Электродинамика

Магнитноеполе.

В пространстве,окружающеетоки и постоянныемагниты, возникаетсиловое поле– магнитное.

Его наличиеобнаруживаетсяпо сильномувоздействиюна внесённыев него проводникис током и постоянныемагниты.

Рамка с токомориентируетсяв магнитномполе. Её можноиспользоватьдля количественногоописания магнитногополя.

(Рисунок)

Вращающиймомент сил:

(50)

где - вектор магнитнойиндукции,

-вектор магнитногомомента.

(51)

где - площадь рамки

- сила тока

- единичныйвектор в направлениинормали рамки.

Из выражений(50) и (51) следует,что вращающиймомент М пропорционаленсиле тока и площади рамки.Таким образом,для другойточки стационарногомагнитногополя вектормагнитнойиндукции будетвеличинойнеизменной.

Движущиесязаряды (токи)изменяют свойстваокружающейих среды, тоесть создаютмагнитное поле.

Вектормагнитнойиндукции характеризуетмагнитное полес учётом магнитныхсвойств среды.

Векторнапряжённостимагнитногополя магнитное полекак функциюот электрическоготока, создавшегоэто поле и отрасстояниядо тока отрассматриваемойточки поля, тоесть без учётамагнитныхсвойств среды.

(52)

где - магнитнаяпостоянная(характеризуетмагнитныесвойства вакуума

- магнитнаяпроницаемостьсреды ( показываетво сколько разусиливаетсямагнитное полев среде за счёториентацииатомов и молекулво внешнеммагнитномполе).

Так какмагнитное полеявляется силовым,то его изображаютлиниями магнитнойиндукции .

(Рисунок)

Линии магнитнойиндукции всегдазамкнуты.

Поле, обладающеезамкнутымисиловыми линиями,называют вихревым.

Потоквектора (магнитныйпоток) черезплощадку :

(53)

или

Из опытаследует принципсуперпозиции:

Магнитноеполе, созданноенесколькимитоками илидвижущимисязарядами равновекторной суммеполей, создаваемыхкаждым токомили движущимсязарядом вотдельности:

(54)

Магнитноеполев веществе.

Всякоевещество являетсямагнетиком,то есть способнонамагничиватьсяпод действиеммагнитногополя. Это явлениеобъясняетсятем, что электроны,входящие всостав атомов(молекул) создаютпри своём движениикруговые токи.Каждый такойток создаётвокруг себямагнитное поле(обладает магнитныммоментом).

(Рисунок)

- модульмагнитногомомента

где е – зарядэлектрона

-скорость электрона

r – радиусорбиты

Без внешнегомагнитногополя магнитныемоменты в веществеориентированыхаотично, вследствиетепловогодвижения атомови молекул. Вовнешнем магнитномполе они ориентируютсяпо полю, поэтомурезультирующееполе равно

где - внешнее поле

- поле, создаваемоенамагниченнымвеществом

Характеристикойнамагниченногомагнетикаявляется физическаявеличина, называемаянамагниченностью- - представляетсобой магнитныймомент в единицуобъёма.

Еслимагнитныймомент атомов(молекул) относительномал, то внешнеемагнитное полевоздействуетна электроннуюорбиту такимобразом, чтовектор магнитногомомента прогрессируетотносительновектора магнитнойиндукции.

(Рисунок)

Это движениеэквивалентнокруговому току,который создаётмагнитное поле.Поле, создаваемоенамагниченнымвеществомнаправленопротивоположновнешнему полюи ослабеваетего. Вещества,обладающиетакими магнитнымисвойстваминазываютсядиамагнетиками.

Если магнитныймомент относительновелик, то значительноечисло векторовориентируетсяво внешнеммагнитном поле- это парамагнитныйэффект.

Диамагнитныйэффект слабеепарамагнитного,поэтому .

Ориентациявсех магнитныхмоментов повнешнему магнитномуполю не произойдет,так как этомумешает тепловоедвижение атомов(молекул). Веществас такими свойствами– парамагнетики.

(Рисунок)

Дляколичественнойоценки явлениярассмотриммагнетикцилиндрическойформы.

Вычислиминдукцию магнитногополя, создаваемуюмолекулярнымтоком:

Магнитныймомент этоготока:

Так как длинаравна 1, то, умноживна длину, получим:

, откуда

Подставивэто значениев формулу для,получим:

Подставими в предыдущеевыражение:

Из опытаизвестно, чтов слабых поляхнамагниченностьпропорциональна ,следовательно,где - магнитная

Для диамагнетиков

Для парамагнетиков

Используяэту формулу,можно записать:

Для диамагнетиковмагнитнаяпроницаемостьсреды

Для парамагнетиков- .

Существуюттвёрдые тела,назыемыеферромагнетиками,у которых .Объясняетсяэто тем, что вферромагнетикахсуществуютобласти спонтанного(самопроизвольного)намагничивания,даже слабоговнешнего магнитногополя достаточнодля их ориентированияпо этому полю.Температура,при которой ферромагнетиктеряет своимагнитныесвойства истановитсяпарамагнетикомназываетсяточкой Кюри.

