Ряды распределения и аналитические группировки

Задача 2. Постройте ряд распределения студентов по успеваемости: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4. Подсчитайте локальные и накопительные частоты. Постройте полигон и кумуляту распределения. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение:

Ряд распределения – это ряд чисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены в определенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду с вариантами ряд распределения включает и частоты – величины, показывающие сколько раз каждая варианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объему совокупности. Таким образом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (f)

В зависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и вариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывных чисел. Например, распределение студентов по успеваемости (табл. 1). При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ко всему интервалу.

В зависимости от вида ряда распределения по-разному можно изобразить их графически. Если ряд дискретный – строится полигон распределения. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты – на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гистограмма распределения отличается от полигона тем, что на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, т.е. гистограмма, строится на

В основе вариационного (интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая (кумулята).
Для определения средней арифметической надо сложить все варианты и полученную сумму разделить на число единиц, входящих в совокупность (объем совокупности). Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Простая средняя используется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз (1). Если каждая варианта встречается несколько раз, то следует подсчитать частоты и умножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту (2).

Простая средняя арифметическая х = (1)

Средняя арифметическая взвешенная х = (2)

Средний процент влажности найдём по формуле средней арифметической взвешенной:

==

При расчете средней арифметической для интервального ряда нужно сначала определить середины интервалов как полусуммы значений верхней и нижней границ интервала. При наличии интервалов, где <хоткрыты» верхняя или нижняя граница, величину интервала определяют по последующему или предыдущему интервалу.

Для характеристики рядов распределения кроме средней степенной применяются структурные средние: мода и медиана.

Мода – варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, т.е. варианта с наибольшей частотой. Мо=4

Медиана – варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Мода для дискретного ряда определяется просто и соответствует варианте с наибольшей частотой.

Медиану для дискретного определяют по накопленным частотам делением объема совокупности пополам: по таблице 1 – 30:2=15. Это соответствует медиане, равной 4.

Размах вариации – разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

R==5–2=3

Среднее квадратическое отклонение – показатель вариации, измеряющий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической.

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией, или средним квадратом отклонений.

Найдем дисперсию:

s²==

s==0,885 – среднее квадратическое отклонение.

Наряду с абсолютным показателем колеблемости признака – средним квадратическим отклонением – широко применяется и относительный показатель – коэффициент вариации, который показывает меру колеблемости признака относительно его среднего значения и измеряется в процентах.

V=

Задача 12. Используя данные задачи 2, проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном законе распределения студентов по успеваемости.

Решение:

Применяем критерий согласия – Пирсона.

Каждому ряду распределения достаточно большой совокупности объективно свойственна определенная закономерность. Моделирование кривой распределения позволяет в компактной форме дать характеристику закономерности распределения, используя ее в планировании и прогнозировании. Одним из наиболее распространенных законов распределения, применяемых в качестве стандарта, с которым сравнивают другие распределения и которое имеет важное значение для решения задач выборочного наблюдения является нормальное распределение. для того чтобы установить, верно, ли предположение о том, что эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распределением. Важно определить, являются ли различия между ними результатом действия случайных причин или обусловлены неправильно подобранной функцией.

Критерий X-Пирсона:

Значение Х 2факрi, рассчитывается по изложенной выше формуле, для которой предварительно определяются теоретические частоты.

Нормированное отклонение определяется по формуле:

Таблица – Эмпирическое и теоретическое распределение студентов по успеваемости

Х 2 табл 8,95 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы число интервалов – 1.

Так как Х 2 факт < Х 2 табл критического (допустимого) значения, то эмпирическое распределение соответствует нормальному.

Задача 27. На основании данных таблицы б (с 1 по 26 предприятие) о выпуске продукции и размере прибыли постройте аналитическую группировку, а также исследуйте наличие и характер взаимосвязи между ними. Рассчитайте коэффициент корреляции, детерминации. Сделайте выводы.

Таблица 6– Исходные данные деятельности предприятий, млн. руб.

Решение:

Результаты группировки сведем в групповую таблицу, которая имеет вид:

Таблица 4 – Пример групповой таблицы

Найдем коэффициент детерминации и корреляции по формулам:

-эмпирический коэффициент детерминации

Найдем коэффициент корреляции рангов Спирмена по формуле

Полученное значение коэффициента спирмена свидетельствует об очень тесной связи между стоимостью основных производственных фондов и прибылью.

Задача 40 Известны темпы прироста выпуска продукции предприятия в 1999–2005 гг., процент по отношению к предыдущему году:

Таблица 12 – Темпы прироста выпуска продукции предприятия

Определите:

1) базисные темпы роста (1998 г. – 100%) выпуска продукции предприятия;

2) среднегодовой темп роста и прироста.

Решение:

Расчет будем производить по формулам:

Задача 46. Имеются данные о продаже картофеля на рынках города в мае месяце:

Таблица 17-Продажа картофеля на рынках города

Определите среднюю цену реализации картофеля по 3 рынкам города, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации цены. Сделать выводы.

Решение:

=

s²==

s==0,13 – среднее квадратическое отклонение.

V=

Задача 60 Имеются следующие данные о продаже товаров:

Таблица 30 – данные о продаже товаров

Определите:

1) общие индексы цен. физического объема, товарооборота;

2) абсолютное изменение товарооборота и влияние на него отдельных факторов.

Решение:

Будем использовать следующие формулы:

Абсолютный и относительный прирост стоимости реализованной продукции в текущем году по сравнению с базисным:

Изменение общей стоимости за счет отдельных факторов:

1) За счет изменения количества(q)

В индексной системе:

В абсолютном выражении

2) за счет изменения цен на продукцию(p)

В индексной системе:

В абсолютном выражении:

Общее абсолютное изменение результативного показателя составит алгебраическую сумму абсолютных изменений за счет отдельных факторов: