Поля и Волны

Лекция7

Плоскиеэлектромагнитные

волны

7.1.Понятие волновогопроцесса.

7.2.Плоские волныв идеальнойсреде.

7.3.Плоские волныв реальныхсредах.

7.4.Распространениеволновогопакета. Групповаяскорость.

7.5.ПоляризацияЭМВ.

7.1.Понятие волновогопроцесса.

Мир,в котором мыживем, - мир волн.Чем характеризуетсямир волн, волновыхпроцессов ?

Волновойпроцесс имеетследующиехарактерныепризнаки:

1. Волновойпроцесс всегдапереноситэнергию и импульсы.Нас интересуютволновые процессыЭМВ.

2. Конечнаяскорость всехволновых процессов.В случае ЭМВ- это скоростьсвета.

3. Независимостьволновых процессовдруг от друга.В этой комнатесуществуютполя самыхразных частот,поля р/станций,света и т.д.

4. Волновыепроцессы, различныепо физическойприроде, описываютсяодним и тем жематематическимаппаратом.

Под волновым процессомпонимают возмущениенекоторойвеличины впространстве,перемещающеесяс конечнойскоростью,переносящеемощность безпереноса вещества.

7.2.Плоская ЭМВв идеальнойсреде.

Подплоской ЭМволной понимаютволновой процесс,у которогосоставляющиеэлектрическогои магнитногополей изменяютсяв одинаковойфазе в плоскостиперпендикулярнойнаправлениюраспространения.

 

(7.2.1.) rot H = j _aE  Используемдля анализа

   1 - еи 2 - е уравнения

(7.2.2.) rot E = - j _aH  Максвелла

Источники,создающиеплоские волныне входят в этиуравнения. Мырассматриваемволновые процессыв дальней зоне,т.е. в пространстве за пределами

 

зарядов и токов. РешимуравненияотносительноЕ и Н.



Изуравнения(7.2.1.) выразим Е иподставим в(7.2.2.):

 

E= ()rot H

 

()rot (rot H) = - j_aH

  

rot rot H = grad div A - ²H

  

grad div H - ²H = ²_a_aH



т.к. div H = 0 - четвертоеуравнениеМаксвелла

 

²H + k² H = 0однородноеволновое ур-еГельмгольца(7.2.3.)

k²= ²_a_a

Точно так же из второго уравненияполучаем



уравнениядля вектораЕ:

• 

²E + k² E = 0 -однородноеволновое ур-еГельмгольца(7.2.4.)

Вразвернутомвиде запишемуравнения:

()+()+()+ k² H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим,что источникЭМ колебанийнаходится оченьдалеко от тойобласти, гдерассматриваемволны.

r₁r₂r₃

т.к. источникочень далеко,то расстояниядо точки можносчитать одинаковым.Из физическогосмысла задачи,можно утверждать,что измененияполей по координате y, х нет, т.е.:

== 0

()+ k² H = 0 (7.2.6.)

Дляплоской ЭМВволновое уравнениеупрощается.Решение уравнения:

H(z)= A e ^{- jkz} + B e^jkz  в обычной форме

H(z,t) = e ^jt(A e ^{- jkz} + B e^jkz) если поле зависитот времени.

 

H(z,t) = h  означает, чтополе векторное.

 

H(z,t)= h [A e ^j(t-kz)+ B e ^j(t+kz)] (7.2.7.)

Выделимсоставляющуюполя c амплитудойА:

 

H_a(z,t)= h A e ^j(t-kz) - в комплекснойформе.

(7.2.8.)

Выделимиз комплексноговыражениядействительнуючасть:

 

H_a^реал(z,t)= Re H_a(z,t) = h Acos(t- kz) (7.2.9.)

z₁ z₂

Фотографияпроцесса вмомент времениt = t₁, t = t₂.С какой скоростьюперемещаетсяфронт с одинаковойфазой ? Выяснимэто:

Ф₁= t₁- kz₁ ; Ф₂ = t₂- kz₂ (7.2.10.)

Приборрегистрируетодинаковуюнапряженность,надо потребовать,чтобы Ф₁= Ф₂

t₁- kz₁ = t₂- kz₂

k(z₂ - z₁)= (t₂ - t₁)

=V_ф -называетсяфазовой скоростьюволны.

k = _a_a

V_ф= -зависит отсвойств среды,

гдераспространяетсяЭМВ.

₀= 8,85*10 ^–12, ₀= 4*10^-7,

V = 3*10⁸(7.2.11.)

 -называютпространственнуюпериодичностьволновогопроцесса.

 -это длина пути,которую проходитфронт с одинаковойфазой за период,или- это естьрасстояние,которое проходитфазовый фронтза 1 период.

вт. Z₁ Ф₁ =t- kz₁

вт. Z₂ Ф₂ =t- kz₂

Ф₁- Ф₂ = 2

z₂- z₁ = =

k = - волновоечисло

V_ф= =f   если в вакууме,то

V_ф= c

V_ф= f  (7.2.12.)

Выяснимсвязь напряженностейЕ и Н в ЭМВ:

 

rot H = j _aE

 

rot E = - j _aH

Спроектируемуравнение наоси координат:

. . .

 i j k

rot H =

H_x H_y H_z

-()= j_aE_x

=j_aE;

0 = j_aE_z



E_z= 0

-()= - j_aH_x , 0 = -j_aH_z

= - j _aH_y , H_z= 0 (7.2.13.)

ВЭМВ отличныот нуля толькодве составляющиев плоскостиплоскостираспространения:

-()= j_aE_x

j k H_y= j_aE_y

(7.2.14.)

Этолишний разподчеркивает,что сферическиеволны излучателяв дальней зонепревращаютсяв плоские ЭМВ.

 

Ориентациявекторов Е иН.

 

Дляплоской ЭМВЕ всегда Н.



