Применение оптимизационных задач в торговой сфере

Введение
Математическое моделирование – это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания заместителей новых объектов – математических моделей. Математические методы исследования все больше проникают в экономику, экологию, социологию, психологию, коммерческую деятельность, маркетинг.
Торговая деятельность связана с постоянным поиском наиболее выгодного варианта распределения различного вида ресурсов: финансовых, трудовых, товарных, технических, энергетических, информационных и др. В настоящее время усложнение взаимосвязей вне и внутри коммерческих предприятий, наличие большого числа показателей, факторов и ограничений, а также быстрый рост конкуренции не позволяют оперативно сформировать оптимальный план без применения специальных методов. Кроме того, время решения задач обычно ограничено, и поэтому не всегда составляется лучший план действий.
Существующие математические методы и модели позволяют решать задачи большей размерности и учитывать широкий перечень показателей и факторов влияния, а время решения задач значительно сокращается с применением компьютерной технологии обработки информации.

Математическое моделирование задач торговой деятельности
В начале математического моделирования необходимо сформулировать проблему и цель исследования. Цель – результат, к которому надо стремиться. Критерий – показатель сформулированной цели. При выборе решения возможны различные варианты-альтернативы, которых существует множество в любой коммерческой ситуации. Предпочтительность выбора лучше проводить по количественному критерию, позволяющему сравнивать решения. Такой критерий называют показателем эффективности. Он формально отображает цель, которая преследуется в рассматриваемой ситуации. В соответствии с этим выбранное решение будет в наибольшей степени способствовать достижению цели. В качестве таких критериев могут выступать показатели: товарооборот, прибыль, издержки, доход, рентабельность, производительность труда и др. Кроме функции цели, необходимо учесть ограничения, которые накладываются на переменные. Рассмотрим методы решения задач, которые могут возникать в различных условиях, в частности, когда модель линейная.
Задача 1. Решить задачу линейного программирования графическим методом. Провести анализ пассивных и активных ограничений, коэффициентов целевой функции.

РЕШЕНИЕ
Решим задачу графически.
Строим область допустимых решений на плоскости , заданную системой ограничений, то есть ограниченную прямыми L1, L2, L3.
L1: -2х1 + х2 = 2 L2: -х1 + 3х2 = 9 L3: х1 + х2 = 3
х1 0 -1 0 3 0 3
х2 2 0 3 4 3 0
Получаем неограниченную сверху область, снизу ограниченную ломаной с угловой точкой .

Строим линию уровня , при : и вектор нормали . Т.к. область не ограничена сверху (в направлении возрастания целевой функции), то функция не имеет максимального значения в данной области, то есть задача не имеет решений. Следовательно, нельзя определить пассивные и активные ограничения, а также изменение целевой функции.
Задание 2. Для приведенной задачи (прямой) составить двойственную задачу. Решить прямую или двойственную задачу симплексным методом. Используя полученное решение найти решение второй из пары двойственных задач. Сравнить полученное решение с решением, найденным с помощью надстройки Excel «Поиск решения». Проанализировать отчет об устойчивости.

РЕШЕНИЕ
Приведем задачу к стандартному виду.
Из второго равенства , по условию тогда

Умножив первое и второе неравенство на (-1), получаем:

Составим математическую модель двойственной задачи. Двойственной к задаче на минимум будет задача на максимум.
.
Так как в прямой задачи все переменные неотрицательны, то в двойственный все ограничения будут . Так как в прямой задачи все ограничения , то в двойственной задачи . Получаем экономико-математическую модель двойственной задачи:

Решим двойственную задачу симплекс методом, для этого приведем ее к каноническому виду:

Первое базисное решение , .
Первая симплекс-таблица:
Базис b у1 у2 у3 и1 и2
и1 0 1 -1 1 1 0
и2 -4 -3 1 3 0 1
F -4 0 2 -2 0 0
0 - - - -
В столбце свободных членов отрицательное значение, план не допустимый
, .
Новая симплекс-таблица:
Базис b у1 у2 у3 и1 и2
и1 -4/3 0 -2/3 2 1 1/3
у1 4/3 1 -1/3 -1 0 -1/3
F -4 0 2 -2 0 0
- -3 - - -
Новый опорный план: не допустимый, так как в столице свободных членов отрицательные значения.
, .
Новая симплекс-таблица:
Базис b у1 у2 у3 и1 и2
у2 2 0 1 -3 -1,5 -0,5
у1 2 1 0 -2 -0,5 -0,5
F -8 0 0 4 3 1
Новый опорный план: допустимый, так как все значения в столице свободных членов неотрицательны.
В задаче на максимум в индексной строке нет отрицательных переменных – текущий опорный план оптимален. Поскольку, в столбцах небазисных переменных все значения строго положительны, то план единственный
Убрав дополнительный переменные, получим: . Максимальное значение функции: .
Решение прямой задачи найдем из индексной строки последней симплекс-таблицы: , .
Тогда
, что соответствует оптимальному значению двойственной задачи.
Решим задачу с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel.
Для этого составим начальную таблицу:

