Вычисление стаистических показателей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

КАФЕДРА: Бухгалтерского учета

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ «СТАТИСТИКА»

2007

ЗАДАЧА 1.

Имеются следующие данные о рабочих одного из участников механического цеха:

Таблица 1.

Для выявления зависимости между возрастом рабочих и оплатой их труда произведите их группировку по возрасту, образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

1. Число рабочих;

2. Средний возраст;

3. Среднюю заработную плату;

Результаты представьте в таблице. Проанализируйте показатели и сделайте краткие выводы.

Теоретическое обоснование

Выполнение задания начинают с группирования совокупности данных для этого определяют количество групп с равными интервалами и рассчитывают величины интервала.

Величина интервала:

d = (x_max – x_min) / n,

Где

Хmax, Xmin – соответственно максимум и минимум значения сгруппированного признака;

n– число групп.

Границы вариант (групп) определяются путем прибавления минимального значения и величин интервала к минимальному признаку, т.е.

[x_min + (x_min + d)],

Где

Xmin – нижняя граница инт6ервала (Xmin+d) – верхняя граница интервала.

Для следующей варианты (Xmin+d) становятся нижней границей интервала, а верхняя граница на d – больше нижней и т.д. Образовав группы с равными интервалами находят частоту (вес) каждой группы (вариант) т.е. подсчитывают число единиц совокупности входящих в каждую группу при этом необходимо задаться условием: если знание признака у единицы больше совокупности верхней границе интервала то это единица войдет в следующий интервал, т.е. чтобы Xi вошло в соответствующую группу ее значение должно быть в пределах

x_min < x_i < (x_min + d)

Для расчета средней и показателей вариации определяют середину интервала (Xi), которая равна полу сумме его нижней и верхней границ.

Xi=[Xmin + (Xmin + d)]/2

Расчет средней и показателей вариации по данным задачи требует применения арифметической средней, так как данные представлены в виде вариант и частот. Вес каждой варианты различен, поэтому расчет производят по средней арифметической взвешенной.

x_i = Σx_i ∙f_i / Σf_i,

Где Xi– средняя арифметическая.

Xi – значение варианты определяемого признака (средина интервала).

fi – частота (вес) варианты.

Чтобы вычислить среднюю вначале следует взвесить варианты (перемножить варианты на их частоты (Xi*fi), затем найти сумму их произведений (SXi*fi), сумму частот (Sfi) и поделить сумму произведений вариант на частоты на сумму частот (1)).

РЕШЕНИЕ

1. Найдем минимальное и максимальное значение варианты данной совокупности:

Min = 18 лет;

Мах = 54 лет.

Определим размах вариации:

D = 54 – 18 = 36;

Тогда величина интервала составит:

d = (54 – 18) / 5 = 7 (лет).

2.Определим границы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 2.

3. Определим принадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведем группировку)

В группу 1 (границы: 18 – 25) входят рабочие:

№11 возраст составляет 18 лет с заработной платой 100,00 грн

№2 (возраст = 24 года) с (з/п = 210,00 грн)

№1 (возраст = 25 лет) с (з/п = 180,00 грн)

№13 (возраст = 25 лет) с (з/п = 190,00 грн)

№20 (возраст = 25 лет) с (з/п = 280,00 грн)

Количество человек в 1‑ой группе – 5

В группу 2 (границы: 25 – 32) входят рабочие:

№15 (возраст = 26 лет)с (з/п = 210,00 грн)

№18 (возраст = 28 лет) с (з/п = 240,00 грн)

№7 (возраст = 29 лет) с (з/п = 240,00 грн)

№10 (возраст = 29 лет) с (з/п = 250,00 грн)

№14 (возраст = 30 лет) с (з/п = 220,00 грн)

Количество человек во 2‑ой группе – 5

В группу 3 (границы: 32 – 39) входят рабочие:

№19 (возраст = 35 лет)с (з/п = 280,00 грн)

№8 (возраст = 36 лет) с (з/п = 290,00 грн)

№16 (возраст = 36 лет) с (з/п = 300,00 грн)

№12 (возраст = 37 лет) с (з/п = 280,00 грн)

Количество человек в 3‑й группе – 4

В группу 4 (границы: 39 – 46) входят рабочие:

№17 (возраст = 40 лет)с (з/п = 330,00 грн)

№5 (возраст = 42 года) с (з/п = 260,00 грн)

№4 (возраст = 45 лет) с (з/п = 320,00 грн)

№3 (возраст = 46 лет) с (з/п = 390,00 грн)

Количество человек в 4‑й группе – 4

В группу 5 (границы: 46 – 54) входят рабочие:

№6 (возраст = 50 лет) с (з/п = 310,00 грн)

№9 (возраст = 54 года) с (з/п = 390,00 грн)

Количество человек в 5‑й группе – 2

4. Определим средний возраст работы по каждой группе и по совокупности рабочих в целом.