Покажем,что величинаЕ Н = 0:

 

EH = E H cos (E H) = 0

(iE_x + j E_y)(i H_x + j H_y)

E_xH_x+ E_yH_y­= Z_c H_yH_x- Z_cH_xH_y= 0

E_x= Z_c H_y ; E_y= - Z_c H_x

 

E  H всегда в плоскойЭМВ

 

H= y₀ A e ^j(t-kz) общая запись

  плоскойЭМВ.

H= x₀ A Z_ce ^j(t-kz) (7.2.15.)

Посколькув рассматриваемойзадаче рассматриваетсятолько одинисточник, тоучитываемтолько волнус амплитудойА. В пространствеимеются

 

2 взаимноперпендикулярныхполя ( Е и Н). Какопределитьнаправлениепереноса энергии?

  

П_ср= ()Re [E H^*]

Итоги:  

1. СоставляющиеЕ и Н лежат вплоскостиперпендикулярнойнаправлениюраспространенияи изменяютсяв фазе (там гдеmax Е там max Н, и наоборот)

2. Отношение=Z_c определеннаявеличина вслучае вакуума Z_c = 120 .Плоская ЭМВоднородная.

3. АмплитудыЕ и Н не зависятот поперечныхкоординат.

4. Уплоской ЭМВ E_z = 0 , H_z= 0.

7.3.Плоские волныв реальныхсредах.

Предыдущийанализ относилсяк идеальнымсредам. В реальныхсредах частьэнергии будеттеряться всреде, значитамплитуда волныбудет убывать. Любая реальнаясреда - наборсвязанныхзарядов (диполей),могут быть исвободныезаряды.

Частьэнергии переходитв тепло. Количественноопишем процесс.

В реальных средах,при гармоническихвоздействияхпроницаемостивеличины комплексные:

 = `_a- j _a``

 = _a`- j _a`` (7.3.1.)

Всерассужденияи результатысохраняют силы,но параметры_а_а- комплексные.

Амплитудныесоотношения.

Сэтой цельюрассмотрим,что представляетсобой волновоечисло в реальнойсреде:

____ _________________

k= _a_a= (_a`-j<sub>a</sub>``)(<sub>a</sub>`-j_a``)= - j (7.3.1.)

посколькувеличины _а и _а- комплексные,то k -тоже величинакомплексная.К каким последствиямэто может привести? Рассмотримволновой процесс:

  

H(z,t) = y₀ A e^j(t-kz)= y₀ A e^{t-(jz)}=



= y₀A e ^e ^{j(t-} (7.3.3.)

Параметр получил названиекоэффициентазатухания. - фазовая постоянная- вещественнаячасть волновогочисла.

V_ф= /  в реальныхсредах (7.3.4.)

Понятиебыло введенодля идеальногодиэлектрика.Если затуханиемало, то можновыбрать точки,где поля отличаютсяпо фазе на 2 и считать, что это .Если затуханиеочень велико,периодичностьпроцесса теряетсмысл (соленаявода), понятиемможно пользоватьсяусловно.

Количественнаяоценка.

Рассмотримповедениеамплитуды вточках:

вт. Z₁  H(Z₁) = A e ^-1

вт. Z₂  H(Z₂) = A e ^-2

Изменение

a= 20 lg ()= 20 lg ()=

=20 lg e ^{2-1}= 20 (Z₂ - Z₁)lg ℓ

Z₂- Z₁ = ℓ

a = 8,69 l [дБ] (7.3.5.)

востолько раз,пересчитанныхв дБ уменьшиласьамплитуда поля.

Подглубинойпроникновенияполя понимаютрасстояние,на которомамплитуда поляубывает в ераз

 

(векторЕ и Н).

Изменениеполя Н = A e ^-.На расстоянииравном глубинепроникновенияв точке Z = 0, Н₁= А

вт. Z = ⁰ H₂ = A e ^-

=е = е ^{- } ; ⁰= 1

⁰= (7.3.6.)

Фазовыесоотношения

Воспользуемсяпонятием“характеристическоесопротивлениеcреды”

____ ________________

Z_c= = _a`- j<sub>a</sub>``/<sub>a</sub>`-j_a``=Z_ce ^j (7.3.7.)

вреальных средахZ_c величинакомплексная.Поведение

 

Е иН в реальнойсреде:

 

H(z,t)= y₀ A e ^-e ^{j(t-}

 

E(z,t)= x₀ A Z_ce ^{- }e ^{j(t-}=



= x₀A Z_ce^{- } e ^{j(t-} (7.3.8.)

Модульхарактеристическогосопротивленияозначает отношениеамплитуд междуэлектрическими магнитнымполями, а фазахарактеристическогосопротивленияпоказываетвеличину сдвигафаз между

   

Е иН. В реальныхсредах всегдаЕ и Н сдвинутына некоторуювеличину.

Волновойпроцесс в реальныхсредах

Расчеткоэффициентазатухания и

фазовойпостояннойв реальнойсреде

Проведемрасчет длячастного случая,широко используемогона практике.

Реальнаяcреда не магнитныйдиэлектрик.

_a= _a`-j<sub>a</sub>`` ; <sub>a</sub>= <sub>a</sub>`-j0 = _ (7.3.9.)

(почва,вода)

Порядокрасчета:

1) Из общихвыражений дляk:

____________

k= - j= (_a`-j<sub>a</sub>``)<sub>a</sub>` (7.3.10.)

Выделимвещественнуюи мнимую часть.Для этого левуюи правую частьвозведем вквадрат, т.к.надо избавитьсяот радикалов:

² -2 j- ²= ²_a`<sub>a</sub>` - j²_a``_a`

Двакомплексныхчисла тогдаравны, когдаравны и вещественныеи мнимые части.

 ²- ²= ²_a`<sub>a</sub>`



 2= ²_a``_a`

²_a`<sub>a</sub>`= q - обозначим

²_a``_a`= <sup>2</sup><sub>a</sub>`_a=q tg 

=tg  (7.3.11)

 ²- ²= q ; =



 2= q tg

²- ()tg²- q = 0

⁴- q²- ()tg²= 0

²=

Какойзнак взять +или - ?

