Анализ дискретной системы

Новосибирская государственная академия водного транспорта

Кафедра информационных систем

Курсовая работа на тему "Анализ дискретной системы"

по дисциплине "Математические модели данных, сигналов и систем"

Выполнил студент

Абросимов М.В.

Проверил

преподаватель Голышев Д.Н.

2010

Ключевые слова:

АЧХ, ФЧХ, амплитуда, колебание, импульсную характеристику, система каузальная, алгоритм, дискретная система, система, индекс, период, чистота, устойчивость, фаза.

Объем работы: 17стр.

Количество графиков: 5 рисунков

Использованная литература: 5 источников

Цель работы:

Ознакомиться с системными функциями линейных систем. Приобрести практические навыки анализа дискретной линейной системы.

а0:=1 а1:=1 а2:=1 а3:=1 b1:=0,5 b2:=0,3

Содержание

Введение

Пояснительная записка

Задание I. Разностное уравнение системы

Задание II. Импульсная характеристика

Задание III. Переходная характеристика

Задание IV. Импульсная характеристика

Задание V. Системная функция дискретной системы

Задание VI. АЧХ и ФЧХ

Задание VII. Устойчивость системы

Заключение

Список литературы

Введение

Многоскоростная обработка сигналов (multirate processing) предполагает, что в процессе преобразования цифровых сигналов возможно изменение частоты дискретизации в сторону уменьшения или увеличения и, как следствие, требуемой скорости обработки. Это приводит к более эффективной обработке сигналов, так как открывается возможность значительного уменьшения требуемой вычислительной производительности проектируемой цифровой системы. В последние годы в области многоскоростной обработки сигналов достигнуты громадные успехи. Многоскоростная фильтрация и особенности ее применения стали предметом исследований многочисленных научных работ по цифровой обработке сигналов (ЦОС). Появились десятки монографий и учебных пособий, так или иначе связанных с научными и практическими достижениями в этой области. Совершенно уникальные возможности дает использование многоскоростной обработки в системах адаптивной и нелинейной фильтрации, сжатия, анализа и восстановления речи, звука и изображений.

Пояснительная записка

Предполагается, что на вход системы поступают входные дискретные сигналы x(n), реакцию на которые называют выходом системы y(n). Здесь n – это номер дискретного отчета n = 0, 1, 2, 3 …

Основные конструктивные элементы дискретных систем.

1. Умножение сигнала на константу А.

2. Задержка сигнала на один отчет n (интервал времени, равный шагу дискретизации сигнала T_d).

3. Сумматор сигналов.

Задание I. Разностное уравнение системы

Найдем разностное уравнение системы – это зависимость между дискретными сигналами x(n) и y(n).

Для данной схемы получим

y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

По аналогии с непрерывной системой дискретная система во временной области описывается 2 характеристиками: импульсной (весовой) w(n) и переходной g(n).

Задание II. Импульсная характеристика

Найдем импульсную характеристику – это реакция системы на входное воздействие в виде дискретной дельта-функции δ(n), т.е.

если x(n) = δ(n), то y(n) = w(n), где

.

Получим для нашей системы

w(n)=1*δ(n)+1*δ(n-1)+1*δ(n-2)+1*δ(n-3)+0,5*w(n-1)+0,3*w(n-2)

При этом мы предполагаем, что наша система каузальная или физически реализуемая, что означает, что реакция (отклик) системы не может наступить раньше подачи входного сигнала.

Т.к. входной сигнал подается в момент n = 0, то импульсная характеристика должна быть равна w(n) = 0 при отрицательных значениях n.

При n = 0 импульсная характеристика системы будет равна

w(0)=δ(0)+δ(0-1)+δ(0-2)+δ(0-3)+0,5*w(0-1)+0,3*w(0-2)

w(0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 импульсная характеристика системы будет равна

w(1)=δ(1)+δ(1-1)+δ(1-2)+δ(1-3)+0,5*w(1-1)+0,3*w(1-2)

w(1)=0+1+0+0,5+0=1,5

При n = 2 импульсная характеристика системы будет равна

w(2)=δ(2)+δ(2-1)+δ(2-2)+δ(2-3)+0,5*w(2-1)+0,3*w(2-2)

w(2)=0+0+1+0+(0,5*1,5)+1=2,05

При n = 3 импульсная характеристика системы будет равна

w(3)=δ(3)+δ(3-1)+δ(3-2)+δ(3-3)+0,5*w(3-1)+0,3*w(3-2)

