Выбор оптимального решения на основе анализа экономико-математической модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра «Менеджмента и права»

Курсовая работа на тему:

«Выбор оптимального решения на основе анализа экономико-математической модели»

по дисциплине «Управленческие решения».

Выполнила: Волощук Дарья

Преподаватель: Баранова Л.Е.

ФЭиМ,347 гр.

СПБГТУРП,2010.

Содержание:

Вступление.

Основные этапы процесса экономико-математического моделирования.

Выбор оптимального решения на основе классификации экономико-математических моделей.

Практическая часть.

Список литературы.

Введение.

Принятие решений – основная часть работы менеджеров любого звена любого предприятия. Поэтому понимание всех тонкостей процесса принятия решений в различных условиях, знание и применение различных методов и моделей принятия решений играет значительную роль в повышении эффективности работы управленческого персонала.

Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный метод. В науке управления научный метод подразумевает наличие определенной структуры процесса принятия решений и использование различных методов и моделей принятия решений.

Проведение операционного исследования, построение и расчет экономико-математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Цель, которая преследуется в процессе исследования операций, заключается в том, чтобы выявить оптимальный способ действия при решении той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера. [2,c.9]

Целью данной курсовой работы является описание метода оптимизации управленческого решения задачи, путём анализа экономико-математической модели.

Для реализации поставленной цели в работе необходимо решить следующие задачи: раскрыть теоретические основы, касающиеся темы курсовой работы; описать методы решения задачи; проанализировать и решить задачу на основе экономико-математической модели.

Объектом является возможность выбора оптимального решения задачи на примере, представленном в практической части.

Основные этапы процесса экономико-математического моделирования.

В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, эти этапы приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла принятия управленческого решения на основе экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).

Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.[3,c.24]

Выбор оптимального решения на основе классификации экономико-математических моделей.

В литературе, посвященной вопросам принятия решений на основе экономико-математического моделирования, в зависимости от учета различных факторов (времени, способов его представления в моделях; случайных факторов и т.п.) выделяют, например, такие модели и соответственно последующий анализ проблемной ситуации:

1)Детерминированная модель (линейная модель, нелинейная модель, динамическая модель, графическая модель);

2) Стохастическая модель;

3) Неопределенная модель (теория игр, имитационные модели).

1)Детерминированная. В этих моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на: линейные, нелинейные, динамические и графические.

Нелинейные модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейные по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения.

В динамических моделях учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. По существу метод динамического программирования представляет собой алгоритм определения оптимальной стратегии управления на всех стадиях процесса.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. К классическим задачам линейного программирования относятся задачи на составление оптимального плана перевозок (транспортная задача), задачи о загрузке оборудования, о смесях, о раскрое материалов, об ассортименте продукции, о размещении производства и управлении производственными запасами, задачи о питании, о рациональном использовании сырья и материалов и др. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны следующие стандартные методы решения:

- Графический метод - используется тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

- Симплекс-метод - реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.

- Двухэтапный метод - он позволяет получить сначала стартовую точку, т.е. начальное допустимое решение, а затем оптимальное решение. В ограничения вводятся искусственные переменные необходимые для получения стартовой точки;

- Метод ветвей и границ - его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов. Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

2)Стохастическая. В этих моделях неизвестные факторы - это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.).

3)Неопределённая модель. Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.

В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой двое (или более) сторон преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.[1,c.17]

Практическая часть.

Постановка задачи: разработать оптимальное управленческое решение по удовлетворения выявленного спроса.

Проблемная ситуация:

Маркетинговые исследования выявили возможность дополнительно реализовать 250 тонн бумаги.

Дополнительное количество целлюлозы фабрика может приобретать по 25 тыс.руб. за 1 т, а древесную массу по 16 тыс.руб. за 1 т.

Расход полуфабрикатов на 1 т каждого вида бумаги и запасы этих полуфабрикатов приведены в табл.1.

