Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Вступ

Широко застосовуваним математичним способом для дослідження радіотехнічних сигналів та кіл є розкладання складної функції у неперервну чи дискретну послідовність простіших, елементарних функцій. Це пояснюється тим, що для значної кількості кіл справедливий принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким проходження складного сигналу через коло аналізують, розглядаючи окремо проходження кожної його елементарної складової, а відтак, додаючи на виході всі складові, визначають результуючий вихідний сигнал. Крім того, дуже часто розглядають завдання формування складних сигналів із більш простих, елементарних сигналів.

Завдання апроксимації, тобто наближеного подання складної функції сукупністю елементарних функцій на певному часовому інтервалі найчастіше розв'язують, виходячи з умови забезпечення мінімальної середньоквадратичної похибки. Аналіз показує, що апроксимацію складного сигналу із заданою точністю можна забезпечити мінімальною кількістю членів розкладу, якщо вибрати елементарні функції так, щоб вони були попарно ортогональні на даному часовому інтервалі.

Представлення складної функції у вигляді нескінченного ряду взаємо-ортогональних функцій називається узагальненим рядом Фур’є.

Як системи ортогональних функцій можна використати тригонометричні функції кратних аргументів, поліноми Ерміта, Лежандра, Чебишева, функції Бесселя та інші. Системи ортогональних функцій часто вибирають, виходячи з можливості практичної реалізації (генерування) елементарних складових. Достатньо просто реалізуються на практиці гармонічні функції – синусні (косинусні) коливання, що й зумовило широке застосування їх для розкладання складних коливань.

Сукупність усіх елементарних сигналів, які в сумі утворюють заданий складний сигнал, називають спектром сигналу у вибраному базисі елементарних сигналів.

1 Спектральний опис періодичних сигналів

Приймемо, що складний сигнал (напруга, струм, заряд, напруженість поля тощо) описуємо функцією , який змінюється періодично з частотою де – період повторення.

Відомо, що якщо функція задовольняє умови Діріхле, тобто протягом періоду вона має скінченну кількість розривів першого роду, а також скінченну кількість максимумів та мінімумів і задовольняє умову абсолютної інтегрованості

то вона може бути представлена рядом Фур’є у так званій тригонометричній формі в базисі ортогональних гармонічних функцій з кратними частотами:

(1а)

або в більш компактній формі:

(1б)

де – постійна складова (середнє значення сигналу за період);

та – амплітуди косинусних та синусних складових розкладу
-го порядкового номера;

, – амплітуда та початкова фаза -ої гармонічної складової.

Ці величини визначають виразами:

(2)

(3)

(4)

Амплітуду та початкову фазу -ої гармонічної складової визначають через та :

(5)

(6)

Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

Із виразів (1a,б) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової A₀ та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень , кратних основній частоті . Ці складові називають гармоніками періодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчастим.

Гармоніку, яка відповідає номерові , називають першою або основною гармонікою. При маємо другу гармоніку, при – третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік дорівнюють , їх початкові фази – . Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою, що дорівнює .

У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази. Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне представлення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові по oсі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а по осі ординат – відповідно величини амплітуд гармонік та їх початкові фази .

Ha рис. 1 подані приклади амплітудної (а) та фазової (б) спектральних діаграм деякого періодичного коливання.

Рисунок 1 – Спектральні діаграми амплітуд (а) та фаз (б) періодичного сигналу

Зовнішній вигляд спектральних діаграм пояснює, чому спектр періодичної функції називають лінійчастим. Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про «ширину» спектра, тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.

Із спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусідніми гармоніками по осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) дорівнює значенню частоти основної гармоніки періодичного сигналу. Це означає, що зі збільшенням частоти повторення сигналу віддаль між лініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміна частоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, що випливає з виразів (3)–(5).

Аналіз виразів (2)–(4) показує, що якщо функція є парною (тобто ), то при тому всі коефіцієнти . Це означає, що в ряд Фур’є входять лише косинусні складові і постійна складова:

(7)

а початкові фази всіх гармонік дорівнюють нулеві.

Якщо ж функція є непарною (тобто ), то в цьому разі дорівнюють нулеві постійна складова та всі коефіцієнти та, як випливає з (6), початкові фази всіх гармонік дорівнюють – 38⁰.

