение первых шести пятилеток в населенных пунктах А и Б отмечались противоположные тенденции по динамике уровня выявленных лиц, а в последние две пятилетки эти тенденции совпадали. В целом заметно небольшое снижение уровня преступности данного вида. На это указали и расчеты при заполнении таблиц 6 и 7.

Как и ожидалось, корреляционная зависимость показателей по двум населенным пунктам оказалась слабой. Оказалось незначимой и сама регрессионная линейная модель.

По этой причине потеряли практический смысл оценки ошибок для линейного коэффициента корреляции и для прогнозных значений регрессии.

Список использованной литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003.

3. Эконометрика: Учебник. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Шимко П.Д., Власов М.П. Статистика/ Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов на Дону: Феникс, 2003.

5. Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002.

6. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие / Под ред. В.В. Глинского и Л.К. Серга. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002