Построение базовой экономико-математической модели:

Для построения математической модели данной задачи введем переменные и с их помощью запишем систему ограничений и целевую функцию. Обозначим:

X1− объём производства упаковочной бумаги

Х2−объём производства бумаги для гофрирования.

Составим ограничения, учитывающие условие задачи.

Ограничение на расход целлюлозы: 0,5*X1+0,75*X2≤ 95 (1)

Ограничение на расход древесной массы: 0,65*Х1+0,35*Х2≤ 125 (2)

Ограничение дополнительной реализации бумаги: Х1+Х2≤ 250 (3)

Целевая функция для данной задачи: 25*Х1+35*Х2→max (4)

Составим графическую модель:

Где:

- целевая функция (4)

-Ограничение на расход целлюлозы(1)

- Ограничение на расход древесной массы(2)

-Ограничение дополнительной реализации бумаги(3)

Решение задачи:

1. Вариант использования ресурсов собственного производства определяется пересечением (1) и (2) прямых, который предполагает необходимость полной переработки ресурсов собственного производства.

Решим систему:

0,5*X1+0,75*X2=95 Х1=193,6

0,65*Х1+0,35*Х2=125 Х2= -2,4

Полное использование ресурсов собственного производства осуществить невозможно, т.к. Х2<0, значит бумага для гофрирования не должна выпускаться. Тогда можно выработать 193,6 т упаковочной бумаги с прибылью: F=193,6*25=4840 тыс.руб.

2. Целесообразность использование покупных полуфабрикатов.

Для этого используем расчёт двойственных оценок.

Составим модель обратной задачи: где

У1-оценка ресурсов целлюлозы

У2-оценка ресурсов древесной массы

У3- оценка уровня спроса на бумагу

0,5*У1+0,65*У2+У3=25

0,75*У1+0,35*У2+У3=35

F=95*У1+125*У2+300*У3→min

У2=У3=0

У1=50

Количество целлюлозы: 193,6*0,5= 96,8 т

Её получается в избытке т.к. 96,8>95 =>можно убрать

ограничение (1) на графике.

3. Двигаем целевую функция дальше: Х2=250.

Определим результаты реализации такого варианта.

Значит, потребуется целлюлозы: 250*0,75=187,5 т

древесной массы: 250*0,35=87,5 т.

Необходимо приобрести целлюлозы: 187,5-95=92,5 т.

Необходимо затрат на приобретение: 92,5*25=2312,5 тыс.руб.

Общий финансовый результат: F=25*250-2312,5=3937,5 тыс.руб.

4.Определим результаты реализации варианта решения в

соответствии с точкой пересечения (2) и (3) прямых на графике.

А именно решим систему:

0,65*Х1+0,35*Х2=125 Х1=125

Х1+Х2=250 Х2=125

В этом случае древесная масса будет переработана полностью, а целлюлозы потребуется:

125*0,5+125*0,75= 156,25 т.

Необходимо приобрести целлюлозы: 156,25-95= 61,25 т.

Необходимо затрат на приобретение: 61,25*25= 1531,25 тыс.руб.

Общий финансовый результат:

F=125*25+125*35-1531,25=5968 тыс.руб.

Составим итоговую таблицу:

Вывод: Из рассмотренных четырёх вариантов, видно, что обеспечивают полное удовлетворение спроса варианты решения

№ 3 и №4, но наибольший эффект обеспечивается в 4-ом варианте решения, он подразумевает необходимость приобретения части полуфабрикатов. Значит оптимальным решением данной проблемной ситуации является четвёртый вариант решения.

Список литературы.

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черешных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997.

2. Кравец О.Я. Основы математической экономики: практикум. – Воронеж: «Научная книга», 2007.

3. Экономико-математические методы и модели/ Под. ред. А. В. Кузнецова. Мн.: БГЭУ.1999.

4. Конспект лекций по предмету «Управленческие решения».