Линейная регрессия

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт

Филиал г. Тула

Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 8

Выполнила:

Проверил:

Тула

2008

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью -критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 8

Решение:

1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:

Таблица 1

Найдем b:

Тогда

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ_x =11,779+0,761x.

Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.

2. Вычислим остатки при помощи. Получим:

Таблица 2

Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков равна:

.

График остатков имеет следующий вид:

График 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

· Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков ε_i проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек ε_i нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, ε_i – случайные величины и применение МНК оправдано.

· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора x_i. Следовательно, модель адекватна.

· Проверка гомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.

1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.

2) Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

Таблица 3

3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.

,

.

4) Вычислим F- распределения.

F_набл=S_2ŷ/S_1ŷ =1,653.

5) Произведем сравнение F_набл и F_табл.

1,653<5,32 (при k₁=1 и k₂=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

· Отсутствие автокорреляции.

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

Таблица 4

; d=75,282/37,961=1,983.

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

; ,

; ,

где

Тогда , ; и

t_табл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); t_а и t_b> t_табл, что говорит о значимости параметров модели.

5. Коэффициент детерминации находится по формуле:

.

Данные возьмем из таблицы 5:

Таблица 5

Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:

.

F_табл=5,32 (k₁=1, k₂=8 степенями свободы) ;

F>F_табл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

;

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:

где t_α=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1

Т.о.

Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513

Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833

Таблица 6

7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.

График 2

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· Гиперболической

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.

Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6

Таблица 7

Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.

Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:

.

График 3

Степенная

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · x^b

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:

Таблица 8

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ=10^{0,91 ·} x^0,39

ŷ =8,13 · x^0,39.

График 4

· Показательная

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · b^x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.

Таблица 9

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =10^1,115·(10^0,016)^x;

ŷ =13,03·1,038^x.

График 5

9. Для указанных моделей найти: R² – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

· Степенная модель (см. таблицу 8):

;

;

· Показательная модель (см.таблицу 9):

;

;

· Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

.

Таблица 10

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 1

Решение

2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y₁= b₁₂y₂+b₁₃y₃+a₁₂x₂+a₁₃x₃;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х_1, х₄; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 2

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y₂= b₂₃ y₃+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₄x₄ ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₃; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 3

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y₃= b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₄; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

3-е уравнение идентифицируемо.

В целом вся система уравнений является идентифицируемой.

Решение

2б) ,

Тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y₁= b₁₃y₃+a₁₁x₁+a₁₃x₃+a₁₄x₄;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y₂, х₂. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 5

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнение НЕидентифицируемо.

2 уравнение: y₂= b₁₁ y₁+b₂₃y₃+a₂₂x₂+a₂₄x₄ ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y₁, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: x₁, х₃; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 6

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y₃= b₃₁y₂+a₃₁x₁+a₃₃x₃+a₃₄x₄;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 7

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y₁=a₀₁+b₁₂y₂+a₁₁x₁+ε₁;

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+a₂₂x₂+ε₂

Таблица 8

Решение

1) Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второго уравнения выражаем y₂ и подставляем его в первое, а из первого выражаем y₁ и подставляем его во второе уравнение. Получим:

y₁=δ₁₁x₁+ δ₁₂x₂+u_1;

y₂=δ₂₁x₁+ δ₂₂x₂+u₂,

где u₁ и u₁ –случайные ошибки ПФМ.

Здесь

2) В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.

Для первого уравнения:

.

Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.

Таблица 9

Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:

∆у = у - у_ср; ∆х = х - х_ср

Таблица 10

С учетом приведенных данных получим:

404,03 = 47,33δ₁₁ + 27,33δ₁₂

262,73 = 27,33δ₁₁ + 97,33δ₁₂

δ₁₂ = 0,36;

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:

y₁ = 8,33х₁ + 0,36х₂ + u₁

Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:

Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:

256,17=47,33δ₂₁+27,33δ₂₂

203,07=27,33δ₂₁+97,33δ₂₂

δ₂₂ = 0,68;

Второе уравнение ПФМ примет вид:

у₂ = 5,02х₁ + 0,68х₂ + u₂

3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х₂:

Найденное х₂ подставим в первое уравнение.

,

тогда b₁₂=0,53; a₁₁=5,67

Из первого уравнения ПФМ найдем х₁

Подставим во второе уравнение ПФМ

,

тогда b₂₁=0,6; a₂₂=0,46

4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:

а₀₁ = у_1ср - b₁₂у_2ср - а₁₁х_1ср = 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;

а₀₂ = у_2ср - b₂₁у_1ср - а₂₂х_2ср = 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.

5) Записываем СФМ в окончательном виде:

y₁=a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁;

y₂=a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂.

y₁ =14 + 0,53y₂ + 5,67x₁ + ε₁;

y₂ = 4 + 0,6y₁ + 0,46x₂ + ε_2.