Курсовая работа

Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов.

R1=130 Ом

R2=150 Ом

R3=180 Oм

R4=110 Oм

R5=220 Oм

R6=75 Oм

R7=150 Oм

R8=75 Oм

R9=180 Oм

R10=220 Oм

E1=20 В

E4=5.6 В

E6=12 В

1. Расчет узловых потенциалов.

Заземляем 0^й узел, и относительно него рассчитываем потенциалы остальных узлов.

Запишем матрицу проводимостей для этой цепи:

Y=

После подстановки значений:

Y=

Составляем матрицу узловых токов:

I=

По методу узловых потенциалов мы имеем уравнение в матричном виде:

Y – матрица проводимостей;

U – матрица узловых потенциалов;

I – матрица узловых токов.

Из этого уравнения выражаем U:

Y^-1 – обратная матрица;

Решаем это уравнение, используя математическую среду Matlab: U=inv(Y)*I

inv(Y) – функция ищущая обратную матрицу.

U=

Зная узловые потенциалы, найдем токи в ветвях:

i₁== -0.0768; i₂== -0.0150; i₃== -0.0430;

i₄== -0.0167; i₅== -0.0454; i₆== 0.0569;

i₇== 4.2281´10^-5; i₈== 0.0340; i₉== -0.0288;

i₁₀== 0.0116

2. Проверка законов Кирхгофа.

Первый закон

для 0^го узла : i₄+i₂-i₅-i₁=0

для 1^го узла : i₂+i₆-i₃-i₉=0

для 2^го узла : i₃+i₇-i₈-i₁=0

для 3^го узла : i₁₀-i₇-i₆-i₅=0

для 4^го узла : i₈+i₄+i₉-i₁₀=0

Второй закон

1^й контур : i₁R1+i₂R2+i₃R3=E₁ Þ 20=20

2^й контур : i₂R2-i₆R6+i₅R5=-E₆ Þ -12=-12

3^й контур : i₄R4-i₈R8-i₃R3-i₂R2=E₄ Þ 5.6=5.6

4^й контур : i₃R3+i₈R8+i₁₀R10+i₆R6=-E₆ Þ -12=-12

5^й контур : i₃R3-i₇R7+i₆R6=E₆ Þ 12=12

6^й контур : i₉R9-i₈R8-i₃R3=0 Þ 0=0

3. Проверка баланса мощностей в схеме

Подсчитаем мощность потребителей:

P₁=i₁²´R1+i₂²´R2+i₃²R3+i₄²´R4+i₅²´R5+i₆²´R6+i₇²´R7+i₈²´R8+i₉²´R9+i₁₀²´R10+E4´i₄= 2.2188

Сюда включёна мощность Е4 так как он тоже потребляет энергию.

Подсчитаем мощность источников:

P₂=E1´i₁+E6´i₆=2,2188

P₁-P₂=0

4. Метод эквивалентного генератора.

Рассчитаем ток в ветви с максимальной мощностью, методом эквивалентного генератора.

Сравнивая мощности ветвей видим, что максимальная мощность выделяется в первой ветви, поэтому уберём эту ветвь и для получившейся схемы рассчитаем U_xx и R_эк .

Расчёт U_xx методом узловых потенциалов:

Матрица проводимостей:

Y=

Матрица узловых токов:

I=

По методу узловых потенциалов находим:

=

Но нас интересует только разность потенциалов между 0^ым и 3^им узлами: U₃₀=U_xx =-6.1597.

Þ I₁===-0.0686

Где эквивалентное сопротивление находится следующим образом:

∆123 Þ :123

:054 Þ ∆054 :054 Þ ∆054

:024 Þ ∆024

При переходе от : Þ ∆ используется формулы преобразования: , а при переходе ∆ Þ :: , две остальные формулы и в том, и в другом случаях получаются путем круговой замены индексов.

Определим значение сопротивления, при котором будет выделяться максимальная мощность. Для этого запишем выражение мощности на этом сопротивлении: . Найдя производную этого выражения, и приравняв её к нулю, получим: R=R_эк, т.е. максимальная мощность выделяется при сопротивлении нагрузки равном внутреннему сопротивлению активного двухполюсника.

5. Построение потенциальной диаграммы по контуру.

По оси X откладывается сопротивление участка, по оси Y потенциал соответствующей точки.

Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов.

Þ

Переобозначим в соответствии с графом:

R1=110 Ом L5=50 млГ С4=0.5 мкФ

R2=200 Ом L6=30 млГ С3=0.25 мкФ

R3=150 Ом

R4=220 Ом E=15 В

R5=110 Ом w=2pf

R6=130 Ом f=900 Гц

1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов.

Матрица сопротивлений:

Z==

=10²´

Матрица сумм ЭДС, действующих в к^ом контуре: E_к=

По методу контурных токов: I_x=Z^-1´E_к=

Действующие значения: I_x=

Выражаем токи в ветвях дерева: I₄=I₁+I₂= 0.0161+0.0025i I₄=0.0163

I₅=I₁+I₂+I₃=0.0208-0.0073i Þ I₅=0.0220

I₆=I₂+I₃=0.0043-0.0079i I₆=0.0090

Напряжения на элементах:

U_R1=I₁´R1=1.8162 U_L5=I₅´w´L5=6.2327 U_C3=I₃´=7.6881

U_R2=I₂´R2=0.3883 U_L6=I₆´w´L6=1.5259 U_C4=I₄´=5.7624

U_R3=I₃´R3=1.6303

U_R4=I₄´R4=3.5844

U_R5=I₅´R5=2.4248

U_R6=I₆´R6=1.1693

2. Проверка баланса мощностей.

Активная мощность:

P=I₁²´R1+I₂²´R2+I₃²´R3+I₄²´R4+I₅²´R5+I₆²´R6=0.1708

Реактивная мощность:

Q=I₅²´w´L5+I₆²´w´L6-I32´=-0.0263

Полная мощность:

S==0.1728

С другой стороны:

Активная мощность источника:

P=E´I₄´cos(arctg)=0.1708

Реактивная мощность источника:

Q=E´I₄´sin(arctg)=-0.0265

Полная мощность источника:

S=E´I₄=0.1728

3. Построение векторной диаграммы и проверка 2^го закона Кирхгофа.

Для 1^го контура:

I₁´R1+I₄´R4+I₄´ +I5´R5+I5´282.7433i-E=0.0088-0.0559i

Для 2^го контура:

I₂´R2+I₄´R4+I₄´+I₅´282.7433i+I₅´R5+I₆´169.6460i+I₆´R6=0.0088- 0.0559i

Для 3го контура:

I₅´R5+I₆´169.6460i+I₆´R6+I₃´+I₃´R3+I₅´282.7433i=-0.0680-0.0323i

Векторная диаграмма:

Топографическая диаграмма для 1^го контура:

Топографическая диаграмма для 2^го контура:

Топографическая диаграмма для 3^го контура:

Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов. 1

1. Расчет узловых потенциалов. 1

2. Проверка законов Кирхгофа. 2

3. Проверка баланса мощностей в схеме_ 3

4. Метод эквивалентного генератора. 3

5. Построение потенциальной диаграммы по контуру. 4

Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов. 5

1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов. 6

2. Проверка баланса мощностей. 6

3. Построение векторной диаграммы и проверка 2^го закона Кирхгофа. 7