Исходяиз физическогосмысла оставляемтолько +, т.к. - будет отрицательная.

² =(1+ 1 + tg²)

 = (1 + tg² + 1) (7.3.12)

для решение аналогичное:

 =  (7.3.13)

Выводы:

1.По определению V_ф =

V_ф=

tg =

V_фзависит отчастоты. Встретилисьс явлениемдисперсии.ЗависимостьV_ф отf называетсядисперсией.Идеальная средане обладаетдисперсией.

 =0 - идеальнаясреда

 0 - реальная

Рассмотримповедение ЭМВв двух случаях:

1) Средас малыми потерями,малым затуханием:

tg 

_____

 = _a`<sub>a</sub>` (7.3.14.)

 совпадаетс волновымчислом дляидеальногодиэлектрикас параметрами_а,_а.

Для :

________

 1+ tg² 1 + ()tg² - разложениев ряд

_____

 1+ x 1 + x²

= tg=()_a`<sub>a</sub>`

чем > tg, тем > . (7.3.15)

2) Средас большимипотерями.

tg>> 1

 =tg

= 

 == 

tg=

 = = (7.3.16.)

⁰=

Пример:

Определитьво сколько разуменьшаетсяамплитуда волнына расстоянииравном длиневолны (в средес большимипотерями).

e^= e^= e ^{}= e ^= 540 раз

7.4.Групповаяскорость плоскихволн

Всереальные сообщениязанимают определенныйспектр частоти возникаетвопрос, какойреальный сигналпередается?





₁ ₂ ₃

Вреальных средах,каждая гармоническаясоставляющаяпередаетсясо своей скоростью ₁₂₃.С какой скоростьюпередаетсясигнал ?

Рассмотримпростой случай,когда сообщениесостоит из двухгармоническихсигналов:

₁= A cos (₁t- k₁ Z)

₂= A cos (₂t- k₂ Z) (7.4.1.)

Рассмотримсложение двухсигналов:

₌ ₁+ ₂= A [cos (₁t- k₁ Z) + cos (₂t- k₂Z)]

= 2A cos ((₁-)t - (k₁ -)Z) *

*cos ((₁+)t - (k₁ +)Z)

= = ₀

=k = k₀

 ₀ k 0

 = 2 A cos (t- k Z) cos (₀t- k₀Z) (7.4.2.)

----------------------- -------------------

описываетмедленно описываетбыстро изменяющийся волновой процесс.

Приоценке скоростиреальных сигналов,специалистырассматриваютскорость переносаmax энергии. Рассмотримс какой скоростьюизменяетсяв пространствефронт max амплитуд.

вт. Z₁ , t₁  Ф₁ = t₁- kZ₁ ,

вт. Z₂ , t₂  Ф₂ = t₂- k Z₂

Ф₁= Ф₂  t₁- kz₁ = t₂- k Z₂

k (Z₂- Z₁) = (t₂ - t₁)

=V_гр

=V_гр  (7.4.3.)

V_грпо физическомусмыслу характеризуетскорость перемещенияогибающейсигнала. С движениемогибающейсвязано перемещениеэнергии, поэтомус групповойскоростьюсвязано перемещениеэнергии:

V_грc V_ф>

V_ф связана с изменениемсостояния, ане с переносомэнергии.

V_ф- скорость изменениясостоянияфазового фронта.

Пример: Лампочкипоследовательнозагораются,изменениескорости состояниязагорания можетсколько угоднобольшой.

7.5.Поляризацияплоских электромагнитныхволн

Подполяризациейбудем пониматьзаданную в

 

пространствеориентациювектора Е илиН. Различают3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Нориентирован всегда вдоль одной линии прямой),

 

круговуюполяризация(вектор Е илиН вращаетсяпо кругу), эллиптическуюполяризация(вектор Е илиН вращаетсяпо эллипсу).

Возьмемдва ортогональныхколебания:

Е_х= А cos (t- kz)

E_y= B cos (t- kz + ) (7.5.1.)

 -показываетсдвиг во времени,они не совпадаютпо фазе.

Чтополучится врезультатесложения двухортогональныхколебаний ?

1) А В амплитудыразные, а сдвигфаз равен 0.

y (= 0)

_____ ___________

в E = E²_x+ E²_y= A² + B²cos (t-kz)

_

 =arctg =arctg () (7.5.2.)

Сложениедвух ортогональныхлинейно- поляризованныхколебаний,изменяющихсяв одной фазе,но с разнойамплитудойдает линейно-поляризованноеколебаниеориентированноепод некоторымуглом.

2) А = В ; = (/2)

Дваортогональныхколебания поопределению:

 =arctg ()= arctg=

=arctg tg (t- kz) = (t- kz)

Сложениедвух ортогональныхлинейно- поляризованныхколебанийизменяющихсяс одинаковойамплитудойи фазой со сдвигом /2 дает вращающееколебание(колебание скруговойполяризацией).

___________ _____________________________

E=E²_x+E²_y=A²cos²(t- kz) + A²sin²(t- kz) = A

E = A

Направлениевращения определяетсяопережениемили отставаниемпо фазе.

3)В общем случае,когда А В, и фазы разные,вектор

 

Еили Н вращаетсяпо эллипсу.

Любуюволну с линейнойполяризациейможно представитьв виде двухволн с круговойполяризацией,имеющих разноенаправление.

1 2 3 4 5

Явлениеполяризациишироко используетсяна практике.Все приемныеустройства(служебнаясвязь - вертикальнаяполяризация,в России приемТВ на горизонтальнуюполяризацию,вертикальнаяполяризация- режим передачи,горизонтальная- режим приема.Круговая поляризацияшироко используетсяв радиолокации.

17

Лекция1

Основытеории электромагнитного

поля.

