Математическое моделирование алгоритма реконструкции трехмерных изображений в рентгеновской компьютерной томографии с конусным пучком излучения

Разработан алгоритм реконструкции трехмерных изображений для рентгеновской компьютерной томографии с конусным пучком излучения. Алгоритм основан на точном аналитическом представлении трехмерного преобразования Радона проекционных данных. Для такого представления введена итерационно-инвариантная функция рассеяния точки (ФРТ). От существующих приближенных алгоритмов Фельдкампа, Кацевича и других авторов разработанный алгоритм отличается повышенной точностью, применим для высокопроизводительной спиральной рентгеновской томографии, обеспечивает практически реализуемую конструкцию рентгено-оптического тракта томографа (радиус траектории источника излучения не более чем в три раза превышает радиус объекта). Предложенный алгоритм преодолевает главный недостаток приближенных алгоритмов – обеспечивает достаточно высокое качество получаемых изображений даже при больших углах конуса излучения, что проявляется в сравнительно небольшом числе артефактов изображения. Выполнено математическое моделирование разработанного алгоритма трехмерной реконструкции для спиральной траектории источника излучения, получены удовлетворительные результаты на модели фантома, имитирующего объект исследования с контрастными вставками. Показано влияние расстояния источника излучения от центра координат по отношению к радиусу объекта исследования, для чего была разработана математическая модель специального фантома в форме шара, состоящего из отдельных равномерных эллиптических пластин (эллипсоидов) одинаковой плотности. Показано, что для относительно малого радиуса спиральной траектории, т.е. при больших углах конуса излучения источника, томографическое изображение получается достаточно высокого качества. Проведена оценка качества реконструируемых томографических изображений через меру различия изображения сечения модели фантома и реконструированного изображения, представленную как среднеквадратическая ошибка. Недостаток разработанного алгоритма – большой объем вычислений и, как следствие, возможно большое время реконструкции изображений. Однако для сегодняшнего развития вычислительной техники на основе малых супер ЭВМ этот недостаток легко устраним.
An algorithm for reconstruction of three-dimensional images for x-ray computed tomography with a cone beam is developed. Algorithm it is based on an accurate analytical representation of three-dimensional Radon transformation of projection data. That presentation introduced the iteration-invariant function of the scattering point (TRF). From the existing approximate algorithms of Feldkamp, Katsevich and other authors, the developed algorithm is characterized by high accuracy, is applicable for high-performance spiral x-ray tomography, provides a practical design of the x-ray optical path of the tomograph (the radius of the trajectory of the radiation source is not more than three times the radius of the object). The proposed algorithm overcomes the main drawback of the approximate algorithms-they provide a sufficiently high quality of the images obtained even at large angles of the radiation cone, which is manifested in a relatively small number of image artifacts. Mathematical modeling of the developed algorithm of three-dimensional reconstruction for the spiral trajectory of the radiation source is performed, satisfactory results are obtained on the phantom model simulating the object of study with contrast inserts. The influence of the distance of the radiation source from the center of coordinates with respect to the radius of the object of study is shown, for which a mathematical model of a special phantom in the form of a ball consisting of separate uniform elliptic plates (ellipsoids) of the same density. It is shown that for a relatively small radius of the spiral trajectory, i.e. at large angles of the radiation cone of the source, the tomographic image is obtained of sufficiently high quality. The estimation of the quality of reconstructed tomographic images through the measure of the difference between the image of the phantom model cross section and the reconstructed image, presented as a standard error, is carried out. The disadvantage of the developed algorithm is a large amount of calculations and, as a result, a large time of image reconstruction is possible. However, for today's development of computer technology based on small SUPER computers this the disadvantage is easily removable.
Ключевые слова: рентгеновская компьютерная томография, двухмерное и трехмерное преобразование Радона, трехмерные алгоритмы реконструкции изображения в конусном пучке излучения.
Key words: x-ray computed tomography, two-dimensional and three-dimensional Radon transformation, three-dimensional image reconstruction algorithms in a cone beam of radiation.
1. Введение
Современный этап развития рентгеновской компьютерной томографии (КТ) характеризуется переходом от классического послойного двумерного исследования объекта к трехмерному. Эта тенденция подразумевает переход от линейки детекторов к двумерному массиву детекторов, от круговой траектории движения источника рентгеновского излучения к спиральной траектории, от веерной геометрии сбора данных к конусной. Все это может позволить более эффективно использовать излучение источника, уменьшить время исследования протяженных объектов, повысить качество реконструкции, и получить напрямую трехмерное изображение исследуемого объекта. Высокая практическая значимость трехмерной КТ инициировало множество исследований в данной области.
Так как общая формулировка задачи осталась неизменной – восстановление функции по ее интегралам вдоль прямых – подходы к решению трехмерной задачи схожи с теми, что применяются в классической двумерной КТ [5,9,10]. Разрабатывались как алгебраические, так и аналитические методы.
С тех пор как была предложена первая схема с двумерным детектором, естественной тенденцией было найти применение классическим методам реконструкции, которые предполагали обобщение и расширение на трехмерный случай. Так появились приближенные методы решения трехмерной задачи.
Самым простым подходом стала идея использования веерных алгоритмов двумерной КТ для решения трехмерной задачи. Идея состоит в следующем. Предполагается, что значения интегралов на детекторе определяются на прямых горизонтальных линиях, находящихся в параллельных плоскостях, перпендикулярных плоскости движения источника, как будто полученные в веерах лучей при поступательном движении источника излучения по вертикали. Следствием такого решения задачи трехмерной томографической реконструкции являются артефакты на изображении и низкое качество реконструкции в плоскостях, отстоящих от плоскости вращения источника.
Один из первых трехмерных алгоритмов реконструкции был предложен в Фельдкампом [6,11]. В нем производится построчная фильтрация сверткой, подобно тому, как это делается в классической двумерной КТ с веерной схемой сканирования, а полная геометрия конусной схемы учитывается только на этапе вычисления обратной проекции. Алгоритм дает приближенное решение для круговой траектории, обеспечивает хорошее качество восстановления, но не учитывает угол конуса (с увеличением угла растут ошибки реконструкции), требует больших затрат времени компьютерного счета, хотя и превосходит по скорости классический подход и некоторые итерационные методы.
В связи с этим было предложено несколько модификаций алгоритма Фельдкампа. Основное внимание уделено созданию быстродействующих алгоритмов и исследованию возможных обобщений, связанных с усложнением способа сбора проекционных данных. Так в [1] предложен алгоритм, получивший название обобщенной параллельной обратной проекции (EPBP – extended parallel backprojection). От классического алгоритма Фельдкампа этот метод отличается применением перепаковки к параллельным данным с детекторов и тем, что его применение не ограничено плоскими траекториями движения.
Альтернативой алгоритмам, основанным на методе Фельдкампа, служит модернизированный алгоритм однослойной перепаковки (ASSR – advanced single-slice rebinning) [2]. Основная идея данного алгоритма заключается в том, что изображения не обязательно реконструировать в плоскостях, строго параллельных координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат. Вместо этого реконструкция осуществляется в наклонных плоскостях, оптимально вписанных в спиральную траекторию источника излучения. В этом случае, строго говоря, форма среза отличается от идеальной плоскости, но этим отклонением можно пренебречь без заметного ухудшения качества реконструкции. На последнем этапе реконструкции выполняется интерполяция, результатом которой являются томограммы в стандартной системе координат.
Разработка точного аналитического алгоритма, обеспечивающего оптимальное качество изображений, является сложной задачей, которая стала предметом интенсивных исследований в мире в течение нескольких десятилетий. Приемлемое решение задачи трехмерной реконструкции по конусным проекциям приведено в [3]. Представленный алгоритм достаточно теоретически точен, имеет структуру FBP-алгоритма (FBP – filtered backprojection), точно основан на связи между преобразованием в конусе лучей, прямом и обратном преобразовании Радона в трехмерном пространстве. Однако этот алгоритм является сложным, громоздким для вычислений и также он является приближенным.