Запустим надстройку «Поиск решения»:

Получим решение:

То есть оптимальный план: и минимальное совпадает с решением, найденным симплекс-методом.
Проведем Анализ на устойчивость, для этого отметим следующую функцию в надстройке «Поиске решения»:

Полученный анализ на устойчивость:

Границы, в которых могут изменяться значения коэффициентов целевой функции, в пределах которых не изменяется ассортимент выпускаемой продукции, возьмем из последних двух столбцов первой таблицы:

Границы, в которых могут изменяться правые части ограничений, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок, возьмем из последних двух столбцов второй таблицы:

Задание 3. Для транспортной задачи (строки – поставщики, столбцы потребители) составить модель и решить ее, используя надстройку Excel «Поиск решения».
-70485-254000
50 50 100 100 50
50 3 4 6 5 13
50 6 3 7 6 10
100 10 5 2 2 6
150 9 4 4 9 5
100 3 2 4 2 3
РЕШЕНИЕ
Запасы поставщиков: , потребности потребителей: . Так как , то имеем задачу открытого типа.
Пусть - количество груза, перевозимое из пункта в пункт . По смыслу задачи следует определить минимальные затраты на перевозку.
Математическая модель задачи:

Построим матрицу тарифов и матрицу перевозок

В ячейку Е20 введем формулу для вычисления значения целевой функции: =СУММПРОИЗВ (B4:F8; B13:F17).
В ячейку А13 запишем формулу суммирования значений четырех изменяемых ячеек второй строки: =СУММ(B13:F13). Копируем формулу в ячейки А14:А17 (ячейки наличия груза).
Аналогично по потребителям: в ячейку В12 суммируем значения изменяемых ячеек первого потребителя =СУММ(В13:В17). Скопируем формулу в ячейки С12:F12 (ячейки мощностей потребителей).
Так как суммарные потребности потребителей больше суммарных запасов поставщиков, то в ячейку G13 запишем формулу A4-A13, значение которой будет равно неудовлетворенным запасам поставщиков. Скопируем формулу в ячейки G14:G17.
Перейдем в режим Поиск решения (Данные – Поиск решения). Установим параметры как на рисунке:

На рисунке указаны следующие Ограничения:
- не может быть перевезено груза, чем имеется на складе, т.е. А13:А17 <= А4:А8.
- суммарные перевозки по каждому пункту потребления должны равняться потребностям, т.е. B12:F12 = B3:F3.
Результаты расчетов оптимального плана перевозок отражен в «Матрице перевозок (изменяемые ячейки)».

Итак, оптимальный план перевозок:

Минимальный суммарный тариф ден.ед.
При 100 единиц этом запасов поставщика (склада) не будут перевезены.

Задание 4. Методом динамического программирования решить задачу о распределении между отраслями.
Найти оптимальное распределение ресурсов ед. между двумя отраслями производства I и II в течении лет, если даны функции доходов и для каждой отрасли, функции возврата и . По истечении года перераспределяются только все возвращенные средства, прибыль не вкладывается.
РЕШЕНИЕ
Имеем задачу распределения ресурсов с шагами.
Параметр состояния , где – количество средств, которые нужно распределить в начале -го года, и - переменные управления на каждом шаге.
Т.к. возвращенные средства по истечении года полностью распределяются, а доход не вкладывается, то .
Показатель эффективности -го шага – доход, полученный от двух предприятий в течении -го года:
Показатель эффективности всей задачи – доход, полученный от 2-х предприятий за лет:
Уравнение состояния – остаток средств после -го шага:
Получаем рекуррентные соотношения Беллмана:
Этап условной оптимизации;
Этап условной оптимизации.
ед. - максимальный доход и :
- остаток средств к концу 1-го года.
Т.к. на каждом этапе условной оптимизации максимальное значение было равно , то все средства следует распределить только предприятию I. Т.е. распределение средств по годам будет выглядеть следующим образом:
Предприятие 1-й год 2-й год 3-й год 4-й год 5-й год Сумма
I 0 0 0 0 5572,8 -
II 43 000 25 800 15 480 9 288 0 -
Остаток 25 800 15 480 9 288 15 572, 8 2 229, 12 -
Доход 17 200 10 320 6 192 3 715, 2 2 786, 4 40 213,6

Литература
А.И. Орлов Теория принятия решений Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.
Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.
Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. — 912 с: ил.
Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М, 2003. — 444 с. 
Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.