1.1.Информативностьразличныхдиапазоновволн.

1.2.Диапазон сверхвысокихчастот (СВЧ).

1.2.1.ОсобенностиСВЧ диапазона.

1.3. Поляили цепи ? Условиеквазистационарности.

1.4.Векторныехарактеристикиэлектромагнитного

поля.

1.5.Материальныеуравнениясреды.

1.6.Методы описанияфизическихявлений и расчета

устройствСВЧ.

1.1.Информативностьразличныхдиапазоновволн.

Впоследнее времявсе большееколичестволюдей переходятиз сферы материальногопроизводствав сферу обработки,хранения ипередачи информации.Информациюможно излучать,либо передаватьпо кабельнымлиниям, волноводам,световодами т.д. Количествоинформациинепрерывнорастет. Ограничениемявляется количество каналов. Любойканал можетпередать толькоопределеннуюинформацию.

тф

музыкальнаяпередача

газета

ТВ

20кГц f

240 МГц

6 МГц

Рассмотримдиапазоныметровых волн(КВ). = 10 100 [м], f = 30 3 [МГц], f= 27 Мгц. Если в этом диапазоневести телевидение,то можно организоватьчетыре каналаили 6000 телефонныхканалов.

ДиапазонУКВ.

= 1 10 [м], f = 300 30 [МГц], f= 270 Мгц

числотелевизионныхканалов - 40

числотелефонныхканалов - 6*10⁴

Сантиметровыйдиапазон:

= 1 10 см, f = 30 3 ГГц, f= 27 ГГц 

n_телев.= 4000, n_телеф.= 6*10⁶

Миллиметровыйдиапазон = 110 мм, f= 30-300 ГГц, ∆f270 ГГц, n_тв4 ^. 10⁴,n_тф= 6 ^. 10⁷

Еслипосмотретьна оптическийдиапазон = 0,3 3 мкм, f = 10⁵– 10⁶ ГГц, f= 9 ^. 10⁵ГГц. n_тв1,5 ^. 10⁸,n_тф2 ^. 10¹¹,то можно удовлетворитьвсе потребноститехническогопрогресса. Сростом частотыувеличиваетсяинформативность.Наращиваниеканалов связи- это освоениеболее высокочастотныхдиапазонов.

1.2.Диапазон сверхвысокихчастот (СВЧ)

ДиапазонСВЧ : 1 ГГц- 100 Ггц 1 ГГц = 10⁹Гц

1.2.1.ОсобенностиСВЧ диапазона.

1. Остронаправленностьизлучения присравнительнонебольшихразмерахизлучателей.

2. Большаяинформативность.

3. Квазиоптическийхарактерраспространенияволн.

1.3.Поля или цепи? Условиеквазистационарности.

Аппараттеории цепейесть,он могучий.Зачем нужнатеория электромагнитногополя? Противопоставлятьтеорию цепейи теорию полянельзя. В однихусловиях лучшеодна теория,в других другая.Рассмотримпростейшуюсхему.

ℓ

Вопрос: Какиепоказания будутдавать амперметры? Одинаковыеили нет в любойфиксированныймомент времени?

Ответ:Да, еслиТ >> t_зап.Запаздываниемпроцесса колебанииот одной точкик другой можнопренебречь.Т - период колебанийисточника;

t_зап- время запаздыванияпри распространениисигнала в цепи.

Предположимl - линейные размерыцепи, С - скоростьсвета, тогда t_зап= . Если Т >>  Т С >> l, т.к. Т С = ,следовательно:

 >> l - условиеквазистационарности.

(1.3.1.)

Еслиусловие квазистационарностивыполняется,то можно пользоватьсятеорией цепей.Когда условиеквазистационарностине выполняется,нужен другойанализ. В сантиметровоми оптическомдиапазонахиспользуетсятеория поля.

1.4.Векторныехарактеристикиэлектромагнитных

полей.

Дляполного описаниясвойств электромагнитныхполей нужнознать положение,величину инаправлениев пространствечетырех векторов.



Е -вектор напряженностиэлектрическогополя.



Е(х,у,z,t) [В/м]



D - векторэлектрическогосмещения



D(x,y,z,t) [кл/м²]



Н -вектор напряженностимагнитногополя.



Н(х,у,z,t)[А/М]



В -вектор магнитнойиндукции



В(x,y,z,t)[Вб/м²]



Е, В- характеризуютсиловые характеристикиполей.



D,H - характеризуютисточники ЭМП

1.5.Материальныеуравнениясреды.

Материальныеуравненияустанавливаютсвязь междувекторнымихарактеристикамиэлектромагнитныхполей одинаковойприроды. Рассмотримсвязь между векторами D иЕ, В и Н.

Электромагнитныепроцессы могутпротекать всамых разныхусловиях.Электромагнитныеволны пронизываютионосферу (отспутника доземной антенны).От свойствсреды зависятусловия распространения. Физики подробнодают ответ натакие вопросы(физика твердоготела, физикаплазмы и т.д.).В простомпредставлении(грубая модель)среды

разделяютна диэлектрическиеи магнитные.Диэлектрическиесреды состоятиз зарядоводинаковойвеличины ипротивоположныхпо знаку (диполей).

+ - p^э= q ℓ - электрическиймомент.

Многочисленныеэкспериментыи строгиетеоретическиевыводы подтверждаютсвязь:

 

D = _aE

где _а- абсолютнаядиэлектрическаяпроницаемость

среды.

Длявакуума _a= ₀= 8,85 * 10^-12 [Ф/м].

Вводятпонятие относительнойдиэлектрическойпроницаемости: _a= _отн₀

_отн=

В справочной литературе указаны значения _отн. Для магнитныхвеществ ситуацияаналогичная:

 

B = _aH

_a- абсолютнаямагнитнаяпроницаемость.

Длявакуума:

_a= ₀= 4 * 10^-7

Дляудобства расчетоввводят понятие относительноймагнитнойпроницаемости:

_отн=

Выражения(1.5.1.) называютматериальнымиуравнениямисреды.

 

D= _aE

 

B = _aH

 

_пр= E (1.5.1.)

_пр- плотностьтока проводимости[]

 -удельная проводимостьсреды [].

1.6.Методы описанияфизическихявлений и расчета

устройствСВЧ диапазона.

• Электродинамика,как основаописания физическихявлений в СВЧдиапазоне.

• УравненияМаксвелла, какобобщениеэкспериментальныхзаконов электричестваи магнетизма.

5

Лекция2

Интегральныеуравнения

электромагнитногополя.

2.1.Теорема Гауссадля электрическогополя.

2.1.1.Теорема Гауссадля магнитногополя.

2.2. Законполного тока.Ток смещения.

2.3. Законэлектромагнитнойиндукции.

2.4. Законсохранениязаряда.

2.1.Теорема Гауссадля электрического поля.

Интегральныеуравненияэлектромагнитногополя являютсяобобщениемэкспериментальныхзаконов и являютсяпостулатами.

ТеоремаГаусса устанавливаетсвязь междупотоком вектораэлектромагнитнойиндукции , проходящимчерез замкнутуюповерхностьS и зарядаминаходящимисявнутри поверхности.Теорема Гауссаявляется обобщениемзакона Кулона.

q-внутриS

DdS = q =

^S 0вне S (2.1.1.)

Еслизаряд внеповерхности,то П = 0, т.к. сколькозарядов вошло,столько и вышло.

Внутризаряженнойповерхности могут бытьсамые разные распределения зарядов.

(2.1.2.)

Физическоепонимание этихсоотношенийроль и силатеоремы Гаусса.Она позволяетсудить о процессахпроисходящихвнутри не проникаятуда. К примеру,поток 0, значит внутриS есть что-то,что создаетпоток. ЕслиП=0, то там ничегонет, нет источниковполей.

Практическоеиспользованиетеоремы Гаусса,рекомендации.Форма поверхностипроизвольная.Любая. Какраспорядитьсясвободой ? Цилиндр,сфера, куб ит.д. Разныеповерхности,разные сложности.Универсальная рекомендация. Если поверхностьвыбрана такимобразом, чтовектор будет постоянен,то можно использоватьтеорему Гаусса.

S

Пример: Рассчитатьвектор ,создаваемыйбесконечнодлинной заряженнойнитью с линейнойплотностью_L.

Потеореме Гаусса(2.1.2.) имеем:

 

DdS = q

Этап1. Выбор замкнутойповерхности.Цилиндр высотойh и радиусом r.



Этап2. Вычислениепотока вектораD:

    

DdS = 2 D dS + D dS = D 2r h

^{Sосн Sбок}

Этап3. Вычислениезаряда:

q= _Ldl = _LdL = _Lh

^L

Этап4. Применениетеоремы Гаусса:

  

D2r h = _Lh ; D = (_L/ 2r) r₀

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитных полей -



устанавливаетсвязь междупотоком вектораВ и источникамимагнитногополя. Магнитныхзарядов в природенет.

 

ВdS = 0 (2.1.1.1.)

^S

Cтолет назад этимидвумя интегральнымиуравнениямиограничивалисьпознания человечествао природе.

2.2.Закон полноготока. Ток смещения.

Ксередине 18 столетиябольшинствоученых пришлик выводу, чтомежду магнитнымии электрическимиявлениями нетничего общего,это разныеявления. К началу19 века накопилисьфакты, утверждающие,что существуетсвязь междуэлектрическимии магнитнымиявлениями.Датский ученыйЭрстед сделалоткрытие, описавявление, нообъяснениеэтого явлениятогда былонеправильно.Факт - еслипропуститьпо проводникуэлектрическийток, то в окружающем пространстве возникаетвихревое магнитноеполе ,направленноепо касательной.Стрелка компасаотклоняется.

(2.2.1.)

Физическийсмысл: Источникамимагнитных полейявляются движущеесязаряды, т.е. ток. 

Введемпонятие плотностиэлектрическоготока _пр- количествозарядов, проходящихв единицу времени,через единичнуюплощадку к ней направленную.

Наплощадке S выделимэлемент площадьюS, покажем направлениеплощади и плотностьтока проводимости: 

_пр

 

 I = _пр S

 

I = I= _прdS (2.2.2.)

^{S S}

Внекоторойситуации имеетместо сложноераспределениетока.

Выделимв системе некоторыйконтур L, охватывающийчасть токов.Вклад в циркуляциювектора Н даюттолько токи, охватывающиевыделенныйконтур:

  _n

 H dl = I_k (2.2.3.)

^{L k=1}

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅

Для средыс непрерывнымраспределениемтока:

   

 H dl = _прdS (2.2.4.)

^S

Магнитноеполе могутсоздавать не

толькодвижущиесязаряды, но и пе-

ременноеэлектрическоеполе.

2.2.1.Ток смещения:

Попытаемсяна различныхучастках этойцепи вычислитьциркуляцию 

вектораН.

 

= Н dl = I_пр (2.2.1.1.)

^L1

Передвинемпостепенноконтур L₁к обкладкамконденсатора.Описанноеравенство покавыполняется.

 

Неверно H dl = 0 H = 0 ? ? ?

^L2

Магнитноеполе ведь былодо обкладок,почему же оноисчезло ?

Максвелл показал, чтомагнитное полеесть, его порождаетпеременноеэлектрическоеполечто междуобкладкамиесть ток смещения.

ПоМаксвеллу:

 

правильно H dl = I_смещ (2.2.1.2.)

^L2

Вобщем случаемогут протекатькак токи проводимости,так и токи смещения.

H dl = I_пр+ I_см Закон полноготока

^L (2.2.1.3.)

Есливвести понятиеплотности токасмещения, то:

 

I_см= _смdS (2.2.1.4.)

