Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Министерство образования и науки Республики Казахстан Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова

Факультет экономический

Кафедра информационных систем

Доклад

Дисциплина: Эконометрика

На тему: Автокорреляция в остатках.

Критерий Дарбина-Уотсона

Выполнила: студентка 2 курса

050509-Финансы,08-501-45 группы

Бимурзина Бахытгуль

Проверил: Жуаспаев Т.А.

Костанай,2010 год

СОДЕРЖАНИЕ:

1.Критерий Дарбина-Уотсона.

2.Уравнение автокорреляции в остатках путем расчета критерия Дарбина-Уотсона.

1. Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции остатков первого порядка регрессионной модели. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

где ρ₁ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < d_L, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > d_U, то гипотеза не отвергается;

Если d_L < d < d_U, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d_L и d_U сравнивается не сам коэффициент d, а выражение (4 − d).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки:

Неприменим к моделям авторегрессии.

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок^].

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

где n — число наблюдений в модели;

V — стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Критерий Дарбина—Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов.

2. Рассмотрим уравнение регрессии вида:

y t = a + ∑ b j ⋅ x jt + ε t

Для каждого момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты εt

определяется из соотношения

ε t = y t − y t = y t − (a + ∑ b j ⋅ x jt ).

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками

МНК остатки εt должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами,

имеющими различную природу:

1) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

2) модель может не включать фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факто-

ров могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

3) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное

влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

4) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом

случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков,

а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения авто-

корреляции остатков.

Первый метод — это построение графика зависимости остатков от време-

ни и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

Второй метод – использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет

величины

n

∑ (ε t − ε t −1 )2

d = i =2 n

Величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значения-

ми t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

n

∑ (ε t − ε 1 )(ε t −1 − ε 2 )

i=2

Между критерием Дарбина–Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

d ≈ 2 ⋅ (1 − r1ε ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и rε1 = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то rε1 = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то rε1 = 0 и d = 2. Следовательно,

0 ≤ d ≤ 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков.

Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону

неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

y t = a + b ⋅ xt + ε t ;

Примем некоторые допущения относительно этого уравнения:

• пусть уt и хt не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выровненных по трендам значений от исходных уровней временных

рядов;

• пусть оценки а и b параметров уравнения регрессии найдены обычным

МНК;

• пусть критерий Дарбина – Уотсона показал наличие автокорреляции в

остатках первого порядка.

Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда

имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (6.1) с помощью замены переменных приводится к виду

y t′ = a ′ + b ⋅ x t′ + u t , где y t′ = y t − r1ε ⋅ y t −1 ; x t′ = x t − r1ε ⋅ x t −1 ;

u t = ε t − r1ε ⋅ ε t −1 ; a ′ = a (1 − r1ε ).

Здесь rε1 – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Поскольку ut, – случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокор-

реляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК.

Его реализация разбивается на следующие этапы:

1. Перейти от исходных переменных уt и хt к переменным у’t и х’t по фор-

мулам.

2. Применив обычный МНК к уравнению, определить оценки пара-

метров а’ и b.

3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения как

a = a ′ /(1 − r1ε ).

Одним из методов расчета параметров уравнения авторегрессии является

метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том,

чтобы заменить переменную yt-1 из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную ŷt-1, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок.

Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо yt-1,

должна иметь два свойства.

Во-первых, она должна тесно коррелировать с yt-1, во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ut.

Существует несколько способов получения такой инструментальной переменной.

1 способ. Поскольку в модели переменная yt зависит не только от yt-1, но и от xt, можно предположить, что имеет место зависимость yt-1 от xt-1, т. е.

y t −1 = d 0 + d 1 ⋅ x t −1 + u t .

Таким образом, переменную yt-1 можно выразить следующим образом:

y t −1 = y t −1 + u t , где

y t −1 = d 0 + d 1 ⋅ x t −1 .

Распределение этой величины приблизительно можно аппроксимировать

стандартизованным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия h с табличным, воспользовавшись таблицами

стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.

1. Если h > 1,96, нуль–гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.

2. Если h < –1,96, нуль–гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции остатков отклоняется.

3. Если –1,96 < h < 1,96, нет оснований отклонять нуль–гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Список использованной литературы:

1. Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А.А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с.

2. Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И.. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. — М.: Юнити-Дана, 2003-2004. — 311 с.

4. Ратникова Т.А. Введение в эконометрический анализ панельных данных (рус.) // Экономический журнал ВШЭ. — 2006. — № 3. — С. 492-519.