Кристаллографические символы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;

2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;

3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.

Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

Символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a₀, b₀, c₀). Осевыми единицами называют отрезки a₀, b₀, c₀ , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,zсоответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).

Таблица 1.

В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a₀, b₀, c₀ (рис. 1) a=OA/a₀, b=OB/b₀, c=OC/c₀.

Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a₀, b₀, c₀.

Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.

В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексовh, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOYбудет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).

В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.

Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

Символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.

Если осевые единицы единичной грани равны a₀, b₀, c₀ , а точки А (x_1, y₁, z₁) и В (x_2, y₂, z₂) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:

(AB)_x=x₂-x₁, (AB)_y=y₂-y₁, (AB)_z=z₂-z₁.

Тогда символ направления [rst] определится как

.

Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [rst]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[xyz]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.

Заданное направление может быть определено и с помощью углов a, b, g, которые оно образует с координатными осями x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:

.

В кубических кристаллах:

.

Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани (hkl) пропорционально отношению индексов:

,

отсюда:

.

Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

Основные кристаллографические соотношения

1. Угол между двумя направлениями.

Чтобы найти угол между двумя направлениями [r₁, s₁, t₁], [r₂, s₂, t₂] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов .

.

Если .

(Здесь - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:

,

.

Откуда

.

2) Угол между направлением и плоскостью

Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (hkl) изображаются как [hkl], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [rst].

Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как

.

3) Условие зональности.

Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (hkl) принадлежала зоне, ось которой [rst] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (hkl) и осью зоны [rst] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как

.

Используя условие зональности, легко определить символ ребра [rst] , образованного двумя гранями (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂) из совместного решения уравнений:

.

Решение данной системы уравнений можно представить в виде:

Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.

Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (hkl), в которой лежат два заданных направления [r₁s₁t₁] и [r₂s₂t₂]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (hkl).

4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.

При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния dс индексами (hkl) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:

- для ромбической сингонии;

- для тетрагональной сингонии;

- для кубической сингонии.

План работы

1. Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.

2. Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.

3. Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.

4. Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.

5. Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.

Контрольные вопросы

1. В чем сущность метода индексов?

2. Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?

3. Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?

4. В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?

5. Что физически собой представляет условие зональности?