^S

Рассчитаемплотность токасмещения вцепи:

I_см= I_пр= c (2.2.1.5.)

I_см= _a

C= _a U = E d

L_см= S

2.3.Закон электромагнитнойиндукции.

Устанавливаетв интегральнойформе зависимостьЭДС, наведеннойв контуре отмагнитногопотока. Сформулировалзакон электромагнитнойиндукции Фарадей.

Э = (2.3.1.)

 

Э = Еdl - циркуляциявектора Е по

^L замкнутомуконтуру L.

  

Ф = В dS - поток вектораВ

^S

ПлощадкаS опирается наконтур L

Edl = - (2.3.2.)

^L

Знак (-)говорит о том,что возникшаяв контуре ЭДСбудет создавать переменноемагнитное поле,которое препятствуетнаправлениюосновного поля,которое вызвалоЭДС.

2.4.Закон сохранениязаряда.

Взамкнутойсистеме прилюбых процессахполный зарядостается неизменным.Если зарядостается неизменным,значит ничегоне вышло за пре делы.Если зарядменяется, значитвозникает ток:

 

I= Q/ t; I = _прdS (2.4.1.)

^S

Q= _vdV; (2.4.2.)

^v

 

_прdS = - dV - уравнение

^{s v} непрерывности полноготока.

6

Лекция3

УравненияМаксвелла.Дифференциальные

уравненияэлектромагнитногополя.

3.1.Первое уравнениеМаксвелла.

3.2.Второе уравнениеМаксвелла.

3.3.Третье уравнениеМаксвелла.

3.4.ЧетвертоеуравнениеМаксвелла.

3.5. Законсохранениязаряда в дифференциальнойформе.

3.6.Таблица уравненийЭМП.

1.Интегральныеуравнения непозволяютполучать информациюоб электромагнитныхпроцессах вкаждой точкепространства.Они дают усредненныерешения полейв пространстве.

2. Хорошоразвитый аппаратматематическихрешений позволятпереходитьот интегральнойформы к дифференциальнымрешениям.

Впервыепереход отинтегральныхуравнений кдифференциальнымсделал Максвелл.

3.1.Первое уравнениеМаксвелла являетсядифференциальнойформулировкойзакона полноготока:



Hdl = I_пол ; I_пол= I_пр+ I_см

^L     

I_пол= _полнdS ; _пол= _пр+ _см (3.1.1.)

^S

S -опирается наконтур L.

  

Hdl = _полнdS (3.1.2.)

^{L S}

Используемтеорему Стокса:

   

Hdl = rot H dS = _полнdS (3.1.3.)

^{L S S}

Равенствосохраняет силупо любой поверхности,опирающейсяна контур L, отсюдаследует, чтоподынтегральныефункции равны.

   

rot H = _полн; _пр= E- дифференциальная формазакона Ома. 

_см=

rot H = E + - первое уравнениеМаксвелла.(3.1.4.)

Физическийсмысл 1-го уравненияМаксвелла.

Источникамивихревых магнитныхполей являютсятоки проводимостии токи смещения.

3.2.Второе уравнениеМаксвелла являетсядифференциальнойформулировкойзакона электромагнитнойиндукции:

 

Edl = - dS; (3.2.1.)

^L  ^S 

 rot E dS = - dS (3.2.2.)

^{S S}



rot E = - - второе уравнениеМаксвелла.(3.2.3.)

Физическийсмысл. Вихревоеэлектрическоеполе создаетсяпеременныммагнитнымполем.

3.3.Третье уравнениеМаксвелла являетсядифференциальнойформулировкойтеоремы Гауссадля электрическихполей.

 

DdS = Q (3.3.1.)

^S

ВоспользуемсятеоремойОстроградского-Гаусса,которая позволяет осуществить переход от



поверхностногоинтеграла П(D) к объемномуинтегралу от(div D):

  

DdS =  div D dV (3.3.2.)

^{S V}

Запишемправую частьуравнения(3.3.1.) для объемногозаряда. Объединимдва выражения:

Q= dV

^V



 div D dV = dV 

^{v v}



div D =  - третье уравнениеМаксвелла.(3.3.3.)

Физическийсмысл. Источникамиэлектрическогополя (векторовЕ и D) являютсязаряды с плотностью.

3.4.ЧетвертоеуравнениеМаксвелла являетсядифференциальнойформулировкойтеоремы Гауссадля магнитныхполей:

 

BdS = 0 ; (3.4.1.)

^S



div B = 0 - четвертоеуравнение Максвелла. (3.4.2.)

Физическийсмысл. Дивергенциявектора В влюбой точкепространстваравняется нулю,т.е. - источниковнет (магнитныезаряды в природеотсутствуют).Нет ни стыков,ни источников.

3.5.Закон сохранениязаряда в дифференциальнойформе:

ИспользуемтеоремуОстроградского-Гаусса:



 div _прdV = - dV 

^{v v}

 (3.5.1.)

div_пр= - - это уравнениеявляется следствиемиз предыдущихуравнений

3.6.Таблица интегральныхи дифференциальныхуравненийэлектромагнитногополя.

Материальныеуравненияcреды.

 

D= _aE Все эти уравненияявляются обобщениемв математическойформе опытоввсегочеловечестваоб электромагнитныхявлениях.Они недоказываютсяи невыводятся- это результатопытов.

 

B= _aH

 

_пр= E

 

_см= D/ t

4

Лекция4

Энергияэлектромагнитногополя

4.1. Уравнениебаланса энергииЭМП.

4.2. ТеоремаПойнтинга.

4.3. Некоторыепримеры.

Любое реальноесообщениесвязано с передачейэлектромагнитнойэнергии. Чувствительностьприемных устройствоцениваетсяпо той минимальнойэнергии, которойнеобходимодля того, чтобыэти устройствасрабатывали.

Установимправило покоторому можнорассчитыватьэнергию электромагнитногополя, если

   

известныЕ и D, Н и В (векторныехарактеристики).