Альтернативой FBP-алгоритмам может служить подход, описанный в [4], где применению взвешенной обратной проекции конусного пучка предшествует операции фильтрации, устраняющей размытости на изображении.
В работах авторов [9,10,16-18] дан подробный анализ выше перечисленным подходам, а в работах [20-22] – сравнительный анализ погрешности реконструкции изображений.
В настоящей работе рассматривается новый подход в разработке алгоритма прямой реконструкции трехмерных изображений. Он является точным аналитическим подходом. Разработан вычислительный алгоритм, реализация его опробована на математической модели объекта.
2. Подходы к решению задачи трехмерной реконструкции изображений по конусным проекциям
Для точного восстановления трехмерной функции (r) (для рентгеновского излучения это линейный коэффициент ослабления), r = (x, y, z)по данным конусных проекций необходимо, чтобы они удовлетворяли условию полноты Кириллова-Смита-Туя [12-15] . Для этого необходимо, чтобы каждая плоскость, проходящая через исследуемый объект, по крайней мере, один раз должна пересекать траекторию движения источника излучения. Примеры схем сканирования с траекторией движения источника, удовлетворяющих этому условию: спиральная, две окружности, окружность и прямая, две окружности, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях [3, 4, 6].
Математически задачу можно определить, как поиск функции объекта из уравнения лучевой суммы
(1)
которое описывает интегрирование по линии с началом в точке s и в направлении , где S2 находится в единичной сфере R3 . Формула (1) описывает геометрию трехмерной визуализации (r) по проекциям , где вектор представляет положение источника на орбите; - уравнение прямой в векторно-параметрическом виде (рисунок 1).

Рис. 1. Геометрия сканирования конусным пучком. Множество функции (r) объекта показано в виде шара с единичном радиусом серого цвета. Положение источника на пути вокруг объекта задано вектором s. Интеграл взят вдоль пунктирной линии, которая параллельна вектору u. Проекции конусного пучка собраны вращением вектора u.
Одним из путей обращения интеграла выражения (1) является применение трехмерного преобразования Радона, согласно которому [4]
(2)
где символ «» обозначает скалярное произведение, +s=0 - векторное уравнение плоскости.
В выражении (2) понимается, что преобразование Радона проводится в каждой точке s вектора s.
Трехмерное преобразование Радона описывает интегрирование (r) в плоскости перпендикулярной к вектору n и лежащей на расстоянии s от начала координат.
Формула обращения уравнения (2), выведенная Радоном, имеет вид
(3)
где– лапласиан.
Для использования формулы (3), которая часто именуется «обратное преобразование Радона», необходимо установить связь между преобразованием Радона (2) и лучевой суммой (1).
Эта связь определена в работе [4]:
если однородное распределение степени два, т.е. , тогда
, (4)
где символ * обозначает свертку по второй величине преобразования Радона.
Предлагаемый нами подход к разработке аналитического алгоритма трехмерной реконструкции, в отличии от классических FBP-алгоритмов, сначала выполняет операцию обратного проецирования и затем фильтрацию. Алгоритм может быть описан двумя шагами:
Определяется обратная проекция по прямой проекции, т.е. , где - не фильтрованные значения восстанавливаемого параметра объекта,
Осуществляется фильтрация обратной проекции , т.е. .
На втором шаге алгоритма вводится уравнение визуализации, которое позволяет рассматривать задачу реконструкции, как задачу восстановления изображения с инвариантной к сдвигу функцией рассеяния точки.
3. Алгоритм трехмерной реконструкции изображений по конусным проекциям для спиральной траектории источника излучения
Общий подход, рассмотренный выше, представим для спиральной траектории источника излучения (рисунок 2)

Рис. 2. Геометрия спирального сканирования с конусным пучком излучения.
Rm – радиус объекта исследования, RD – расстояние от центра вращения (расположен на оси Z) до детектора D.
Источник движется вдоль спирали, ось которой лежит на оси Z. При этом плоскость детектора D всегда остается параллельной ей.
Если принять R – радиус спирали, d/2 - ее шаг, то параметрическое уравнение такой спирали имеет вид
, (5)
где угол поворота источника излучения вокруг оси Z,
или в координатах XYZ
.
Используя уравнение спирали (5), можно переписать основное уравнение (1) в форме преобразования с конусным пучком излучения
(6)
на спиральной орбите , изменяется от 0 до 2.
Рассмотрим преобразование рентгеновского излучения
, (7)
где интегрирование проводится по всей линии, проходящей через точку .
Сравнивая уравнения (6) и (7), мы можем написать
. (8)
Для определения алгоритма реконструкции изображения используем дельта-функцию, которая позволяет переписать (7) в форме
. (9)
Обозначим обратную проекцию (изображение) через , которая может быть определена усреднением значений преобразования рентгеновского излучения в точке r
. (10)
Связь между и проекцией может быть определена подстановкой уравнения (8) в (10)
, (11)
где предположили, что орбита источника лежит на поверхности, которая полностью покрывает объект исследования.
По формуле (11) возможно получение не фильтрованного изображения низкого качества. Для получения фильтрованного изображения (r) необходимо к уравнению (11) применить один из методов регуляризации, например, через фильтрующее ядро - функцию рассеяния точки (ФРТ), используя фильтрующее свойство дельта-функции. Для этого вставим уравнение (9) в уравнение (10) , (12)
где мы использовали замену переменных t'=t/|r-s(α)|.
Необходимо заметить, что весовой коэффициент в (12) был исключен заменой переменных.
Интеграл по t' уравнения (12) может быть представлен как
, (13)
что дает интегральное уравнение
(14)
с ядром
. (15)
Функцию можно интерпретировать, как произвольную ФРТ для точки системы визуализации с конусным пучком излучения.
Рассмотрим ФРТ (15) в координатах осей XYZ. Перепишем уравнение (15), используя параметрическое уравнение спирали (5)
. (16)
Произведение дельта-функций (16) понимается, как трехмерная дельта функция. Дельта-функция используется, как математическое описание точечного источника сигнала, а ФРТ понимается, как идеальное описание точечного значения μ(r)s.
Внутренний интеграл выражения (16) можно представить, как
. (17)
С учетом (17) выражение (16) может быть представлено, как
, (18)
где мы имеем умноженный и деленный аргумент второй дельта-функции на
.
В работе [4] показано, что если R1 (радиус спирали R взят в относительных единицах при радиусе объекта исследования Rm=1) , т.е. радиус вращения источника гораздо больше пути сферического множества искомой функции (r), то ФРТ (18) можно заменить на выражение
, (19)
которое описывает приближение к ФРТ.
Используя функцию вместо ФРТ в (14), мы можем последнюю преобразовать в свертку.
Наличие дельта-функции в (19) означает, что 3D фильтрация сокращается до 2D фильтрации поперечных плоскостей. Поэтому к уравнению (14) может быть применено преобразование Фурье, как к уравнению свертки
, (20)
где , - преобразование Фурье с пространственными частотами и , соответственно, и ,
- преобразование Фурье функции (19)
. (21)
Весовой коэффициент в (12), если имеем неравенство R1, будет равен
. (22)
Влияние коэффициента 2/R может быть убрано из выражения (21) и вставлено в весовой коэффициент (22), тогда
. (23)
4. Вычислительный алгоритм трехмерной реконструкции изображений по конусным проекциям
Учитывая выше представленные выкладки, алгоритм трехмерной реконструкции изображения для конусного пучка рентгеновского излучения может представлен следующими шагами:
Определение взвешенной обратной проекции по прямым проекциям , используя выражения (11) и (23)
. (24)
2. Фильтрация взвешенной обратной проекции (24):
2.1. Определение прямого преобразования Фурье взвешенной обратной проекции
. (25)
2.2. Определение прямого преобразования Фурье искомой обратной проекции из выражения (20)
,(26)
где обратный фильтр ФРТ представлен в виде произведения собственно обратного фильтра , где , и «окна» фильтрации , ограничивающего для повышения устойчивости алгоритма реконструкции высокие частоты объекта [5].