w(3)=0+0+0+1+0,5*2,05+0,3*1,5=2,47

При n = 4 импульсная характеристика системы будет равна

w(4)=δ(4)+δ(4-1)+δ(4-2)+δ(4-3)+0,5*w(4-1)+0,3*w(4-2)

w(4)=0+0+0+0+0,5*2,47+0,3*2,05=1,85

При n = 5 импульсная характеристика системы будет равна

w(5)=δ(5)+δ(5-1)+δ(5-2)+δ(5-3)+0,5*w(5-1)+0,3*w(5-2)

w(5)=0+0+0+0+0,5*1,85+0,3*2,47=1,66

При n = 6 импульсная характеристика системы будет равна

w(6)=δ(6)+δ(6-1)+δ(6-2)+δ(6-3)+0,5*w(6-1)+0,3*w(6-2)

w(6)=0+0+0+0+0,5*1,66+0,3*1,85=1,38

При n = 7 импульсная характеристика системы будет равна

w(7)=δ(7)+δ(7-1)+δ(7-2)+δ(7-3)+0,5*w(7-1)+0,3*w(7-2)

w(7)=0+0+0+0+0,5*1,38+0,3*1,66=1,19

При n = 8 импульсная характеристика системы будет равна

w(8)=δ(8)+δ(8-1)+δ(8-2)+δ(8-3)+0,5*w(8-1)+0,3*w(8-2)

w(8)=0+0+0+0+0,5*1,19+0,3*1,38=1,01

При n = 9 импульсная характеристика системы будет равна

w(9)=δ(1)+δ(9-1)+δ(9-2)+δ(9-3)+0,5*w(9-1)+0,3*w(9-2)

w(9)=0+0+0+0+0,5*1,01+0,3*1,19=0,86

При n = 10 импульсная характеристика системы будет равна

w(10)=δ(10)+δ(10-1)+δ(10-2)+δ(10-3)+0,5*w(10-1)+0,3*w(10-2)

w(10)=0+0+0+0+0,5*0,86+0,3*1,01=0,73

При n = 11импульсная характеристика системы будет равна

w(11)=δ(11)+δ(11-1)+δ(11-2)+δ(11-3)+0,5*w(11-1)+0,3*w(11-2)

w(11)=0+0+0+0+0,5*0,73+0,3*0,86=0,62

При n = 12 импульсная характеристика системы будет равна

w(12)=δ(12)+δ(12-1)+δ(12-2)+δ(12-3)+0,5*w(12-1)+0,3*w(12-2)

w(12)= 0+0+0+0+0,5*0,62+0,3*0,73=0,53

При n = 13 импульсная характеристика системы будет равна

w(13)=δ(13)+δ(13-1)+δ(13-2)+δ(13-3)+0,5*w(13-1)+0,3*w(13-2)

w(13)=0+0+0+0+0,5*0,53+0,3*0,62=0,45

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

w(14)=δ(14)+δ(14-1)+δ(14-2)+δ(14-3)+0,5*w(14-1)+0,3*w(14-2)

w(14)=0+0+0+0+0,5*0,45+0,3*0,52=0,38

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

w(15)=δ(15)+δ(15-1)+δ(15-2)+δ(15-3)+0,5*w(15-1)+0,3*w(15-2)

w(15)=0+0+0+0+0,5*0,38+0,3*0,45=0,32

Рисунок 1: импульсная характеристика

Задание III. Переходная характеристика

Найдем переходную характеристику – это реакция системы на входное воздействие в виде дискретной функции единичного скачка, т.е.

если x(n) = h(n), то y(n) = g(n), где

Получим для нашей системы

g(n)=1*h(n)+1*h(n-1)+1*h(n-2)+1*h(n-3)+0,5*g(n-1)+0,3*g(n-2)

При этом мы предполагаем, что наша система каузальная или физически реализуемая, что означает, что переходная характеристика должна быть равна g(n) = 0 при отрицательных значениях n.

При n = 0 переходная характеристика системы будет равна

g(0)=h(0)+h(0-1)+h(0-2)+h(0-3)+0,5*g(0-1)+0,3*g(0-2)

g(0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 переходная характеристика системы будет равна

g(1)=h(1)+h(1-1)+h(1-2)+h(1-3)+0,5*g(1-1)+0,3*g(1-2)

g(1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5

При n = 2 переходная характеристика системы будет равна

g(2)=h(2)+h(2-1)+h(2-2)+h(2-3)+0,5*g(2-1)+0,3*g(2-2)

g(2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55

При n = 3 переходная характеристика системы будет равна

g(3)=h(3)+h(3-1)+h(3-2)+h(3-3)+0,5*g(3-1)+0,3*g(3-2)

g(3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02

При n = 4 переходная характеристика системы будет равна

g(4)=h(4)+h(4-1)+h(4-2)+h(4-3)+0,5*g(4-1)+0,3*g(4-2)

g(4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87

При n = 5 переходная характеристика системы будет равна

g(5)=h(5)+h(5-1)+h(5-2)+h(5-3)+0,5*g(5-1)+0,3*g(5-2)

g(5)= 1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54

При n = 6 переходная характеристика системы будет равна

g(6)=h(6)+h(6-1)+h(6-2)+h(6-3)+0,5*g(6-1)+0,3*g(6-2)

g(6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93

При n = 7 переходная характеристика системы будет равна

g(7)=h(7)+h(7-1)+h(7-2)+h(7-3)+0,5*g(7-1)+0,3*g(7-2)

g(7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12

При n = 8 переходная характеристика системы будет равна

g(8)=h(8)+h(8-1)+h(8-2)+h(8-3)+0,5*g(8-1)+0,3*g(8-2)

g(8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13

При n = 9 переходная характеристика системы будет равна

g(9)=h(9)+h(9-1)+h(9-2)+h(9-3)+0,5*g(9-1)+0,3*g(9-2)

g(9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0

При n = 10 переходная характеристика системы будет равна

g(10)=h(10)+h(10-1)+h(10-2)+h(10-3)+0,5*g(10-1)+0,3*g(10-2)

g(10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73

При n = 11 переходная характеристика системы будет равна

g(11)=h(11)+h(11-1)+h(11-2)+h(11-3)+0,5*g(11-1)+0,3*g(11-2)

g(11)= 1+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=16,36

При n = 12 переходная характеристика системы будет равна

g(12)=h(12)+h(12-1)+h(12-2)+h(12-3)+0,5*g(12-1)+0,3*g(12-2)

g(12)= 1+1+1+1+0,5*16,36+0,3*15,73=16,90

При n = 13 переходная характеристика системы будет равна

g(13)=h(13)+h(13-1)+h(13-2)+h(13-3)+0,5*g(13-1)+0,3*g(13-2)

g(13)= 1+1+1+1+0,5*16,90+0,3*16,36=17,36

При n = 14 переходная характеристика системы будет равна

g(14)=h(14)+h(14-1)+h(14-2)+h(14-3)+0,5*g(14-1)+0,3*g(14-2)

g(14)= 1+1+1+1+0,5*17,36+0,3*16,90=17,75

При n = 15 переходная характеристика системы будет равна

g(15)=h(15)+h(15-1)+h(15-2)+h(15-3)+0,5*g(15-1)+0,3*g(15-2)

g(15)= 1+1+1+1+0,5*17,75+0,3*17,36=18,08

Рисунок 2: переходная характеристика

Задание IV. Импульсная характеристика

Найдем отклик системы на входное воздействие следующего вида

.

y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

При n = 0 выходной сигнал системы будет равна

y(0)=x(0)+ x(0-1)+x(0-2)+x(0-3)+0,5*y(0-1)+0,3*y(0-2)

y(0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 выходной сигнал системы будет равна

y(1)=x(1)+x(1-1)+x(1-2)-x(1-3)+0,5*x(1-1)+0,3*x(1-2)

y(1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5

При n = 2 выходной сигнал системы будет равна

y(2)=x(2)+x(2-1)+x(2-2)+x(2-3)+0,5*y(2-1)+0,3*y(2-2)

y(2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55

При n = 3 выходной сигнал системы будет равна

y(3)=x(3)+x(3-1)+x(3-2)+x(3-3)+0,5*y(3-1)+0,3*y(3-2)

y(3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02

При n = 4 выходной сигнал системы будет равна

y(4)=x(4)+x(4-1)+x(4-2)+x(4-3)+0,5*y(4-1)+0,3*y(4-2)

y(4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87

При n = 5 выходной сигнал системы будет равна

y(5)=x(5)+x(5-1)+x(5-2)+x(5-3)+0,5*x(5-1)+0,3*x(5-2)

y(5)=1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54

При n = 6 выходной сигнал системы будет равна

y(6)=x(6)+x(6-1)+x(6-2)+x(6-3)+0,5*y(6-1)+0,3*y(6-2)