УравненияМаксвелла даютв целом полноеописание уравнений.Любой акт проверкинеизбежносвязан с извлечениемэнергии ЭМП.Для сравненияэкспериментальныхи теоретическихрезультатовЭМП. Однаковозникаетвопрос о проверкеэтих необходимосвязать энергиюс напряженностьюполей (векторныехарактеристикиЭМП).

4.1. Уравнениебаланса энергии.

Балансэнергии ЭМПявляется следствиемзакона сохраненияэнергии дляЭМП. Выберемпроизвольныйобъем, ограниченныйповерхностьюS, внутри находятсяисточники ЭМП.

Считаем,что мощностьисточниковнам известна,обозначим ее Р_ст(сторонняя).Природа стороннихисточниковне рассматривается.Выясним,на какие процессырасходуетсяР_ст :

1) Часть Р_стпреобразуетсяв другие видыэнергии (теплои т.д.). Это мощностьР_пот.

2) Внутри V могутнаходитьсяэлементы, которыезапасают энергию.Для характеристикиэтих процессоввводится понятиеплотностиэнергии ЭМП W^ЭМ,удельная мощность Повсему объему:

Р^ЭМ= dV (4.1.1.)

^V

Р^ЭМ- мощностьрасходуемаяна изменениенакопленнойвнутри объемаэнергии ЭМП.

3) С ЭМП связаныпроцессы переносаэнергии.

Эта частьР называютизлучаемойР^изл.Для характеристикитаких процессоввведем понятиеплотностиэнергии переносимойЭМП через единичнуюповерхностьза единицувремени вперпендикулярномповерхностинаправлении.Эта величинаполучила названиевектора ПойнтингаП и характеризуетколичествоэнергии переносимойчерез единичнуюплощадку заединицу времениповерхности:



П [Вт/м²]

Мощностьизлучения:

 

Р_изл=ПdS (4.1.2.)

^S

В силу законасохраненияэнергии имеем:

 (4.1.3.)

Р_ст= Р_пот+ (W/ t)dV + ПdS - уравнениебаланса энергии.

^{V S}

Пример:

4.2. ТеоремаПойнтинга.

ТеоремаПойнтингаустанавливаетколичественнуюсвязь междувекторнымихарактеристикамиполей и отдельнымисоставляющимибаланса энергииЭМП.

Для установленияэтой связивоспользуемсяуравнениямиМаксвелла:

 

H  rot E = - (4.2.1.)

    

E  rot H = _см+ _пр+ _ст (4.2.2.)

Вычтем (4.2.2.) из (4.2.1.):

       

H rot E - E rot H = -H - _смЕ- _прЕ- _стЕ (4.2.3.)

     

(div [a x b] = b rot a - a rot b) тождество (4.2.4.)

     

div[ E x H] = - (H+ E)- _прЕ- _стЕ (4.2.5.)

Закон сохраненияэнергии этоинтегральноесоотношение.Поэтому выполниминтегрированиепоследнегоуравнения пообъему V:

  

 div [E H] dV = - (H+ E)dV -

^V  v 

- _прE dV - _ст EdV (4.2.6.)

^{V V}

по теоремеОстроградского-Гаусса:

 div [E x H] dV = [Ex H] dS (4.2.7.)

^{V S}

Упростимвыражение подзнаком объемногоинтеграла:

    

H+ E= (_aH)H +()(_aE)E =

(4.2.8)

- (4.2.9)

Сравнимпоследнееуравнение ссоставляющимибаланса энергииЭМП (4.1.2.):

 

Р_ст= _стЕ dV знак (-) говорито том,

^v   что энергиярасходуется.

Р_потерь= _прЕ dV

^V

W^эм=

W^э = ; W^м =

  

П = [E x H] (4.2.10.)

3.Некоторыепримеры.

Для определения направления переноса энергии необходимоопределитьнаправления П. В соответствиис правилами векторного произведения направлениевектора П,перпендикулярноплоскостивекторов Е иН. Основнаяэнергия, переносимаявдоль линии,распределенавне проводов.Можно показать,что энергия,поступающаявнутрьпровода в точности равна джоулевымпотерям.

4

Лекция 5

КлассификацияЭМП

5.1. Статическиеполя.

5.2. Стационарныеполя.

5.3. Квазистационарныеполя.

5.4. Относительностьсвойств реальныхсред.

5.5. Быстропеременныеполя.

В основеклассификацииЭМП лежат 2 критерия:

1. Зависимостьполей от времени.

2. Соотношениемежду токамипроводимостии смещения.

5.1. Статическиеполя.

Статическиеполя не зависятот времени :



=0  _см= 0



Заряды неподвижные _пр= 0.

УравненияМаксвелла:

 

1. rot H = 0; 2. rot E = 0

 

3. div B = 0; 4. div D = 

   

B = _aH; D = _aE (5.1.1.)

В статическихполях электрическиеи магнитныеявления проявляютсебя независимо.УравненияМаксвеллараспадаютсяна 2 системы:

 

 rot H = 0 rot E = 0

   

 div B =0 div D =  (5.1.2.)

5.2. Стационарныеполя.

Стационарныеполя не зависятот времени =0 

_см =0 ; _пр0:

 

rot H = _пр- магнитноеполе становитсявихревым



div B = 0

   

B = _aH _пр= Е

 

rot E = 0 div D = 



D = _aE (5.2.1.)

Поля зависятдруг от друга.Электрическоеполе не вихревое,магнитноевихревое.

5.3. Квазистационарныеполя.

 0  _см0 Процессы медленноизменяютсяво времени.

 

rot H = _пр rot E = -

 

div B = 0 div D = 

   

B = _aH D = _aE _пр >> _пр

(5.3.1.)

Эти полядетально изучаютсяв ТЭЦ.

5.4. Относительностьсвойств реальныхсред.

В реальныхсредах существуюттоки проводимостии токи смещения.Рассмотримповедениереальных средв переменныхполях.