Магнитноеполе прямоготока

(проводникбесконечнойдлины).

(Рисунок)

; (59)

Подставим(59) в (57)

Используя(58), получим

(60)

Магнитноеполе в центрекругового тока.

(Рисунок)

(61)

ЗаконАмпера.

Взаимодействиепараллельныхпроводников.

Амперустановил, чтосила,с которой магнитноеполе действуетна элементпроводникас током, находящимсяв магнитномполе, прямопропорциональнасиле тока Iв проводникеи векторномупроизведениюэлемента длиныпроводниканавектор магнитнойиндукции :

(62)

Направлениесилы находитсяпо правилулевой руки:

Линиимагнитнойиндукции входятв ладонь, четырепальца направленыпо току, отогнутыйбольшой палецпоказываетнаправлениесилы Ампера.

Модуль силыАмпера определяетсяпо формуле:

где - угол междувекторами и .

Применимзакон Амперадля определениясилы взаимодействиядвух параллельныхпроводников.

???????????????7

????????????????

(64)

(65)

Подставляя(64) в (65), получим:

(66)

Рассуждаяаналогично,получим

(67)

Сравнивая(66) и (67), видим, что

То есть двапроводникапритягиваютсядруг к другус силой

(68)

Если токиидут в противоположныхнаправлениях,то проводникиотталкиваются.

Относительностьмагнитных иэлектрическихполей.

Когда ранееговорилось,что магнитнаясила, действующаяна заряд пропорциональнаскорости, возникалвопрос: по отношениюк какой системеотсчёта. Оказывается,что годитсялюбая инерциальнаясистема отсчёта.

Изучениеэлектричестваи магнетизмапривело Эйнштейнак открытиюпринципаотносительности.

Уравнения,выражающиезаконы природы,инвариантныпо отношениюк преобразующимкоординат ивремени отодной системыотсчёта к другой.

Применимпринцип относительностик магнетизму:

(Рисунки)

В системеК покоитсяпроволока стоком I.В системе покоитсязаряд и движущаясяпроволока стоком .

Рассмотримпервый случай:сумма зарядовв проволокеравна нулю, тоесть проволокане заряженаи электрическоеполе вне еёотсутствует.Поэтому начастицу с зарядом–qдействует сила:

Выражаемиззакона Био-Савара-Лапласа:

Рассмотримчастный случай,когда

(76)

Второй случай:движущиесяположительныезаряды (ионыкристаллическойрешётки, проволоки)создают магнитноеполе, но таккак ??????????????? в системеотсчёта покоится????????7

Если и возникаетмагнитная сила,то это сила состороны электрическогополя. Следовательно,движущаясянейтральнаяпроволока стоком становитсязаряженной.

Вычислимплотностьзаряда в проволокев системе,пользуясь тем,что мы уже знаемо ней в системеК.

Казалосьбы, плотностьодинакова, ноиз специальнойтеории относительностиизвестно, чтопри переходеот одной системыотсчёта к другой,длины меняются,следовательно,меняются иобъёмы.

В проволокес и с создаётсяполный заряд

Если этизаряды будутдвигаться соскоростью ,то они будут находитьсяв объёме меньшейдлины:

(Рисунок)

Полный зарядв системе будет равен

,

где -плотностьзаряда в движущейсясистеме.

Из законасохранениязаряда:

или ,откуда

То есть движущиесясовокупностизарядов сменяютсятем же образом,как и релятивистскаямасса частицы.

Применимэтот результатдля плотностиположительныхзарядов

Отрицательныезаряды в системепокоятся,поэтому ихплотностьостаётся ;в системе Кплотностьотрицательныхзарядов, движущихсясо скоростьюбудет равна:

, откуда

Результирующаяплотностьзарядов в проволокев системе отсчётабудетравна:

или

Так как покоящийсяпроводникнейтрален, то,значит

Движущаясяпроволока стоком будетзаряжена и,следовательно,будет создаватьэлектрическоеполе:

(Рисунок)

Направлениесил в системахотсчёта К и совпадает,величина силыв сучётом формулы(76):

(77)

здесь учтено,что .

Силы Fи отличаютсятолько множителеми для малыхскоростейпрактическиравны.

Учтём, чтосилы тожепреобразуютсяпри переходеот одной системыотсчёта к другой.Импульс частицыв направленииперпендикулярноскорости движенияне меняется.

Рассматриваяуравнениедвижения ,приходим квыводу, что завремя частицаприобретётимпульс в системе К

(Рисунок)

В системеимпульсбудет равен.

Так как системадвижется,то .

Учитываявыражение дляF и,и ,получим

То есть одини тот же результатне зависимоот того, анализируем ли движениелетящей заряженнойчастицы относительнопроволоки стоком или движениепроволоки стоком относительнонеподвижнозаряженнойчастицы.