Для примера мы можем использовать «окно» Хемминга
, (27)
где - частота среза.
Определение искомой обратной проекции через обратное преобразование Фурье выражения (26)
. (28)
5. Результаты математического моделирования алгоритма трехмерной реконструкции изображений по конусным проекциям
Для моделирования алгоритма трехмерной реконструкции изображений по конусным проекциям была разработана математическая модель фантома, физический образ которого представлен на рисунке 3.
Размер матрицы изображения задавался 512512 пикселей, размер куба значений - 512512512 вокселей, количество единичных детекторов (отсчетов) в матрице детекторов - NN=512512, количество ракурсов облучения объекта исследования – M=300, шаг спирали d=0,5 мм, т.е. количество шагов L=90.

Рис. 3. Фантом.
Для заданного фантома были смоделированы проекционные данные (прямые проекции) для рентгеновских лучей
, (29)
где логарифм определен согласно закону Бугера-Ламберта-Бера при поглощении монохроматического рентгеновского луча в объекте исследования
, (30)
– интенсивность входящего луча рентгеновского излучения в объект исследования,
– элементарное расстояние, которое проходит луч через вещество по прямой, соединяющей источник s и точку объекта исследования r,
– линейный коэффициент ослабления рентгеновского излучения на элементарном расстоянии при ракурсе облучения объекта .
Интеграл (29) есть лучевая сумма для общего ее выражения по (1).
В результате моделирования проекционных данных были получены:
трехмерная матрица проекционных данных размером NNM для одного шага спирали,
четырехмерная матрица проекционных данных размером NNML для L шагов спирали.
Моделирование трехмерного алгоритма осуществлялось в среде Matlab, которая эффективно осуществляет матричные вычисление интегралов, дифференциалов, прямого и обратного одномерного и двухмерного преобразования Фурье, одномерной и двухмерной свертки, одномерного и двухмерного преобразования Радона с задаваемыми одномерными, двухмерными и трехмерными матрицами переменных.
По проекционным данным в соответствии с вычислительным алгоритмом (п. 4) проводилась реконструкция значений модели фантома.
На рисунке 4 представлены томограммы модели фантома для четырех шагов спирали при соотношении R/Rm=6.

Рис. 4. Томограммы модели фантома, полученные при реконструкции по трехмерному алгоритму.
Качество изображения томограмм достаточно высокое, что показывает хорошую устойчивость разработанного трехмерного алгоритма.
Ошибка моделирования сечений фантома (мера различия идеального фантома и его модели) определялась по формуле, как среднеквадратическая ошибка
, (14)
где ti, и hi, – значения серо-белого линейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения i-го значения профиля идеального фантома и его модели, соответственно;
k - количество значений профиля.
Мера различия d1=0,026 или 2,6%.
Погрешности реконструкции по методу Фельдкампа, полученной в работе [4,22] (погрешность 2,7%), и разработанного алгоритма практически одинаковы.
Было проведено исследование влияние расстояния источника излучения от центра координат по отношению к радиусу объекта исследования для значений R/Rm, равных 1.5, 3.0, 6.0, 12.0. Для этого была разработана математическая модель фантома в форме шара, состоящего из отдельных равномерных эллиптических пластин (эллипсоидов) одинаковой плотности (рисунок 5).

Рис. 5. Сечение математической модели фантома по плоскости z=0.
На рисунке 6 представлены томограммы фантома, реконструируемые по трехмерному алгоритму п.п. 4, 5, для значений R/Rm, равных 12.0, 6.0, 3.0, 1.5.