y(6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93

При n = 7 выходной сигнал системы будет равна

y(7)=x(7)+x(7-1)+x(7-2)+x(7-3)+0,5*y(7-1)+0,3*y(7-2)

y(7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12

При n = 8 выходной сигнал системы будет равна

y(8)=x(8)+x(8-1)+x(8-2)+x(8-3)+0,5*y(8-1)+0,3*y(8-2)

y(8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13

При n = 9 выходной сигнал системы будет равна

y(9)=x(9)+x(9-1)+x(9-2)+x(9-3)+0,5*y(9-1)+0,3*y(9-2)

y(9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0

При n = 10 выходной сигнал системы будет равна

y(10)=x(10)+x(10-1)+x(10-2)+x(10-3)+0,5*y(10-1)+0,3*y(10-2)

y(10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73

При n = 11 выходной сигнал системы будет равна

y(11)=x(11)+x(11-1)+x(11-2)+x(11-3)+0,5*y(11-1)+0,3*y(11-2)

y(11)=0+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=15,36

При n = 12 выходной сигнал системы будет равна

y(12)=x(12)+x(12-1)+x(12-2)+x(12-3)+0,5*y(12-1)+0,3*y(12-2)

y(12)=0+0+1+1+0,5*15,36+0,3*15,73=14,40

При n = 13 выходной сигнал системы будет равна

y(13)=x(13)+x(13-1)+x(13-2)+x(13-3)+0,5*y(13-1)+0,3*y(13-2)

y(13)=0+0+0+1+0,5*14,40+0,3*15,36=12,81

При n = 14 выходной сигнал системы будет равна

y(14)=x(14)+x(14-1)+x(14-2)+x(14-3)+0,5*y(14-1)+0,3*y(14-2)

y(14)=0+0+0+0+0,5*12,81+0,3*14,40=10,72

При n = 15 выходной сигнал системы будет равна

y(15)=x(15)+0*x(15-1)+x(15-2)+x(15-3)+0,5*y(15-1)+0,3*y(15-2)

y(15)=0+0+0+0+0,5*10,72+0,3*12,81=9,20

Рисунок 3: выходной сигнал

Задание V. Системная функция дискретной системы

Найдем системную функцию дискретной системы.

Преобразуем разностное уравнение из области отчетов n в область некоторой комплексной переменной z по следующим правилам:

, , и т.д.

Тогда получим

y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

y(z)=1*x(z)+1*x(z)*z^-1+1*x(z)*z^-2+1*x(z)z^-3+0,5*y(z)*z^-1+0,3*y(z)*z^-2

Системная функция W(z) – это отношение выходного и входного сигналов в области z, равная

.

Разделим наше выражение на X(Z)

Тогда получим:

w(z)=1+z^-1+z^-2+z^-3+0,5*w(z)*z^-1+0,3*w(z)*z^-2

отсюда получим конечное выражение

Задание VI. АЧХ и ФЧХ

Найдем амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристику системы (АЧХ и ФЧХ).

Для вычисления АЧХ и ФЧХ используем программу MathCad

Зададим коэффициенты системы

а0:=1

а1:=1

а2:=1

а3:=1

b1:=0,5

b2:=0,3

L:=10

ω:=-L,-L+0.05..L

j:=

Передаточная функция системы

Рисунок 4: АЧX

Рисунок 5: ФЧХ

Обратим внимание, что обе частотные характеристики являются периодическими функциями с периодом повторения, равном частоте дискретизации

,

где T_d – это шаг дискретизации сигнала.

Задание VII. Устойчивость системы

Оценим устойчивость системы

Понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Естественно, что существует граница устойчивости – это мощность силы, выведшей систему из состояния равновесия.

Для этих целей необходимо вычислить полюса системной функции W(z), т.е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим

1-0,5*z^-1-0,3*z^-2 =0

Умножим правую и левую часть на z²

Z²-0,5*z-0,3=0

Z_1;2=

Z_1;2=0.85;-0.35

Если хотя бы одно из полученных значений корня , то система считается неустойчивой Z₁=0.85<1

Данная система устойчива.

Вывод

Мы ознакомились с системными функциями линейных систем. Приобрели практические навыки анализа дискретной линейной системы, научились строить графики АЧХ и ФЧХ с помощью программы MathCad.

Подводя общий итог проведенных выше исследований, можно утверждать что наша система неустойчива.

Список литературы

1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов и др. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 608 с.

2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.1. – 103 с.

3. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.2. – 115 с.

4. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.1. – 336с.

5. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.2. – 360с.