Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі

Курсова робота на тему: "Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі"

Зміст

1. Технічне завдання на курсову зі схемами

2. Вибір варіанта схеми

3. Розрахунок простого електричного кола

4. Складання системи рівнянь для розрахунку струмів і напруг

5. Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі методом Крамера

6. Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі методом обігу матриці

7. Визначення вірогідності значення струмів на основі закону Кирхгофа

8. Визначення вираження для комплексного коефіцієнта передачі

9. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ із визначенням їхніх характеристик

1. Технічне завдання на курсову роботу зі схемами

1. Кожному студенту у відповідності з порядковим номером по журналу вибрати варіант схеми по малюнку 1. Різні конфігурації схеми утворяться залежно від положення ключів "К1 - К5 ", які встановлюються по номері варіанта, представленому у двійковому коді. Номера позицій одиниць і нулів у номері варіанта випливають ліворуч праворуч.

2. Визначити величини елементів схеми малюнка 1 і частоту генераторів за допомогою наступних формул:

R = 100 ? [ 4 + 0,2 ? N ] [Ом]; ( 1)

З = 100 ? [ 5 + 0,2 ? N ] [Пф]; ( 2)

Ė_n = 2 [ 7 + (-1)^n+N · 0,2 · N ] · [В]; ( 3)

f_n = 10 [ 7 + (-1)^N · 0,2 ? N ] [ кГц] , ( 4)

де N-Номер студента по журналі, а n – номер елемента в схемі.

Малюнок 1 - Схема електричного кола для вибору свого варіанта

3. У схемі, отриманої в п. 3.1., виключити (замкнути) всі джерела крім Ė₁ і розрахувати, використовуючи прості перетворення ланцюгів, струм у ланцюзі джерела Ė₁. За результатами розрахунку побудувати векторну діаграму для ланцюга, у якій всі елементи ланцюга, крім резистора R, підключеного до джерела ,об'єднані в еквівалентний опір , як це показано на малюнку 2.

Малюнок 2 - Схема еквівалентного ланцюга

Здійснити моделювання ланцюга за допомогою програми EWB – 5.12 і визначити значення струму в ланцюзі джерела Ė₁, а також напруги на опорі й R.

4. Використовуючи схему п. 3.1 розрахувати струми й напруги на її елементах, використовуючи формули Крамера, а також обіг матриць. Здійснити порівняння результатів.

5. Для схеми з п. 3.3 знайти вираження для комплексного коефіцієнта передачі електричного кола.

6. Використовуючи формулу для комплексного коефіцієнта передачі ланцюга визначити вираження для АЧХ і ФЧХ ланцюга.

7. Побудувати, використовуючи вираження з п. 3.6, графіки для АЧХ і ФЧХ ланцюга.

8. Визначити граничні частоти смуги пропущення й коефіцієнт прямого кута ланцюга, використовуючи результати п. 3.7.

9. Дати характеристику досліджуваного ланцюга по п. 3.3 з погляду фільтрації електричних коливань.

2. Вибір варіанта схеми

Для вибору схеми необхідно представити свій номер по журналі студентської групи у двійковій формі. Варіант №1 у двійковій формі дорівнює 00001.

Положення ключів у схемі:

Беремо дану нам схему для вибору варіанта:

Малюнок 2 - Схема електричного кола для вибору свого варіанта

Далі встановлюємо перемикачі К1-К5 у положення, що відповідає номеру варіанта у двійковій формі. Після цього одержуємо наступну схему:

Малюнок 3 - Схема ланцюга для варіанта №1

Величини елементів схеми визначимо по формулах:

R = 100 ? [ 4 + 0,2 ? N ] [Ом]

З = 100 ? [ 5 + 0,2 ? N ] [Пф]

Ė_n = 2 [ 7 + (-1)^n+N · 0,2 · N ] · [В]

f_n = 10 [ 7 + (-1)^N · 0,2 ? N ] [ кГц]

R=100*[4+0,2*1]=420[Ом]

C=100*[5+0,2*1]=520[Пф]

E₁=E₃=E₅=2*[7+0,2*1]*e^j(25+0,2*1)=14,4*e^j*25,2=13,0295+j*6,1312 [В]

E₂=E₄=2*[7-0,2*1]*e^{j(-(25+0,2*1))}=13,6*e^j(-25,2)=12,3056-j*5,7906 [В]

f₁=f₂=f₃=f₄=f₅=10*[7-0,2*1]=68 [кГц]

3. Розрахунок простого електричного кола

Необхідно визначити струм у ланцюзі джерела E_1,

Малюнок 4 - Схема простого електричного кола

Для цього скористаємося формулами для послідовної й паралельної сполуки елементів і обчислимо еквівалентний комплексний опір z_э. Значення струму в ланцюзі визначимо по формулі: İ=Ė/z₀=Ie^jφ і виразимо в тимчасовій формі, тобто: i(t)=I_mcos(ωt+?)