R/Rm=12 R/Rm=6.0 R/Rm=3.0 R/Rm=1.5
Рис. 6. Реконструируемые изображения пластинчатого фантома
Ошибка реконструкции (мера различия изображения сечения модели фантома и реконструированного изображения) определялась по формуле, как
среднеквадратическая ошибка [19]
(15)
где ti,j и hi,j – значения серо-белого коэффициента ослабления рентгеновского излучения i-го пикселя в j-ой строке матрицы изображений модели и реконструкции, соответственно; матрицы изображений имеют размер .
Мера различия d для различных значений R/Rm представлена в таблице 1
Таблица 1
Мера различия d R/Rm=12.0 R/Rm=6.0 R/Rm=3.0 R/Rm=1.5
1,9% 2,7% 4,7% 8,9%
Профили одного из сечений модели фантома и реконструированного изображения модели показаны на рисунке 7
а б в г
д
Рис. 7. Профили сечения модели фантома а), реконструированных изображений сечения: R/Rm=12.0 б), R/Rm=6.0 в), R/Rm=3.0 г),
R/Rm=1.5 д).
Реконструированные изображения пластинчатого фантома показывают, что разработанный трехмерный алгоритм для спирального сканирования объекта исследования дает хорошие результаты уже для значений R/Rm, равных около 3.0, т.е. при достаточно больших углах конуса излучения источника. Для значений R/Rm менее 3.0 появляются артефакты на изображении, что наблюдается на томограмме пластинчатого фантома при R/Rm=1.5.

5. Выводы
1. Показано, что задача трехмерной реконструкции в конусном пучке характеризуется итерационно-инвариантной функцией рассеяния точки (ФРТ).
2. Для вывода приближения в форме уравнения свертки было предположено, что источник излучения находится относительно далеко от объекта исследования. Итерационно-инвариантная ФРТ может быть сокращена до ядра свертки.
3. Использование специально выбранного весового коэффициента в обратной
проекции даёт нам возможность упростить выражение ФРТ и фильтра реконструкции. Формула для такой фильтрации обратной проекции дана в области Фурье в форме 2D поперечного фильтра.
4. Было выполнено математическое моделирование разработанного алгоритма трехмерной реконструкции для спиральной траектории источника излучения, получены удовлетворительные результаты на модели фантома, имитирующего объект исследования с контрастными вставками.
5. Проведено исследование влияния расстояния источника излучения от центра координат по отношению к радиусу объекта исследования, для чего была разработана математическая модель специального фантома в форме шара, состоящего из отдельных равномерных эллиптических пластин (эллипсоидов) одинаковой плотности. Показано, что для относительно малого радиуса спиральной траектории R/Rm, равных около 3.0. т.е. при достаточно больших углах конуса излучения источника, томографическое изображение получается высокого качества, что может быть применено в практической томографии.
6. В отличие от приближенного алгоритма Фельдкампа представленный подход позволяет иметь любую траекторию источника, в том числе спиральную, которая лежит на цилиндре, охватывающем объект.
Литература
Kachelrie M. Extended parallel backprojection for standard three-dimensional and phase-correlated four-dimensional axial and spiral cone-beam CT with arbitrary pitch, arbitrary cone-angle, and 100% dose usage / M. Kachelrie, M. Knaup, W.A. Kalender // Medical Physics. – 2004. – V. 31, №6.– P. 1623 – 1641.
Kachelrie M. Advanced single-slice rebinning in cone-beam spiral CT / M. Kachelrie, S. Schaller, W.A. Kalender //Medical Physics. – 2001. – V. 27, №4.– P. 1033 – 1041.
Katsevich A. A general scheme for constructing inversion algorithms for cone beam CT / A. Katsevich // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. – 2003. – №21. – P. 1305 – 1321.
Bronnikov A. V. Cone-beam reconstruction by backprojection and filtering / A.V. Bronnikov // J. Opt. Soc. Am. A. –2000. – V. 17, №11. – P. 1993 – 2000.
Симонов Е.Н. Физика визуализации изображений в рентгеновской компьютерной томографии / Е.Н. Симонов. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2014. – 479 с.