Группа 1 х₁ = (18+24+25+25+25) / 5 = 23,4 (года);

Группа 2 х₂ = (26+28+29+29+30) / 5 = 28,4 (года);

Группа 3 х₃ = (35+36+36+37) / 4 = 36 (лет);

Группа 4 х₄ = (40+42+45+46) / 4 = 43,25 (года);

Группа 5 х₅ = (50 + 54) / 2 = 52 (года);

По совокупности в целом:

Х = (21,5 · 5 + 28,5 · 5 + 35,5 · 4 + 42,5 · 4 + 49,5 · 2) / 20 = 33,05 (года)

5. Определим среднюю заработную плату по каждой группе и по совокупности рабочих в целом.

Группа 1 х₁ = (100+210+180+190+280) / 5 = 192,00 (грн);

Группа 2 х₂ = (210+240+240+240+250+220) / 5 = 280,00 (грн);

Группа 3 х₃ = (280+300+290+280) / 4 = 287,50 (грн);

Группа 4 х₄ = (330+260+320+390) / 4 = 325,00 (грн);

Группа 5 х₅ = (310+390) / 2 = 350,00 (грн);

По совокупности в целом:

Х = (192,00 · 5 + 280,00 · 5 + 287,50 · 4 + 325,00 · 4 + 350,00 · 2) / 20 = 236,50 (грн)

Таблица 3. Группировка рабочих по возрасту работы

Выводы: На основании полученных результатов по группировке рабочих по возрасту и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– наибольшее количество рабочих имеют возраст в пределах 18 – 25 лет (в среднем 23,4 года) и 25 – 32 лет (в среднем 28,4 года), наименьшее количество рабочих имеют возраст в интервале 46 – 54 года (в среднем 52 года). Средний же возраст работников предприятия составляет 33,05 года.

– наибольшую среднюю заработную плату имеют рабочие входящие в пятую группу возрастных пределов 46 – 54 года (в среднем 350,00 грн), наименьшую среднюю заработную плату имеют рабочие входящие в первую группу возрастных пределов 18 – 25 лет (в среднем 192,00 грн). Средняя заработная плата работников предприятия составляет 236,50 грн.

ЗАДАЧА 2.

Имеются следующие данные о размерах затрат на гривну товарной продукции на предприятиях города.

Таблица 4.

Вычислить:

1. Средний размер затрат на гривну товарной продукции;

2. Средний объем товарной продукции на одно предприятие.

Сделать выводы.

Теоретическое обоснование

Средней гармонической взвешенной называется величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Использование средней гармонической объясняется тем, что исходной базой вычисления является величина равная произведению значения признака на его частоту. Принципиальное значение при выборе вида средней величине имеет построение логической формулы того показателя среднюю величину которого необходимо подсчитать.

РЕШЕНИЕ

Определяем средний размер затрат на гривну товарной продукции по формуле средней гармонической. Логической формулой для определения среднего размера затрат является:

х = [10 + 20 + 8 + 4] / [10 / 82,5 + 20 / 87,5 + 8 / 92,5 + 4 / 97,5] = 87,5

Определяем средний объем товарной продукции на одно предприятие

х = 10 ∙ 6 + 20 ∙ 12 + 8 ∙ 4 + 4 ∙ 3 / 25 = 13,76 млн. грн.

Выводы: средний размер затрат на гривну товарной продукции 87,5, а средний объем товарной продукции на одно предприятие 13,76 млн. грн.

ЗАДАЧА 3.

Имеются следующие данные о производстве продукции промышленного предприятия за 1994–1999 гг. (в сопоставимых ценах, млн. грн.):

1994 г. – 8,0

1995 г. – 8,4

1996 г. – 8,9

1997 г. – 9,5

1998 г. – 10,1

1999 г. – 10,8

Вычислить аналитические показатели ряда динамики продукции предприятия за 1994–1999 гг.: абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста, абсолютное значение 1% прироста, а так же средние обобщающие показатели ряда динамики.

