Прогноз среднего значения спроса на товар

Задача №1

Исходные данные:

Решение:

1. Находим сумму квадратов всех наблюдений (Q1), сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце (Q2), квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (Q3).

2. Вычисляем оценку дисперсии фактора:

3. Вычисляем оценку дисперсии, связанной со случайностью:

4. Рассчитываем значение F-статистики (статистики Фишера):

5. Проверяем значимость фактора (q =0,05; h₁ = K-1; h₂ = N-K)

F = 2,29, так как расчетное меньше табличного, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между сроком окупаемости и типом региона не существенна.

6. Строим диаграмму средних значений сроков окупаемости для всех рассматриваемых регионов.

Средние сроки окупаемости:

Согласно таблицы и диаграммы самый маленький срок окупаемости инвестиционных проектов сложился в Новгородской области, следовательно, данная область является приоритетной.

Задача 2

Исходные данные:

Решение.

1. Изобразить данные графически.

2. Составить уравнение линейной регрессии.

3. Для расчета параметров уравнения регрессии (y_t = a₀ + a₁t) составляем вспомогательную таблицу:

Для нахождения a₀ и a₁ составляем систему уравнений:

∑у =n*a₀ + a₁ ∑t

∑уt =a₀ ∑t + a₁ ∑t²

Так как при t =60мин = 0, ∑t=0, система принимает вид:

5376 =7*a₀

11160 = a₁ *11200

Откуда:

a₀ = 768 и a₁ = 0,996

Уравнение регрессии имеет вид:

y_t = 768 + 0,996 t

Задача 3

Исходные данные:

Решение

1. Находим среднее значение, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

2. - среднее значение:

- среднее квадратическое отклонение:

- Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=1), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями семи пар наблюдений:

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt = 239+181+…+369 =2319

∑ Уt² = 239² + 181² + … + 369² = 860449

∑ Уt+ τ = 181+ 299+ … +379 = 2464

∑ У² t+ τ = 181² +299² + … +379² =949934

∑ Уt *Уt+ τ = 239*181 + 181*299 + … + 369*3729=851073

Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=2), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями шести пар наблюдений:

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt = 239+181+…+572 =1955

∑ Уt² = 239² + 181² + … + 572² = 727253

∑ Уt+ τ = 299+ 319+ … +379 = 2283

∑ У² t+ τ = 299² +319² + … +379² =917173

∑ Уt *Уt+ τ = 239*299 + 181*319 + … + 572*379 =758916

Находим коэффициент автокорреляции:

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка найдем коэффициент автокорреляции между членами ряда У_е+1 и У_е+2:

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt+1= 181+299+…+369 =2080

∑ У²t +1= 181² + 299² + … + 369² = 806293

∑ Уt+ 2 = 299+ 319+ … +379 = 2283

∑ У² t+ 2 = 299² +319² + … +379² =917173

∑ Уt+1 *Уt+ 2 = 181*299 + 299*319 + … + 369*379 =807814

Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:

3. Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда, полагая тренд линейным.

4. Находим коэффициенты для системы нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений имеет вид:

8b₀ + 36b₁ = 2703

36b₀ + 204b₁ = 13546

Отсюда находим b₀ = 189,068;b₁ =33,068

Уравнение тренда:

Y_t = 189,068+33,068t

То есть спрос ежегодно увеличивается в среднем на 33.068 ед.

5. Провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.

6. у₂ = 1/3 (у₁ + у₂ + у₃) = 1/3 (239+181+299)=239,7

7. у₃ = 1/3 (у₂ + у₃ + у₄) = 1/3 (181+299+319)=266,3

У₄ =1/3(у₃+ у₄+ у₅)=1/3(299+572+345)=405.3

У₅ =1/3(y₄+y₅+y₆)=1/3(319+345+572)=412

У₆=1/3(у₅ + у₆ + у₇₎=1/3(345+572+369)=428,7

У₇=1/3(у₆ + у₇ + у₈₎=1/3(572+369+379)=440

В результате получим сглаженный ряд:

8. Дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар в момент времени t=взятый год. (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

По полученному выше уравнению регрессии Y_t = 189,068 + 33,068t оценим условное математическое ожидание. Оценкой у(9) является групповая средняя:

У_t=9 = 189,068 + 33,068*9 =486,68(ед)

Составим вспомогательную таблицу для оценки дисперсии.

Вычислим оценку s² дисперсии ^

Вычислим оценку дисперсии групповой средней:

Значение t_0.95;6 = 2,45, критерий Стьюдента. Теперь находим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:

486,68 – 2,45*69,76 ≤у(9)≤ 486,68+2,45*69,76

Или

315,77≤у(9)≤ 657,59

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения вычислим дисперсию его оценки:

Теперь находим интервальную оценку:

486,68-2,45*113,69 ≤ у^* (9) ≤ 486,68+2,45*113,69

Или

208,14 ≤ у^* (9) ≤ 765,22

Вывод:

Следовательно, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на 9-й год будет заключено от 315,77 до 657,59 (ед.), а его индивидуальное значение – от 208,14до 765,22 (ед.)