Ряд Фур'є має вигляд:

(8)

Розглянемо приклади визначення спектрів деяких поширених періодичних сигналів.

Періодична послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою A та тривалістю , які повторюються з частотою (див. рисунок 14a), причому . При вибраній системі відліку часу функція є парною, тому її спектр складається лише з косинусних складових та постійної складової.

Постійна складова сигналу:

(9)

Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:

(10)

Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:

(11)

Амплітуди гармонік залежать від величини а їх початкові фази визначає знак функції

Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні

Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:

. (12)

Для випадку, що його розглядаємо (), із (12) одержуємо:

(13)

тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.

Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює , про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень , що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де = 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях можна наближено записати :

(14)

Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.

Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом та амплітудою A (див. рис.2).

B інтервалі функція непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):

(15)

Ряд Фур'є даного коливання має вигляд:

(16)

Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.

2 Комплексна форма опису ряду Фур’є

Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:

. (17)

Рисунок 3 – Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри

Справді, з урахуванням (17) записуємо:

(18)

Величину

(19)

прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.

Величину: називають комплексно спряженою з величиною.

Тепер вирази (1a,б) можна записати так:

(20)

Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з’являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.

Комплексні амплітуди можна визначити на підставі функції за формулою:

(21)

Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок між величинами та C_k і S_k, які описуємо виразами (3), (4):

. (22)

Зауважимо, що для від’ємних значень Для де A₀ визначаємо виразом (2).

Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо задана функція , яка описує сигнал.

3 Спектральний опис імпульсних сигналів

Приймемо, що заданий сигнал має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі .

Крім того, функція задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто

Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію у періодичну повторенням її з довільним періодом (рис. 16б). Отриману періодичну функцію можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал як період. Це випливає з виразів (2)–(4). Якщо період збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс .

Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б) імпульсні сигнали однакової форми

Отже, (23)

Збільшуючи період до нескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію , задану в інтервалі

Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно велика, тому що при основна частота функції . Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті ) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами.

Виразимо сказане раніше математично. Амплітуди косинусних та синусних складових k-ї гармоніки періодичного сигналу описуємо виразами:

(24a)

(24б)

де (25)

Якщо період T зростає до нескінченності, то вирази (24 а,б), (25) повинні зберігати свій сенс, проте частота прямуватиме до нуля, і її необхідно замінити нескінченно малою величиною Крім того, добуток при очевидно, може набирати довільних значень і буде неперервною (а не дискретною) функцією k. Тому величину слід розглядати як неперервну змінну частоту , яка змінюється від нуля до нескінченності.

Ураховуючи сказане, коефіцієнти Фур’є для нескінченно великого часового інтервалу розкладу наберуть вигляду:

(26 а)

(26 б)

Із (26 a,б) випливає, що кожна синусна та косинусна складова має нескінченно малу амплітуду.

Введемо позначення:

(27 а)

(27 б)

Тоді вирази (26a,б) відповідно набирають вигляду:

(28а)

(28б)

Співвідношення (27a,б) називають відповідно косинус-перетворенням Фур’є та синус-перетворенням Фур’є.

Із (28a,б) також випливає, що результуючі амплітуди складових спектра на довільній частоті визначаємо співвідношенням:

(29)

а їх початкові фази:

(30)

У виразі (29) введено позначення:

(31)

Як бачимо з (29), амплітуди dA() є нескінченно малі, тому для опису частотних властивостей імпульсного сигналу використовують поняття спектральної густини. Слід відзначити, що спектральна густина – не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частоті енергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві.

Справді, із (29) отримуємо:

(32)

Це означає, що функція характеризує густину розподілу амплітуд складових суцільного спектра по частоті. Функцію називають модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію , яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументом спектральної густини.

Отже, імпульсний сигнал – це сукупність нескінченної кількості гармонічних складових із нескінченно малими амплітудами , початковими фазами , частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:

(33)

Розглянемо приклади визначення спектральної густини деяких поширених сигналів.