Е = Е₀cos t (5.4.1.)

_пр= E = E₀ cos t (5.4.2.)

_см==(_aE)=(_aE₀cost)=-_aE₀sint (5.4.3.)

_пр= E₀ ==tg - тангенс угла диэлектрическихпотерь

_см= _аЕ₀ (5.4.4.)

если tg  >> 1 - проводящаясреда.

tg 

С ростомчастоты всесреды тяготеютк диэлектрикам.

5.5. Быстропеременныеполя

5.5.1. Гармоническиепроцессы иметод комплексных

амплитуд.

5.5.2. УравненияМаксвелла вкомплекснойформе.

5.5.1. Гармоническиепроцессы иметод комплексных

амплитуд.

Из-за того,что процессочень быстроизменяетсяпо времени, то:

>> _пр (производныепо временибольшие)

УравненияМаксвеллапринимают вид:

    

rot H = _см ; rot E = -; div D = ; div B = 0

(5.5.1.1.)

В дальнейшемв курсе мы будемиметь дело стаким классомполей, т.е.быстропеременным.Из всего многообразиявременныхзависимостейполей в нашемкурсе мы рассмотримгруппу, гдеполя изменяютсяпо гармоническомузакону:

 cos t

V = V₀ cos или sin непринципиально +

 sin t

Метод комплексныхамплитуд имеетте же предположения,что и в курсеТЭЦ, мы несколькораспространимего на векторныевеличины.

 

V = V₀cos t - в общем видезаписана производнаявекторнаявеличина,изменяющаясяпо гармоническомузакону.

Как выражаетсятакая величинав методе комплексныхамплитуд ?

  

V = V₀cos t  V = V₀e ^jt - временнаязависимость.

Как вернутьсяк исходномувектору безточки? Какая теорема используется? Теорема Эйлера.

 __

V = Re V= V₀ cos t

  __  

V = V₀cos (t+ )  V = V₀e ^{j(t+}= V₀e ^jt

 

V₀= V₀ e ^j В этом методена амплитудуничего не действует.

Вывод:

1. В окончательныхвыраженияхзависимостьот времениисчезает хотяона всегдаизвестна, ееможно восстановить.

2. Значительноупрощаетсядифференцированиеи интегрированиепо времени,дифференцируемумножаем наj, интегрируемделим на j

 __

=V₀ je ^jt= V j

Средняямощность:

Р_ср= UI^*;

Р_ср^акт= Re (UI^*);

Р_ср^реак= I_m (UI^*)

 __ __

П = [E x H^*]



П^акт_ср= ReП



П^реак_ср= I_mП

5.5.2. КомплексныеуравненияМаксвелла

КомплексныеуравненияМаксвеллаявляютсядифференциальнойформой законовэлектромагнетизмадля гармоническихпроцессов:

    

E = E₀cos (t+ _E)E₀e ^jt; E₀= E₀ e ^je

    

D = D₀cos (t+ _D)D₀e ^jt; D₀= D₀ e ^jd

    

H = H₀cos (t+ _H)H₀e ^jt; H₀= H₀ e^jh

    

B = B₀cos (t+ _B) B₀e ^jt; B₀= B₀ e ^jb

(5.5.2.1.)

Применимметод комплексныхамплитуд кэтому процессу:

 

D = _a E

Формальноможно записатьхотя делениевекторов невстречается.

_a =;

где _а- комплекснаядиэлектрическаяпроницаемость

= e^{j(de}= _ae ^{j(DE}= `_a- j``_a (5.5.2.2.)

В общем случаефаза, с которойизменяетсявектор D и векторЕ могут неравны _D- _E0, т.е. возможноопережениеили отставание.

В гармоническихполях абсолютнаядиэлектрическаяи магнитнаяпроницаемости величиныкомплексные:

.

_a= =_ae ^{j(bh}= `_a- j``_a (5.5.2.3.)

Площадьпетли равнаэнергии наперемагничевание.В любых магнитныхматериалахимеется запаздывание

 

вектора ВотносительноН.

УравненияМаксвелла

   

rot H = _пр+ _см= E + - в обычнойдифференциальнойформе.

Покажем,что уравненияМаксвеллаотносительновременныхпроцессовявляются линейными.

  

H = H₀cos trot H₀ cos t 

    применяемоперацию rot.

H = j H₀sin trot j H₀ sin t 



rot H₀(cos t+ j sin t)= rot H₀ e ^jt

Применимпервое уравнениеМаксвелла квекторнымхарактеристикамполей, записанныхв комплекснойформе:

   

rot H₀= E₀ + j _aE₀ = j E₀ (_a- j )



D₀ _a

  (5.5.2.4.)

rot H₀= j _aE₀ в комплекснойформеотсутствуетзависимостьот времени.

_a= _a- j=`_a- j``_a

где: `_а= _a - характеризуетпроцессы поляризации.

``_a= -характеризуетджоулевыепотери.

По аналогиивторое уравнениеМаксвелла:

 . 

rot E₀= - j _aH₀ (5.5.2.5.)

 

div D=  ; div B = 0

Третье ичетвертоеуравнения нереагируют навремя, не зависятот того, какойпроцесс гармоническийили нет.

Для гармоническихпроцессовтретье и четвертоеуравнения теряют смысл,они входят впервое и второе.

  

rot E= - j _aH₀= - j B₀ (5.5.2.6.)

Применим к правой и левойчасти уравнения(5.5.2.6.) операциюdiv:

 

div rot E= - j div B₀

 

0  div B₀ = 0

Метод комплексныхамплитуд позволилсущественноупроститьописание полей,т.к. требуетсятолько двауравнения:

 

rot H = j _aE _а= _а`- j _a``

 

rot E = - j _aH _a= _a`- j _a``

В дальнейшемчерточку опускаем,но всегда имеемв виду, чтокомплекснаяформа, т.к. присутствуетсимвол j.