Одержали наступні значення:

x_c = =4501 [Ом]

z_c = -j x_c = -j*4501 [Ом]

z₁= R+z_c =420-j*4501 [Ом]

z₂=z₁*(R+z_c)/(z₁+R+z_c)=210-j*2251 [Ом]

z₃=z₂+R=630-j*2251 [Ом]

z₄=z₃* z_c/z₃₊z_c =324,877-j*1512 [Ом]

z_э=z₄+R=744,877-j*1512 [Ом]

İ=E₁/z_э= 1.531*10^-4+j*8.542*10^-3 [A]

|İ|= 8,543*10^-3 [A]

I_m=|İ|*21/2 = 0,012 [A]

i(t)= 0,012*cos(427040t+88,97) [A]

U_R=I*R=3,57*e^j*88,97 [B]

U_Zэ=I*Z_э=14,3*e ^j*25,2 [B]

Побудуємо векторну діаграму:

4. Складання системи рівнянь для розрахунку струмів і напруг

Малюнок 6 - схема складного електричного кола

Складемо граф електричної схеми, щоб вибрати незалежні контури й задамо контурні струми:

Малюнок 7 - Граф електричного кола

Для даних контурів складемо систему рівнянь по другому законі Кирхгофа з урахуванням спільного впливу одного контуру на іншій. Напрямку обходу у всіх контурах вибираються однаковими.

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(jπfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

5. Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі методом Крамера

Для розрахунку електричної схеми складемо систему рівнянь по методу контурних струмів:

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(j2πfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

По системі рівнянь складемо матрицю опорів Z, тобто впишемо відповідні коефіцієнти при струмах I₁, I₂, I₃:

R+1/(j2?fC) -1/(j2?fC) 0

-1/(j2πfC) 2R+2/(j2?fC) -R-1/(j2?fC)

0 -R-1/(j2πfC) 2R+2/(j2?fC)

Струми в контурах визначимо по формулі Крамера: İ_n=D_n/D (n=1,2,3…...), де D – головний визначник матриці опорів Z, а D_n – визначник, отриманий з D при заміні елементів його k-го стовпця відповідними правими частинами рівнянь. Права частина рівнянь - матриця-стовпець, складена з вільних членів:

Головний визначник матриці дорівнює:

Знайдемо визначники D₁,D₂,D₃:

Контурні струми будуть рівні:

I₁=D₁/D= -1.302*10^-4+j*2.286*10^-3 [A]

I₂=D₂/D= 2.305*10^-3+j*2.114*10^-3 [A]

I₃=D₃/D= 1.917*10^-3+j*2.352*10^-3 [A]

6. Розрахунок струмів і напруг складного електричного кола методом обігу матриці

Для розрахунку струмів методом контурних струмів, необхідно скласти систему рівнянь. Скористаємося системою рівнянь, складеної в попередньому пункті:

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(j2πfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

Для знаходження струмів I₁, I₂, I₃ вирішимо систему рівнянь методом обігу матриці. Ī_n=Z_n^-1*Ē_n, де Z_n^-1 – зворотна матриця опорів схеми, що дорівнює:

7. Визначення вірогідності значення струмів на основі закону Кірхгофа

Малюнок 8 - Схема складного електричного кола

Розрахуємо струми, що проходять через елементи ланцюга:

I_R1=I₁

I_R2=I₂

I_C1=I₂-I₁

I_R3=I_C2=I₃-I₂

I_C3=I₃=I_R4

I_R1+I_C1-I_R2= I₁+(I₂-I₁)-I₂=1.302*10^-4+j*2.286*10^-3+ (2.305*10^-3+j*2.114*10^-3-1.302*10^-4+j*2.286*10^-3)-

-2.305*10^-3+j*2.114*10^-3=0

8. Визначення вираження для комплексного коефіцієнта передачі

Комплексний коефіцієнт передачі знайдемо в такий спосіб:

K=U_вых/U_вх=U_вых/E₁, при цьому схемі вважати R=1000 Ом, а З=1 nФ=1*10^-9 Ф.