Теоретическое обоснование

Динамический ряд представляет собой последовательность уровней, сопоставляя которые между собой можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явления. Анализируя уровни динамического ряда рассчитывается система абсолютных и относительных показателей динамического ряда.

Абсолютный прирост определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает на сколько данный уровень динамического ряда больше или меньше предшествующего уровня или уровня взятого за базу.

Базисный абсолютный прирост

Δy_i= y_i– y_б

Цепной абсолютный прирост

Δy_i= y_i – y_i-1

где Δy_i- абсолютный прирост

y_i- уровень сравниваемого периода

y_б – уровень базисного периода

y_i-1 – уровень предшествующего периода

Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает во сколько раз данный уровень динамического ряда больше или меньше предшествующего уровня или уровня взятого за базу.

Базисный Коэффициент роста

К_i= y_i / y_б

Цепной коэффициент роста

К_i= y_i / y_i-1

Если коэффициент роста выразить в процентах, то получиться показатель темпа роста.

Т_р = К_i ∙ 100%

Темп прироста показывает на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше предшествующего уровня или уровня взятого за базу.

Базисный темп прироста

ΔТ_п = y_i– y_б / y_б ∙ 100%

Цепной темп прироста

ΔТ_п = y_i – y_i-1 / y_i-1 ∙ 100%

ΔТ_п = Т_р – 100%

Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста в процентах за тот же период времени.

Базисный

А_i= 0.01 ∙ y_i-1

Цепной

А_i= 0.01 ∙ y_б

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели. Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда. Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической.

y = ∑ y / n

Средний абсолютный прирост рассчитывается двумя способами. Как средняя арифметическая простая цепных приростов.

Δy = ∑Δy_i / n

Как отношение базисного прироста к числу периодов.

Δy = y_n– y_б / n

Среднегодовой коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической двумя способами.

К= ⁿ√ к₁ ∙ к₂ ∙ … ∙ к_n К= ⁿ√ y_n/ y_б

где к_n – цепные коэффициенты роста

n – число коэффициентов

y_n,y_б – начальный и конечный уровни ряда.

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста выраженный в процентах.

Т_р = К ∙ 100%

Среднегодовой темп прироста

ΔТ_п = Т_р – 100%

Среднее абсолютное значение 1% прироста за несколько периодов.

А = ∑ А / n

РЕШЕНИЕ

Для упрощения решения представим его в виде таблицы, за базовый год принимаем 1994 год:

Таблица 5. Аналитические показатели ряда динамики

Средние показатели ряда динамики

Среднего уровня ряда динамики

y = 8,0 + 8,4 + 8,9 + 9,5 + 10,1 + 10,8 / 6 = 13,5 млн. грн.

Средний абсолютный прирост

Δy = 0,4+0,5+0,6+0,6+0,7 / 5 = 0,56

Среднегодовой коэффициент роста

К= ⁵√ 1,05 ∙ 1,06 ∙ 1,067 ∙ 1,063 ∙ 1,069 = ⁵√1,349 = 1,06

Средний темп роста

Т_р = К ∙ 100% = 106%

Среднегодовой темп прироста

ΔТ_п = Т_р – 100% = 106 – 100 = 6%

Среднее абсолютное значение 1% прироста за несколько периодов.

А = 0,08+0,084+0,089+0,095+0,0101 / 5 = 0,07

Выводы: на основании полученных результатов по анализу динамического ряда о производстве продукции промышленного предприятия за 1994–1999 гг. и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– абсолютный прирост производства продукции за 1995 г. больше на 0,4 млн грн чем производство продукции за 1994 г.,

– прирост производства продукции за 1996 г. больше на 0,5 млн. грн. чем производство продукции за 1995 г. и больше на 0,9 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.,

– прирост производства продукции за 1997 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1996 г. и больше на 1,5 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– прирост производства продукции за 1998 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1997 г. и больше на 2,1 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– прирост производства продукции за 1999 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1998 г. и больше на 2,8 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– аналогичные выводы можно сделать по темпу прироста. Он показывает на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше предшествующего уровня или уровня взятого за базу.

ЗАДАЧА 4.

Имеются следующие данные о продаже в городе молока на колхозных рынках и в государственной торговле:

Таблица 5.

