Аналітична геометрія на площині

Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

y = k×x + b (2.3)

де k=tga ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y y

b

b

x 135⁰x x x

a

а б в г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C = 0 (2.2)

Якщо B¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tga= -1, отже a=135⁰ (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y=2x+2 , отже, k=tga=2 (рис. 2.4,б).

y y

2x-y+2=0

y=1-x 2

1

a=135⁰

1 x -1 x

а б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x₁;y₁) та (x₂;y₂):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3¢)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁;y₁) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

y-y₁=a(x-x₁) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁;y₁) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2x+y=2,

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y=2x+2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x₁;y₁)=(-1;0) та (x₂;y₂)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y=a₁x+b₁ та y=a₂x+b₂ обчислюється за формулою

Прямі y=a₁x+b₁ та y=a₂x+b₂ отже, є паралельними, якщо a₁=a₂, та перпендикулярними, якщо a₁×a₂ = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M(x₁;y₁) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою

.

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p=p(Q)=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

p

500

Пропозиція

p^*

Попит

50

Q^*Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p^* (а також рівноважний випуск Q^*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p^*=200 та Q^*=30 .

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V_c=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F_c=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

T_c = F_c + Q×V_c = 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

T_R = p×Q =10Q .

Визначимо такий випуск Q^*, за якого доход фірми збігається з її витратами:

T_R = T_C ,

10Q = 40+5Q ,

Q^* = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q^*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

T_c,T_R

T_R(доход)=10Q

T_c(витрати)=40+5Q

40

Q^*=8 Q

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x² і/або y².

Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд

(x-a)²+(y-b)²=r² .

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

x²+y²=r² .

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A(x;y)

c

F₁F₂

Рис. 2.7.

Точки F₁(-c;0) та F₂(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на еліпсі ;

- c²=a²-b².

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F₁ та F₂ є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на гіперболі ;

- c²=a²+b².

y

A(x;y)

x

F₁(-c;0) F₂(c;0)

Рис. 2.8.

Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):

y = 2px

BA(x;y)

p/2 p/2

F

Рис. 2.9.

Тут для довільної точки A(x;y) параболи y = 2px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .