Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы

Задание

Исходные данные

Содержание

Введение

1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения

2. Поведение системы в конкретных условиях

3. Поведения системы в условиях малых колебаний

Список использованной литературы

Введение

Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам

Теоретическая механика, как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими материальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделями являются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела и деформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшие системы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, и перемещающейся по телу материальной точки.

1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения

1.1 Относительное движение материальной точки

Рис.1 Схема механической системы и действующие на шарик силы

Свяжем подвижную систему координат Оxy с вращающейся пластиной как показано на рисунке.

Вращение пластины вместе с системой координат Oxy вокруг оси является переносным движением для шарика. Относительным движением шарика является его движение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.

Дифференциальное уравнение относительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращения пластины имеет вид

, (1.1.1)

где m – масса материальной точки;

- ускорение точки в подвижной системе отсчета;

- внешние силы: ,

- реакции связей: -нормальная реакция стенки трубки;

и - переносная и кориолисова силы инерции.

Вращение пластины происходит равномерно, следовательно =0, значит -.

Силы инерции и направлены противоположно переносному центростремительному и кориолисову ускорению , соответственно. Направление ускорения определим по правилу Жуковского: необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, а затем повернуть вектор этой скорости на 90⁰ по направлению вращения, и получим направление ускорения Кориолиса.

Предположим, что относительная скорость шарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции направлена параллельно оси Оy подвижной системы координат.

Модули сил инерции определяются по формулам:

=

=.

Найдем зависимость h_e от х:

В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:

Спроектируем векторное уравнение относительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:

(1.1.2)

. Выберем φ₀=0 → φ=;

Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделим обе части уравнения на массу тела:

, где (1.1.3)

Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будем искать виде

x=X+,

где Х – общее решение соответствующего однородного уравнения,

-частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение имеет вид

=0, (1.1.4)

которому соответствует следующее характеристическое уравнение

i,

Т.к. величина под корнем отрицательна, то общим решением однородного дифференциального уравнения (1.1.3) будет являться функция:

Х=,

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Частное решение уравнения (1.1.3) будем находить как результат суперпозиции двух решений: .

Для имеем:

(1.1.5)

, где k=0, значит

Подставим в (1.1.4):

При sin:

B=

При cos:

A=

Тогда

Для имеем:

Тогда общее решение дифференциального уравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид

x=

Скорость этого движения равна

Составляющую реакции стенки трубки N_yопределим из второго уравнения системы (1.1.2)

где определяется соответствующим выражением.

1.2 Закон изменения движущих сил, обеспечивающих заданное движение тела. Реакции внешних опор.

Рис.2 Определение реакций в опорах

Определим проекции реакций опоры на оси неподвижной декартовой системы координат O₁x₁y₁ (рис. 2).

Запишем уравнение теоремы о движении центра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:

(1.2.1)

Проектируя уравнение (2.1) на оси системы координат О₁x₁y₁ получаем

,

(1.2.2)

По известным формулам находим координаты центра тяжести системы,

(1.2.4)

Дифференцируя уравнения 1.2.3,1.2.4, получим

Вычисляя вторые производные получим

(1.2.5)

Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2), получаем проекции реакций в опоре О₁ на оси неподвижной системы координат:

При этом мы учли, что

Рис.3 Определение вращательного момента

Применим теорему об изменении кинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающего равномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось z ось вращения:

. (1.3.1)

Определим кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси O_z.

,

где - осевой момент инерции пластины, -угловая скорость вращения.

Шарик М совершает сложное движение- относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью и переносное вместе с пластиной. Переносная скорость перпендикулярна пластине и по модулю равна:

,

где

Кинетический момент шарика относительно оси z равен

,

Кинетический момент всей системы равен

(1.3.2)

Определим главный момент внешних сил относительно оси z. Реакции опор пересекают ось вращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силы тяжести шарика и пластины:

Отсюда имеем:

, (1.3.3)

где M_вр.- внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.

Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем

.

Учитывая, что ω=const получим:

2. Поведение системы в конкретных условиях

2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и их интегрирование

Составим уравнения движения с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах и они принимают вид:

(2.1.1)

где - кинетическая энергия системы;

- обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам и .

Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:

Абсолютная скорость шарика равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), ее величина определяется по формуле:

Тогда для кинетической энергии системы получим:

(2.1.2)

Введем обозначения:

Найдем все производные левой части уравнений (2.1.3):

Обобщенные силы можно определить двумя способами:

1. Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:

Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:

2. Вычислим потенциальную энергию системы:

Найдем обобщенные силы:

Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы и в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы:

Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.

Для проверки численного интегрирования найдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетической энергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетической энергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии (см. приложение №2).

2.2 Определение реакций в опорах методом кинетостатики

Выберем для нашей системы неподвижную систему координат О₁X₁Y₁, (cм. рис.4).

Рис.4. Силы, действующие на систему

Уравнения кинетостатики в векторной форме имеют вид

(2.2.1)

где - главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции;

- главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции относительно точки О₁.

Сила инерции шарика как материальной точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:

,

Сила инерции пластины будет равна:

Модули сил инерции равны

, , (2.2.2)

Изобразим активные силы, реакции опоры и силы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнения кинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX₁Y₁ имеют вид

(2.2.3)

C учётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид

Найденные уравнения реакций шарнира и вращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частях курсовой работы.

3. Поведения системы в условиях малых колебаний

3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость

Для определения положения равновесия механической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы, которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):

(3.1.1)

Найдем возможные положения равновесия системы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корни системы уравнений:

Решая систему уравнений, получаем два возможных положение равновесия:

.

Для оценки устойчивости полученных положений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем все вторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:

Для первого положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:

Воспользуемся критерием Сильвестра:

Для второго положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:

Воспользуемся критерием Сильвестра:

Таким образом, система принимает единственное устойчивое положение равновесия при:

3.2 Частоты главных колебаний. Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Для нахождения частот и форм главных колебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости в положении устойчивого равновесия, при: .

В положении равновесия:

(3.2.1)

Запишем дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы:

Составим характеристическое уравнение:

Или в развернутом виде:

Найдем корни характеристического уравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости:

Определим коэффициенты форм колебаний:

Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:

(3.2.2)

3.3Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Найдем значения постоянных интегрирования системы уравнений (3.2.2) для следующих начальных условий:

Решая систему уравнений, получим:

С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:

Список использованной литературы

1. Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механической системы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.

2. СТП СГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.