В первомслучае силабыла чистомагнитная, вовтором случае– чисто электрическая.

Если бы взялидругую системукоординат, тонашли бы некоторуюсовокупностьэлектрическихи магнитныхполей. Электрическиеи магнитныесилы составляютчасти одногофизическогоявления –электромагнитноговзаимодействиячастиц.

Разделениеэтого взаимодействияна электрическиеи магнитныечасти зависитот системыотсчёта, в котороймы описываемвзаимодействие.Но полныйэлектромагнитноеописание инвариантно,полностьюсогласуетсяс принципомотносительностиЭйнштейна.

Поледвижущегосязаряда.

Пространствоизотропно,поэтому, еслизаряд неподвижен,все направленияоказываютсяравноправны.Поэтому создаваемаяточечным зарядомэлектростатическоеполе являетсясферическисимметричным.В случае движениязаряда с постояннойскоростьюотносительноинерциальнойсистемы отсчёта,в пространствепоявляетсявыделенноенапряжениев направлениив направлениивектора .Поэтому создаваемоедвижущимсязарядом магнитноеполе обладаетосевой симметриейотносительновектора скорости.

Рассмотриммагнитное поле,создаваемоеточке магнитногополя точечнымзарядом q,который движетсясо скоростьюв вакууме.

Если(с – скоростьсвета в вакууме),то можно заключить:

(Рисунок)

Учитывая,что из экспериментаследует ,получим:

(55)

Постояннуюkможно определитьтолько изэксперимента.Как показалирасчеты, придвижении зарядаqсо скоростью,близкой к скоростисвета, утрачиваетсясферическаясимметрияэлектрическогополя.

Поле сплющиваетсяв направлениидвижения.

(Рисунок)

ЗаконБио-Савара-Лапласа.

Из опытныхданных физикиБио и Саваро,математикЛаплас получилиформулу:

(56)

где - элемент длиныпроводника

- вектор,проведённыйиз элементав рассматриваемойточке поля,

а

Направлениевектора магнитнойиндукции находитсяпо правилуправого винта.

(Рисунок)

Модульвектора магнитнойиндукции определяетсяпо формуле:

(57)

Изпринципа суперпозицииследует, чтовектор магнитнойиндукции впроизвольнойточке магнитногополя в проводникес током равен:

(58)

где - магнитнаяиндукция поля,создаваемаяэлементомпроводникадлиной .

СилаЛоренца.

На движущийсяв магнитномполе электрическийзаряд действуетсила:

(69)

где q– величиназаряда

- векторскорости заряда

- вектормагнитнойиндукции поля.

Направлениесилы Лоренцаопределяется по правилулевой руки.

(Рисунок)

Модульсилы Лоренцанаходим поформуле:

Так как ,то сила Лоренцаработы не совершает,значит кинетическаяэнергия движущейсячастицы неизменяется.

Если заряженнаячастица влетаетв магнитноеполе перпендикулярнолиниям магнитнойиндукции, тоона будет двигатьсяпо окружностирадиуса R/

, , ,

Если заряженнаячастица влетаетпод некоторымуглом, меньшим90к линиям магнитнойиндукции, тоеё траекториейбудет винтоваялиния.

Если на движущийсяэлектрическийзаряд действуетмагнитное полеи электростатическоеполе, то

(71)

(Рисунок)

Дивергенцияи ротор магнитногополя.

Отсутствиев природе магнитныхзарядов свидетельствуето том, что линиимагнитнойиндукции неимеют ни начала,ни конца. Поэтомупоток векторамагнитнойиндукции через замкнутуюповерхность.

Заменим всоответствиис теоремойГаусса интеграл,получим:

Это условиевыполняетсятолько в томслучае, еслив каждой точкеполя подынтегральнаяфункция равнанулю.

(72)

Таким образом,дивергенциямагнитногополя равнанулю.

Рассмотримциркуляциювектора магнитнойиндукции - .

Вычислимэтот интегралдля прямоготока:

(Рисунок)

В левой частиравенства –скалярноепроизведение.

(73)

Если контурне охватываетпроводник стоком, то .

(Рисунок)

Радиус сначалаперемещаетсяв направлении1-2 (знак плюс), азатем обратно2-1 (знак минус).

Таким образом,если контурне охватываетток, то циркуляцияравна нулю.

Формулу (73)можно обобщитьна случай токов,текущих попроводам произвольнойформы.

(Рисунок)

В силу принципасуперпозиции,можно заключить:

Если токитекут черезвсё пространствоконтура, то

(74)

где - плотностьтока даннойточки.

Сумма тока:

Преобразуемлевую частьравенства (74)по теоремеСтокса:

Интегралыравны, следовательноравны и подынтегральныевыражения:

(75)

Таким образом,ротор векторамагнитнойиндукциипропорционаленвектору плотноститока в даннойточке.

Формула (75)справедливадля вакуумапри отсутствиинестационарныхэлектрическийполей.