Календер В. Компьютерная томография основы, техника, качество изображений и области клинического использования/ В. Календер; пре. с англ. А.В. Кирюшина, А.Е. Соловченко; под ред. В.Е. Синицына – М.: Техносфера, 2006. – 344 с.
Stienstorfer K. Segmented multiple plane reconstruction – novel approximate reconstruction scheme for multislice spiral CT / K. Stienstorfer, T. Flohr, H. Bruder // Phys. Med. Biol. – 2002. – №47. – P. 2571 – 2851Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер; пер. с англ. И.В. Паламодова; под ред. В.П. Паламодова – М.: Мир, 1990. – 286 с.
Симонов Е.Н., Аврамов М.В. К вопросу разработки методов реконструкции изображений в рентгеновской компьютерной томографии с конусным пучком излучения // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2015, -Т. 15. № 4, -С. 58-66.
Симонов Е.Н., Аврамов М.В., Аврамов Д.В. Анализ трехмерных алгоритмов реконструкции в рентгеновской компьютерной томографии // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2017, -Т. 17. № 2, - С. 24-32.
L. A. Feldkamp, L. C. Davis, and J. W. Kress, ‘‘Practicalcone-beam algorithm,’’ J. Opt. Soc. Am. A 1, 612–61 (1984).
B. D. Smith, ‘‘Cone-beam tomography: recent advances and tutorial review,’’ Opt. Eng. 29, 524–534 (1991).
V. Bronnikov and G. Duifhuis, ‘‘Wavelet-based image enhancementin x-ray imaging and tomography,’’ Appl. Opt. 37, 4437–4448 (1998).
А.Kirillov, ‘‘On a problem of I. M. Gel’fand,’’ Sov. Math. Dokl. 2, 268–269 (1961).
H. K. Tuy, ‘‘An inversion formula for cone-beam reconstruction,’’SIAM J. Appl. Math. 43, 546–552 (1983).
Симонов Е.Н., Аврамов Д.В. К вопросу получения объемных изображений в рентгеновской компьютерной томографии//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2015. Т. 15. № 4. С. 50-57.
Симонов Е.Н., Аврамов М.В., Аврамов Д.В. Метод объемного рендеринга для визуализации трехмерных данных в рентгеновской компьютерной томографии// Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника.- 2016. Т. 16. № 4. С. 5-12.
Simonov E., Avramov M. Review of image reconstruction methods in
X-ray computed tomography with cone-beam geometry //Вестник Южно-Уральского университета. Серия: Компьютерные технологии, управление и радиоэлектроника. 2018.Т. 18, №2. С. 29-37.
Хермен Г. , Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии, пер. с англ./ Хермен Г. - М, Мир, 1983, 352 с.
Пикалов В.В., Лихачев А.В. Сравнение алгоритмов спиральной томографии// ж. Вычислительные методы и программирование. 2004. Т.5. С. 170-183.
Лихачев А.В. Сравнение алгоритма Фельдкампа с алгоритмом синтеза Фурье для трехмерной томографии// ж. Автометрия, СО РАН. 2006. Т.42. №1. С. 88-102.
Трофимов О.Е., Лихачев А.В. Сравнение некоторых алгоритмов томографической реконструкции в конусе лучей// Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т.XI. №3(35). С. 126-134.
References
Kachelrie M. Extended parallel backprojection for standard three-dimensional and phase-correlated four-dimensional axial and spiral cone-beam CT with arbitrary pitch, arbitrary cone-angle, and 100% dose usage / M. Kachelrie, M. Knaup, W. A. Kalender // Medical Physics. - 2004. – V. 31, №6.– P. 1623 – 1641.
Kachelrie M. Advanced single-slice rebinning in cone-beam spiral CT / M. Kachelrie, S. Schaller, W. A. Kalender //Medical Physics. - 2001. – V. 27, №4.– P. 1033 – 1041.
Katsevich A. A general scheme for constructing inversion algorithms for cone beam CT / Katsevich A. // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2003. - №21. – P. 1305 – 1321.
