Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов

РЕФЕРАТ

Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов

Понятие сигнал в общем случае обозначает условный знак для передачи на расстояние каких-нибудь сведений и сообщений. В радиоэлектронике под сигналом понимается изменяющаяся физическая величина, однозначно отображающая сообщение. Сигнал, несущий информацию о физической величине, состояний исследуемого объекта или процесса, называется информационным. Таким образом, под сигналом понимается распространяющийся в пространстве носитель с информацией, содержащейся в значениях его физических параметров.

Если использовать в качестве базисных функций 1, cos(nWt), sin(nWt), где n=1, 2, 3, …, то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется для анализа спектров периодических сигналов, если сигнал представлен на ограниченном временном отрезке от 0 до Т, либо сигнал является периодическим с периодом Т. При этом функция S(t) должна удовлетворять условиям Дирихле.

Исходная математическая форма ряда Фурье:

,

где - частота основной (первой) гармоники, а коэффициенты и равны:

Т. о. сложный сигнал на отрезке времени Т содержит постоянную составляющую и сумму бесконечного числа гармоник с частотами, кратными частоте основной гармоники.

Учитывая, что , где , а , получим радиотехническую форму ряда Фурье:

.

При расчетах наиболее удобна комплексная форма ряда Фурье:

, где - комплексная амплитуда n-ой гармоники.

Использую формулу Эйлера: , получим следующие выражения взаимосвязи комплексной и других форм ряда Фурье:

, ,

Отрицательным n в комплексной форме ряда Фурье соответствуют отрицательные частоты комплексного гармонического сигнала . Вектор, изображающий комплексный гармонический сигнал на комплексной плоскости, вращается при по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки. Спектр сигнала становится двухсторонним: для каждой гармоники с положительной частотой имеется гармоника – «дублер» с отрицательной частотой. Исключением является постоянная составляющая – для нее «дублера» нет.

Если в периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуда S_m, длительность t, период Т, то тогда

т.е амплитуды гармоник вещественны.

Спектр простого гармонического сигнала S(t)=U_m*sin(wt+j₀) (1)

Большинство аналоговых сигналов имеют более сложную форму. Периодические сигналы произвольной формы могут быть представлены в соответствии с рядом Фурье в виде суммы гармонических колебаний:

(2)

Таким образом, ряд Фурье представляет собой математическую модель периодического сигнала.

Совокупность гармонических составляющих сигнала образуют его спектр.

Амплитуда каждой спектральной составляющей характеризует энергию соответствующей гармоники основной части сигнала. Чем выше скорость изменения амплитуды сигнала, тем больше в его спектре высокочастотных гармоник. Разность между минимальной и максимальными частотами спектра сигнала, между которыми содержится основная часть (95%) энергии, называется шириной спектра ∆F. (рис1).

Рис1. Спектр периодического аналогового сигнала.

Для одиночного прямоугольного импульса (непериодический сигнал) имеют место два соотношения:

(3)

(4)

Формулы 3 и 4 носят фундаментальный характер в теории сигналов и называются прямыми и обратными преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S(w).

Таким образом, интеграл Фурье (3) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигналов с бесконечно малыми амплитудами. Функцию S(w) называют спектральной плотностью. Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот (рис 2). В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину w₁(рис3).

Рис. 3. Периодическая последовательность и ее спектр.

Частота первой гармоники равна частоте следования импульсов. Амплитуды гармоник с увеличением их номера уменьшаются, поэтому считают, что если полоса пропускания устройства лежит в пределах от до , то оно не вносит существенных изменений в передаваемый через него импульсный сигнал.

Частоты составляющих спектра непериодического аналогового сигнала непрерывно изменяются. При наблюдении спектра такого сигнала на экране анализатора спектра положение и уровень различных спектральных составляющих непрерывно меняется, и спектр выглядит как сплошной.

В соответствии с изменением амплитуды аналогового сигнала меняется его энергия или мощность. В зависимости от времени измерения мощности различают среднюю и мгновенную мощность. Вводится понятие динамический диапазон: (5),

где P_maxc и P_minc– максимальная и минимальная мощность сигнала.

Таким образом, аналоговый сигнал описывается набором параметров, являющихся его признаками:

- частота или диапазон частот;

- фаза сигнала;

- длительность сигнала;

- амплитуда или мощность сигнала;

- ширина спектра сигнала;

- динамический диапазон сигнала;

У дискретных сигналов амплитуда имеет конкретное значение (рис. 4). Например, в ЭВМ 0В и 5В (бинарный сигнал). Дискретный сигнал характеризуется следующими параметрами:

- амплитудой или мощностью Р;

- длительностью импульса , временем нарастания t_н и спада t_сп фронтов;

- периодом Т или частотой f повторения импульсов;

- шириной спектра сигнала ;

- скважностью импульсов ;

Спектр дискретного периодического сигнала содержит бесконечное количество убывающих по амплитуде гармоник.

U₀=U_m/Q

U_m1

U_m3

U_m5

Он характеризуется следующими свойствами:

- форма огибающей спектра описывается функцией ;

- амплитуда гармоник имеет нулевое значение в точках , где

- в области частот спектра располагаются гармоник;

- постоянная составляющая сигнала равна .

Учитывая, что большая часть энергии сигнала сосредоточена в области частот , ширина спектра бинарного периодического сигнала приблизительно оценивается по формуле:

,

В реальных цепях форма прямоугольного импульса искажается. Поэтому размывается граница между формами аналогового и дискретного сигнала.

Вид информации, содержащейся в сигнале, изменяет его признаки: форму, ширину спектра, частотный и динамический диапазон. Например, стандартный речевой сигнал, передаваемый по телефонной линии, имеет ширину спектра 300 – 3400 Гц, звуковой 16 – 20000 Гц, телевизионный 6 – 8 МГц и т.д.

Произведение называется базой сигнала. Если , то сигнал узкополосный, при - широкополосный.

В соответствие с формулой Фурье изменение формы сигнала при модуляции приводит к изменению спектра модулированного сигнала. Чем выше максимальная частота спектра модулирующего сигнала , тем шире спектр модулированного сигнала.

Количественное значение увеличения ширины спектра этого сигнала зависит от вида модуляции и ширины спектра модулирующего сигнала.

Ширина спектра модулированного синусоидального сигнала составляет:

-для АМ: ∆F_АМ = 2F_с.м. ;

-для ЧМ: ∆F _ЧМ >> F_с.м. ;

-для ФМ: ∆F_ФМ ≈ ∆F_ЧМ ;

Для радиовещания ширина спектра для ЧМ сигнала составляет 100÷150 кГц, а для АМ»7 кГц.

Любое сообщение в общем случае можно описать с помощью трех основных параметров:

-динамическим диапазоном – Д_с;

-шириной спектра частот - ∆F_с;

-длительностью передачи – t_c;

Произведение Д_{с *} ∆F_{с *} t_c= V_cназывается объемом сигнала. (рис 5)

Рис. 5. Графическое представление объема сигнала

Для обеспечения неискаженной передачи сообщения объемом V_c, необходимо чтобы характеристики среды распространения и непосредственно приемника соответствовали ширине спектра и динамическому диапазону.

Для безискаженной передачи сообщения в реальном масштабе времени полоса пропускания приемника должна соответствовать ширине спектра сигнала.

Проблема передачи информации, содержащейся во многих низкочастотных сигналах, с помощью множества узкополосных каналов связи с разными частотами решается при использовании модулированных сигналов.

Модулированный сигнал – это узкополосный сигнал, параметры которого изменяются пропорционально низкочастотному информационному сигналу. Модулированный сигнал, как правило, является высокочастотным колебанием.

Для получения модулированного сигнала используется гармоническое (несущее) колебание (несущая частота).

Информация вносится в несущее колебание с использованием модуляции – изменение какого-либо из параметров высокочастотного колебания пропорционально низкочастотному сигналу .

Амплитудная модуляция (АМ).

При АМ амплитуда сигнала меняется пропорционально низкочастотному информационному сигналу: , где - начальное значение амплитуды несущей; k_AM - коэффициент амплитудного модулятора.

Поэтому сигнал с АМ: .

Пусть сообщение , тогда

,

где - коэффициент амплитудной модуляции, основной параметр АМ – колебаний с гармонической модуляцией.

Используя тригонометрическую формулу для произведения косинусов, получим:

Все три слагаемых – гармонические колебания: первое – несущее колебание, второе и третье слагаемые называют соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Таким образом, эта формула дает полное спектральное разложение АМ колебания (амплитудный и фазовый спектры). Ширина амплитудного спектра этого АМ - колебания равна (2W) удвоенной частоте модулирующего сигнала.

Если модуляция осуществляется сплошным периодическим сигналом, в спектре которого содержатся много гармоник, то каждая из них даст две боковые составляющие в спектре модулированного сигнала. В спектре появляется верхняя и нижняя боковые полосы. Ширина спектра будет определяться модулирующей гармоникой с максимально высокой частотой. Обе боковые полосы несут полную информацию о нч модулирующем сигнале. Поэтому в технике связи часто используются сигналы с одной боковой полосой (ОБП- сигналы).

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

При АИМ амплитуда периодической последовательности прямоугольных импульсов изменяется пропорционально низкочастотному информационному сигналу. В теории информации АИМ – сигнал называют сигналом типа АИМ-1.

Пусть несущее колебание представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов u(t) с амплитудой U_н , которая описывается тригонометрическим рядом Фурье. Заменив в формуле для АМ величину (U_нcosw₀t) на u(t), получим:

, где - коэффициент или глубина модуляции импульсов.

Т.к. то тогда после преобразования получим выражение для АМ-сигнала:

Анализируя эту формулу, можно сделать вывод, что АИМ – сигнал содержит постоянную составляющую А₀, гармонику А₀М частоты модуляции W и высшие гармонические составляющие А_n частоты следования импульсов nw₁, около каждой из которых симметрично по обе стороны расположены боковые составляющие с частотами (nw₁+W) и (nw₁- W).