Вычислить:

1. Индекс цен переменного состава

2. Индекс цен постоянного состава

3. Индекс структурных сдвигов

Покажите зависимость исчисленных индексов. Поясните полученные результаты.

Теоретическое обоснование

Отношение двух взвешенных средних величин с изменяющимися (переменными весами) показывающие изменение индексируемой величины называется индексом переменного состава. Для этого необходимо посчитать среднюю цену по всем местам продажи в городе молока соответственно в базисном и отчетном периодах.

Что бы ликвидировать влияние изменений в структуре весов (количество выпускаемой продукции) на показатель изменения уровня цены, берут отношение средних взвешенных величин с одними и теми же весами, т.е. вычисляют индекс постоянного состава. Для этого среднюю цену продукции в базисном периоде корректируем на структуру фактического выпуска продукции. Тогда формула индекса постоянного состава будет выглядеть так:

Для того, что бы ликвидировать влияние на средний уровень цены изменение цены выпускаемой продукции в каждом определенном месте рассчитывают индекс структурных сдвигов. Он представляет собой отношение среднего уровня цены базисного периода рассчитанного на отчетную структуру производства определенного вида продукции и фактическую среднюю цену в базисном периоде.

Между приведенными выше индексами существует взаимосвязь: индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов.

РЕШЕНИЕ

Определяем индекс цен переменного состава:

Определяем индекс цен постоянного состава:

Определяем индекс структурных сдвигов:

Взаимосвязь между индексами:

0,85 = 0,8905 ∙ 0,9545

Выводы:На основании полученных результатов по определенным индексам цен можно сделать следующие выводы:

– индекс переменного состава показывает, что средняя цена молока в городе проданного в государственной торговле и на колхозных рынках снизилась на 15%. Это снижение обусловлено изменением цены молока в каждом месте продажи и изменением удельного веса выпускаемого молока. Для того, что бы выявить влияние каждого из этих факторов на динамику средней цены вычислялись индексы постоянного состава и индекс структурных сдвигов.

– индекс постоянного состава показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 11% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения цены.

– индекс структурных сдвигов показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 4% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет увеличения количества продаваемого молока.

ЗАДАЧА 5.

Имеются следующие данные о норме расхода сырья на единицу изделия:

Таблица 6.

Определить:

1. Средний размер сырья на одно изделие;

2. Среднее линейное отклонение;

3. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

4. Коэффициент вариации.

Сделайте выводы.

Теоретическое обоснование

Расчет дисперсии – производят по формуле:

σ² = Σ (x_i- x)² ∙ f_i / Σ f_i

Следовательно, прежде всего необходимо найти отклонения вариант от средней (x_i- x_i), затем возвести их в квадрат ([(x_i- x_i)²]) квадраты отклонения взвесить [(x_i - x_i)²∙ f_i] и просуммировать взвешенные квадраты отклонений [Σ (x_i- x_i)² ∙ f_i.]. Полученную сумму разделить на сумму частот (2).

Среднее квадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значения дисперсии

σ= √ σ²

Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам указанным выше. Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторения каждой варианты.

Среднее линейное отклонение L– есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=(S(Xi-X)*fi)/Sfi

Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенные абсолютные отклонения (S(Xi-X)*fi) и это суммы делят на сумму частот (Sfi).

РЕШЕНИЕ

Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Таблица 7.

Для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Х=m1 · i +A; s² = i ² (n ·(m2 – m1 ²⁾;

m1= å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i) ²·f)/åf;

где

m1, m2 – соответственно моменты первого и второго порядка;

i – величина интервала;

А – варианта, имеющая наибольшую частоту;

F – значение весов или частот каждой варианты.

Наиболее часто встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).

Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имеют равную величину):

I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)

На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и s^2:

m₁ = 3/100 = 0,03; m₂= 95/100 = 0,95;

Х= 0,03 · 2 + 23= 23,06 (г.)

s² = 4 · (0,95 – 0,03 ²) = 3,8

Найдем среднее квадратическое отклонение:

s = √3,8 = 1,95 (г.)

2. Определим среднее линейное отклонение:

L= 130 / 100 = 1,3 (г.)

3. Определим коэффициент вариации:

V= 1,3 / 23,06 = 0,056 (5,6%).

Выводы: на основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний расход сырья на единицу изделия равен ≈ 23 г.

– среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 1,95 г., что составляет 5,6% (см. коэффициент вариации).

– среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,3 г.

ЗАДАЧА 6

Для определения срока службы металлорежущих станков проведено 10%-е выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Таблица 8.

Определить: с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков.

Теоретическое обоснование

Предельная ошибка выборки это показатель, характеризующий диапазон в котором по обе стороны от выборочной средней или выборочной доли расположатся значения генеральной доли или генеральной средней гарантируемые с определенной вероятностью.

Δ = t ∙ μ

Δ – величина предельной ошибки выборки

μ – величина средней ошибки выборки

t – коэффициент доверия которому соответствуют вероятности предельной ошибки выборки.

Величина вероятности соответствующие коэффициентам доверия устанавливаются математической статистикой. Вероятности 0,683 соответствует коэффициент доверия равным 1, вероятности 0,954 t = 2, вероятности 0,997 t = 3.

Бесповторная выборка это когда каждая из единиц после регистрации ее признаков обратно не возвращается и в дальнейшем отборе не участвует. При бесповторной выборке сокращается численность единиц участвующих в выборочном наблюдении, поэтому при определении ошибки выборочной средней и выборочной доли признака при бесповторном отборе должна быть учтена численность генеральной совокупности и доля выборки. Если численность генеральной совокупности обозначается через N, то доля выборочной совокупности n будет равна отношению n к N. Поэтому формула средней ошибки выборки будет выглядеть:

РЕШЕНИЕ

Решение представим в виде таблицы.

Таблица 9.

Определяем средний срок службы станков

Х = 678 ∙ 100 = 6,78

Определяем дисперсию

s² = 447,32 / 100 = 4,47

Находим величину средней ошибки выборки

Величина предельной ошибки выборки будет равна

Δ = 3 ∙ 0,04 = 0,12

Выводы: с вероятностью 0,997 можно гарантировать, что средний срок службы металлорежущих станков в генеральной совокупности расположиться между 6,78–0,12 = 6,66 года и 6,78+0,12 = 6,9 года.

ЗАДАЧА 7

По данным задачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда вычислить коэффициент детерминации.

Теоретическое обоснование

Выполнение задания предусматривает расчет показателей, характеризующих случайную и систематическую вариации и их роли в общей вариации. Эти показатели широко используются на производстве при количественной оценке влияния различных факторов на те или иные показатели, осуществляемой с помощью дисперсионного анализа.

Исходя из этого правила, можно определить влияние случайной и систематической дисперсий на общую дисперсию, установить тесноту связи

между признаками.

Для выявления тесноты связи между группировочными и результативными признаками находят линейный коэффициент корреляции.

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле

η² = δ²_вн/ σ² _об,

Где δ²_вн- внутригрупповая дисперсия.

σ² _об - общая дисперсия.

Для оценки влияния группировочного признака (постоянного фактора) на величину вариаций рассчитывают межгрупповую дисперсию, исчисляемую на основании групповых средних

U² – межгрупповая дисперсия;

Xi– групповые средние исчисляются по формуле (1)

X – общее среднее (также исчисляется по формуле (1)

fi– групповые частоты.

При оценке влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют внутригрупповую дисперсию. Она исчисляется как средняя арифметическая из групповых дисперсий

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле

η= √ δ²_вн/ σ² _об,

РЕШЕНИЕ

Определим линейный коэффициент корреляции для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда. Таким образом, группировочным признаком в нашей задаче является возраст рабочих х, а результативным их заработная плата y.

Таблица 10.

;

Определим внутригрупповую дисперсию

δ² = ((192 – 236,5)² · 5 + (280 – 236,5)² · 5 + (287,5 – 236,5)² · 4 + (325 – 236,5)² · 4 + (350 – 236,5)² · 2) / 20 = 4343

Определим общую дисперсию

s² = [1481300/20] – [236,5]² = 18132,75

Определим коэффициент детерминации

η² = 4343 / 18132,75 = 0,24

Определим эмпирическое корреляционное отношение

η = √ 0,24 = 0,48

Выводы: На основании полученных результатов по группировке рабочих по возрасту и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы: значение коэффициента линейной корреляции, вычисленного по формуле Пирсона равно 1, то связь между возрастом рабочих и оплатой труда тесная. Знак «–» говорит о наличии обратной связи.