U_вих – знайдемо, використовуючи метод контурних струмів:

Малюнок 9 - Схема простого електричного кола для розрахунку комплексного коефіцієнта передачі.

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(j2πfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=0

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=0

Виразимо з (1) струм I₁. Одержимо:

I₁= (E₁+I₂Z_c) / R+Z_c

Отримане вираження підставимо в (2) замість I₁ і виразимо струм I₂. Одержимо:

I₂(2R+2Z_c) – ((E₁+I₂Z_c)Z_c / R+Z_c) – I₃(R+Z_c) = 0

I₂(2R+2Z_c) (R+Z_c) – (E₁Z_c+I₂Z_c²) - I₃(R+Z_c)² = 0

I₂(2R+2Z_c) (R+Z_c) – E₁Z_c - I₂Z_c² - I₃(R+Z_c)² = 0

I₂((2R+2Z_c) (R+Z_c) – Z_c²) = E₁Z_c+I₃(R+Z_c)²

I₂= (E₁Z_c+I₃(R+Z_c)²) / ((2R+2Z_c)(R+Z_c)-Z_c²)

Звідси знаходимо I₃:

I₃(2R+2Z_c) – (E₁Z_c+I₃(R+Z_c)²)(R+Z_c) / ((2R+2Z_c)(R+Z_c) – Z_c²) = 0

I₃(4R³+12R²Z_c+10RZ_c²+2Z_c³) - E₁Z_cR - E₁Z_c² – I₃(R+Z_c)³ = 0

I₃(4R³+12R²Z_c+10RZ_c²+2Z_c³ - (R+Z_c)³⁾ = E₁Z_cR+E₁Z_c²

I₃(4R³+12R²Z_c+10RZ_c²+2Z_c³ - R³ - 3R²Z_c - 3 RZ_c² - Z_c³) = E₁Z_c(R+Z_c)

I₃(3R³+ 9R²Z_c+7 RZ_c²+ Z_c³) = E₁Z_c(R+Z_c)

I₃= E₁Z_c(R+Z_c) / (3R³+9R²Z_c+7RZ_c²+Z_c³)

U_вых= E₁Z_c(R+Z_c)R / (3R³+9R²Z_c+7RZ_c²+Z_c³)

K= U_вых/E₁= Z_c(R+Z_c)R / (3R³+9R²Z_c+7RZ_c²+Z_c³)

K(f)= 1/(j2πfC) (R+1/(j2πfC))R / (3R³+9R²1/(j2πfC)+7R1/(j2πfC)²+1/(j2πfC)³⁾

9. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ із визначенням їхніх характеристик

Для побудови графіка АЧХ необхідно обчислити модуль комплексного коефіцієнта передачі.

j=

R=1000 Ом

C=10^-9 Ф

f=0,100.. 4000000

K(f)= 1/(j2πfC) (R+1/(j2πfC))R / (3R³+9R²1/(j2πfC)+7R1/(j2πfC)²+1/(j2πfC)³⁾

Для цього скористаємося відповідними операціями із програми MathCAD:

x=0,16*0,707

x1=0,16*0,1

Малюнок 10 - Графік АЧХ ланцюга

Ланцюг є смуговим фільтром.

П_0,707 = 50000 – 45000 = 5000 Гц

П_0,1 = 5800 Гц

К_п = П_0,707 / П_0,1 = 0,8

Малюнок 11 - Графік ФЧХ ланцюга

Список літератури

1. Дияконів В. Mathcad 8/2000: спеціальний довідник. – К., 2007

2.Попов В.П. Основы теории цепей.-М., 1997

3. Електротехнічний довідник // за ред. В.Г. Герасимова. – К., 2006

4. Руководящие указания по релейной защите. Вып. 13В. Релейная защита понижающих трансформаторов и автотрансформаторов 110-500 кВ. Расчеты. М., 1985.

5. Шабад М.А. Расчеты релейной защиты и автоматики распределительных сетей. – Л., 1989