Фазовая модуляция (ФМ) – это изменение начальной фазы вч сигнала пропорционально нч сигналу:

, где k_ФМ – коэффициент фазового модулятора,

φ₀ – начальная фаза вч колебания.

Амплитуда сигнала при ФМ не изменяется, а при гармонической ФМ возникает гармоническая ЧМ. Тогда полная фаза (аргумент косинуса) при ФМ будет равна

, т.е. изменение полной фазы не равно частоте несущей ω₀.

Мгновенной частотой сигнала называют производную .

У идеального гармонического сигнала мгновенная частота постоянна: . При ФМ , т.е. при ФМ изменяется мгновенная частота сигнала.

Модулированный сигнал с ФМ:

, если , то

, где β = S_mk_ФМ – индекс фазовой модуляции. Это основной показатель сигнала с гармонической ФМ.

Частотная модуляция (ЧМ) – это изменение мгновенной частоты вч сигнала пропорционально нч сигналу:

,

где k_ЧМ - коэффициент частотного модулятора,

ω₀ – частота вч колебания.

Амплитуда сигнала при ЧМ не изменяется. Увеличение уровня модулирующего сигнала вызывает увеличение мгновенной частоты сигнала, что соответствует увеличению числа макс. и мин. колебания на фиксируемом отрезке времени. При уменьшении мгновенной частоты сигнала увеличивается период квазигармонического сигнала.

При ЧМ полная фаза сигнала определяется по формуле:

,

т.е. при ЧМ изменяется начальная фаза сигнала, а при ФМ имеется изменение мгновенной частоты.

Поэтому ФМ и ЧМ – два тесно связанных друг с другом вида модуляции – относят к угловой модуляции (УМ). Т.к. при модуляции вч сигнал близок к идеальному гармоническому сигналу, то модулированный сигнал называют также квазигармоническим сигналом.

Используя введенные понятия мгновенной частоты при ЧМ, модулированный сигнал запишем в виде:

).

Если для ЧМ используется , то , где - девиация частоты, равная максимальному отклонению мгновенной частоты ω(t) от ω₀. ∆ω – основной показатель сигнала с гармоническом ЧМ. Тогда при гармонической ЧМ y_ЧМ (t) имеет вид:

у_чм(t)=U_m0cos(φ₀t + +φ₀)

Из анализа этой формулы видно, что при гармонической ЧМ возникает гармоническая ФМ с индексом .

Для определения спектра сигнала с гармонической УМ можно использовать формулы у_фм(t) и у_чм(t), а так же используя тригонометрическое соотношение для косинуса суммы двух углов, получим: cos(βcosWt)=j₀(β) - 2j₂(β)cos2Wt + 2j₄(β)cos4Wt -…….;

sin(βcosWt)=2j₁(β)cosWt - 2j₃(β)cos3Wt + 2j₅(β)cos4Wt -…….,

где j_n(β) – бесселева функция первого рода n-го порядка.

Рисунок 6. Графики первых восьми функций Бесселя

Подставляя последние выражения в у_фм(t) и учитывая формулы для произведений тригонометрических функций, получим

у_чм(t)=j₀(β)U_m0cosω₀t – j₁(β)U_m0sin(ω₀+W)t – j₁(β)U_m0sin(ω₀-W)t –

- j₂(β)U_m0cos(φ₀+2W)t - j₂(β)U_m0cos(ω₀-2W)t +

+ j₃(β)U_m0sin(ω₀+3W)t + j₃(β)U_m0sin(ω₀-3W)t +

+ j₄(β)U_m0cos(ω₀+4W)t + j₄(β)U_m0cos(ω₀-4W)t - …..

Следовательно, при ФМ спектр колебаний содержит несущую и бесконечное число гармонических составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты. При использовании формулы для ЧМ - сигнала спектр будет отличаться от спектра ФМ – сигнала только начальными фазами отдельных спектральных компонент.

Амплитуды несущей и боковых составляющих в спектре сигнала с УМ определяются функциями Бесселя.

Если индекс угловой модуляции β=1, то j₀(β)=0,8 и j₁(β)=0,5, а другие функции Бесселя будут пренебрежительно малы. Таким образом, при β< 1 спектр колебаний с ЧМ похож на спектр с АМ, а ширина спектра сигнала при β<1 примерно равна 2W. При β>1образуются верхняя и нижняя боковые полосы, а значит ширина спектра примерно равна 2∆ω.

В настоящее время наиболее широко используются ЧМ и ФМ в радиовещании, в космической связи, в устройствах сотовой связи и в других системах передачи информации с малыми искажениями.

Для увеличения скорости передачи сообщений в современных системах связи и передачи информации используются смешанные виды модуляции. Например, в модемах используется амплитудно-фазовая или квадратурная модуляция.