Одинокий імпульс прямокутної форми (рис. 17а), описуємо виразом:

(35)

Складові та модуля спектральної густини визначаємо на основі (27 а,б):

Отже, модуль та аргумент спектральної густини, згідно з (30), (31), описуємо виразами:

(36)

(37)

звідки бачимо, що модуль дорівнює нулеві, якщо аргумент синуса задовольняє умову:

(38)

Ця умова виконується на частотах

(39)

Значення при знаходимо з виразу:

(40)

Отже, функція змінюється залежно від знаку Оскільки модуль спектральної густини є величина додатна, то зміна знаку враховується зміною аргументу на величину . На рис. 5) зображено відповідно графіки модуля та аргументу спектральної густини прямокутного імпульсу.

Із виразів (36)–(40) випливає, що вигляд модуля спектральної густини суттєво залежить від тривалості імпульсу зі зменшенням значення при яких функція стає рівною нулеві, переміщаються по осі частот праворуч, спектральна густина стає більш „рівномірною”.

Рисунок 5 – Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу

Експоненційний імпульс (рис. 18) описуємо виразом:

(41)

Складові та визначаємо згідно з (27), використавши табличні значення відповідних інтегралів:

Модуль та аргумент спектральної густини описуємо виразами:

(42)

(43)

Графіки функцій G() та зображені відповідно на рис. 6.

Рисунок 6 – Експоненційний імпульс та його спектральні характеристики

4 Спектральна функція детермінованих сигналів

Широкого поширення набула комплексна форма представлення спектральних характеристик імпульсних сигналів, яка часто є зручнішою та компактнішою при аналізі сигналів.

Покажемо перехід до комплексної форми. Для цього використаємо комплексну форму запису ряду Фур’є (20) і запишемо співвідношення (23):

(44)

У (44) враховано, що при Т кутова частота перетворюється у нескінченно малий приріст , частота k-ї складової ряду k – у поточну частоту , операція додавання переходить в операцію інтегрування. Крім того, введено позначення:

(45)

Функція називається комплексною спектральною густиною або комплексною спектральною функцією.

Модуль комплексної спектральної густини || характеризує густину розподілу амплітуд спектральних складових суцільного спектру по частоті ω, а її аргумент || – фазовий спектр, про що було сказано раніше.

Формули (44) та (45) описують відповідно часове та спектральне представлення імпульсного сигналу і утворюють пару перетворень Фур’є. Формула (45) дає змогу здійснити пряме перетворення Фур’є і знайти комплексну спектральну густину імпульсного сигналу s(t).

Символічно позначимо пряме перетворення Фур'є так:

(46)

Формула (44) дає можливість здійснити зворотне перетворення Фур’є і визначити імпульсний сигнал як функцію часу, якщо задана його спектральна густина Символічно позначимо зворотне перетворення Фур’є так:

[] = s(t). (47)

Спектральну густину можна також подати в такому вигляді:

(48)

Із (48) випливає, що косинус-перетворення Фур'є описує дійсну частину комплексної спектральної густини а синус-перетворення – її уявну частину зі знаком мінус.

Порівняння виразу для комплексної спектральної густини одиночного імпульсного сигналу (45) з виразом для комплексних амплітуд пepioдичної послідовності імпульсів (21) показує, що їх значення для частот відрізняються між собою лише множником 2/T. Це означає, що справедливе таке співвідношення між комплексними амплітудами k-х гармонік періодичного сигналу та значеннями комплексної спектральної густини – для частот, які відповідають частотам цих гармонік:

(49)

де – частота повторення періодичного сигналу.

Співвідношення (49) можна записати так:

(50)

(51)

Отже, модуль спектральної густини одиночного імпульсу та обгинаюча лінійчастого амплітудного спектра періодичної послідовності таких самих імпульсів збігаються за формою і відрізняються лише масштабом, аргумент спектральної густини збігається з обгинаючою лінійчастого фазового спектра даного періодичного сигналу.

Сказане ілюструє рисунок 7, на якому зображені одиночний прямокутний імпульс, модуль його спектральної густини, періодична послідовність імпульсів та її лінійчастий амплітудний спектр.

Із збільшенням періоду T віддаль між спектральними лініями на рис.19 та коефіцієнти зменшуються, але так, що відношення залишається незмінним.

Комплексну функцію яка характеризує залежність спектра сигналу лише від його форми, називають спектральною функцією. З її допомогою на основі співвідношень (50), (51) можна визначити амплітудний та фазовий спектри сигналу незалежно від частоти його повторення.

Рисунок 7 – Спектральні характеристики одиничного прямокутного імпульсу та періодичної послідовності подібних імпульсів