Bronnikov A. V. Cone-beam reconstruction by backprojection and filtering / A. V. Bronnikov // J. Opt. Soc. Am. A. -2000. – V. 17, №11. – P. 1993 – 2000.
Simonov E. N. Physics of imaging in x-ray computed tomography / E. N. Simonov. - Chelyabinsk: Publishing center SUSU, 2014. - 479 p.
Calender V. Computed tomography basics, technique, quality of images and clinical use/ V. Calender; pre. with English. A. V. Kiryushin, A. E., Solovchenko; ed. by V. E. Sinitsyn, M.: Technosphere, 2006. - 344 p.
Stienstorfer K. Segmented multiple plane reconstruction – novel approach reconstruction scheme for multislice spiral CT / K. Stienstorfer, T. Flohr, H. Bruder // Phys. Med. Biol. - 2002. - №47. – P. 2571 – 2851
Natterer F. Mathematics of computerized tomography / F. Natterer; lane. from English. I. V. Palamodov; under the editorship of V. P. Palamodov – M.: Mir, 1990. - 286 p.
Simonov E. N., Avramov M. V. on the development of methods of image reconstruction in x-ray computed tomography with a cone beam // Bulletin of the South Ural state University. Series: Computer technologies, control, radio electronics. -2015, - Vol. 15. № 4, - P. 58-66.
Simonov E. N., Avramov, M. V., Avramov D. V. Analysis of three-dimensional reconstruction algorithms in x-ray computed tomography // Bulletin of the South Ural state University. Series: Computer technologies, control, radio electronics. -2017, - Vol. 17. № 2, - P. 24-32.
L. A. Feldkamp, L. C. Davis, and J. W. Kress, ‘Practicalcone-beam algorithm,’ J. Opt. Soc. Am. A 1, 612-61 (1984).
B. D. Smith, ‘Cone-tomography-recent advances and tutorial review,’ Opt. Eng. 29, 524-534 (1991).
V. Bronnikov and G. Duifhuis, ‘Wavelet-based image enhancementin x-ray imaging and tomography,’ Appl. Opt. 37, 4437-4448 (1998).
A. Kirillov, ‘on a problem of I. M. gel'fand,’ Sov. Math. Dokl. 2, 268-269 (1961).
H. K. Tuy, ‘An inversion formula for cone-beam reconstruction,’SIAM J. Appl. Math. 43, 546-552 (1983).
Simonov E. N., Avramov D. V. on the issue of obtaining three-dimensional images in x-ray computed tomography//Bulletin of South Ural state University. Series: Computer technologies, control, radio electronics. -2015. Vol. 15. No. 4. P.50-57.
Simonov E. N., Avramov M. V., Avramov D. V. volumetric rendering Method for visualization of three-dimensional data in x-ray computed tomography// Bulletin of South Ural state University. Series: Computer technologies, control, radio electronics.- 2016. Vol. 16. No. 4. P. 5-12.
Simonov E., Avramov M. Review of image reconstruction methods in
X-ray computed tomography with cone-beam geometry //Bulletin of
South Ural University. Series: Computer technologies, control and radio electronics. 2018.Vol. 18, №2. P. 29-37.
Herman, G. , Image Reconstruction for projections: the fundamentals of reconstructive tomography, TRANS. from English./ Hermen G.-M, Mir, 1983, 352 p.
Pikalov V. V., Likhachev A.V. Comparison of spiral tomography algo
rithms. Computational methods and programming. 2004. Vol. 5. P. 170-183.
Likhachev A.V. Comparison of the Feldkamp algorithm with the Fourier
synthesis algorithm for three-dimensional tomography/ / Zh. autometry, SB RAS, 2006, Vol. 42, No. 1, P. 88-102.
Trofimov O. E., Likhachev A.V. Comparison of some algorithms for to
mographic reconstruction in the ray cone// Siberian journal of industrial mathematics. 2008. Vol. XI. no. 3(35). P. 126-134.