Электромагнитные поля и волны

Задача №1

Дано: вектор напряжённости электрического поля в воздухе изменяется по закону –

где Е₀=5мВ/м; 10 м^-1 ; 40 м^-1; f =*10⁶ рад/с задано согласно варианта.

Решение.

Для нахождения вектора напряжённости магнитного поля воспользуемся вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме [1],[2]:

(1)

В воздухе векторы напряжённости магнитного поля и магнитной индукции связаны материальным уравнением [1], [2] перепишем (1) в виде:

(2)

Вектор напряжённости электрического поля является гармонической функцией времени поэтому можно записать:

(3)

Комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля:

(4)

Учитывая, что комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля имеет лишь одну составляющую , то раскроем определитель ротора комплексного вектора (4) по первой строке:

(5)

Представим комплексный вектор (5) в показательной форме:

(6)

Выразим из (3) комплексную амплитуду вектора напряжённости магнитного поля:

(7)

Представим (7) в показательной форме:

(8)

Определим мгновенное значение вектора напряжённости магнитного поля по формуле:

(9)

Следовательно, амплитуда напряжённости магнитного поля в начале координат будет равна:

(10)

где ₀ = 1,256*10^-6 Гн/м магнитная постоянная

Начальную фазу определим по формуле:

(11)

Окончательно (9) примет вид:

По определению вектор Пойтинга находится как векторное произведение векторов электрического и магнитного полей [1], [2]:

Рис.1 К определению вектора Пойтинга.

(12)

Учитывая, что векторное произведение ортов , получим (12) в виде:

(13)

Тогда согласно (13) амплитуда вектора Пойтинга в начале координат будет равна:

(14)

Среднее за период значение вектора Пойтинга находится по формуле:

(15)

Таким образом, вычислим среднее значение вектора Пойтинга:

(16)

Задача№2

Дано: R₁=2 мм; R₂=7 мм; R₃=8 мм; I = 5мА.

Решение.

Введём цилиндрическую систему координат, с осью аппликат, направленной вдоль оси волновода.

Напряжённость магнитного поля имеет отличную от нуля азимутальную компоненту, модуль которой зависит лишь от расстояния до оси волновода т.е:

(17)

Воспользуемся первым уравнением Максвелла в интегральной форме [1],[2]:

(18)

Интеграл в левой части (18) может быть найден для произвольного кругового контура по формуле, выражающую зависимость напряжённости магнитного поля от расстояния от центра волновода:

(19)

Плотность тока в диапазоне 0 <r R₁ внутреннем проводнике равна:

(20)

Для определения напряжённости магнитного поля введём контур L1, радиус которого лежит в указанном диапазоне расстояний , тогда контур охватывает ток:

(21)

Приравняем (19) и (21) и выразим магнитную напряжённость и индукцию и получим для r₁=0,5R₁ :

(22)

где для меди, относительная магнитная проницаемость

Запишем (22) в векторной форме:

(23)

В диапазоне расстояний R1< r < R2 контур L2 охватывает полный ток внутреннего проводника (I2 = I). Напряжённость и индукцию магнитного поля на расстоянии r₂ = (R1+R2)/2=4,5мм определим аналогично (22):

(24)

Или в векторной форме:

(25)

Внутри внешнего проводника R2< r < R3 плотность тока определяется как:

(26)

Контур L3 охватывает ток , равный сумме полного тока во внутреннем проводнике и части тока во внешнем проводнике, взятом с противоположным знаком:

I3 I - I* (27)

Часть тока находится по формуле:

(28)

Подставим (28) в (27) и приведём к общему знаменателю:

(29)

Приравняем (19) и (29) получим:

(30)

Из (30) выразим напряжённость и индукцию и запишем сразу в векторной форме для r₃ = (R3+R2)/2=7,5мм :

В диапазоне расстояний контур L4 охватывает ток:

I4 I -I 0. (31)

Итак, H=B=0, - магнитное поле вне волновода отсутствует.

Задача№3

Дано: Размеры волновода медь t=1,25.

Решение.

1. Волной первого высшего типа в прямоугольном волноводе является волна Н²⁰ , поэтому условия одноволнового режима имеют вид:

они являются частотными границами.

Здесь с=3*10⁸ м/с – скорость света.

2. Поверхностное сопротивление и характеристическое сопротивление заполнения определяются из выражений:

(32)

Коэффициент ослабления в волноводе находится по формуле:

(33)

где 59,5*10⁶ См/м - удельная проводимость меди;

относительная магнитная проницаемость меди;

_а =₀ = 8,85*10^-12*1 = 8,85*10^-12 Кл/(В*м) ^– абсолютная диэлектрическая проницаемость воздуха внутри волновода.

=

для f=2,08ГГц =0,068 м^-1, для f=4,16ГГц =0,00184 м^-1, для f=5ГГц =0,001816 м^-1,

прировняв первую производную по частоте к нулю получим, что =0,001816 м^-1 при f=4,949ГГц

Воспользуемся программой Maple для построения графика.

Рис.4.

3. Определим параметры основной волны для частоты f = 1,25 =1,25*2.08=2,6ГГц с длиной волны  с/f = 0,115м

Коэффициент ослабления за счёт омических потерь в стенках волновода:

(35)

Коэффициент фазы:

(36)

Длина волны в волноводе:

(37)

Фазовая скорость и скорость переноса электромагнитной энергии соответственно:

(38)

(39)

Характеристическое сопротивление равно:

(40)

5.Частота волн и их длина равны:

(41)

(42)

Проверим условие _кр для разных мод

Следовательно, могут распространятся на этой частоте волны только типа 10.

Список используемых источников

1. Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов «Техническая электродинамика», М: «Радио и связь», 2000 г. – 536 с.

2. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. – М: «Наука» 1973г – 607с.