Контрольная работа по Математике на тему: "Дискретная математика"

 1 Определите значения истинности следующих составных

высказываний:

а) Лондон расположен на Сене и 2 + 3 =5 .
б) 3 – простое число и 3 – простое число.
в) 1 – простое число или 2 – простое число.
г) Число 2 – четное или белые медведи живут в Африке или 2 < 5 .
д) Если Париж расположен на Сене, то Австралия находится в северном полушарии.
е) Если Австралия находится в северном полушарии, то Париж расположен на Сене.
ж) Если 1 = 0 ,то 2 = 1.
з) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3
и) 5 – четное число тогда и только тогда, когда 12 – четное число.
 

2 Найдите значение истинности высказывания «Если сегодня вторник, то завтра суббота» в каждый из дней недели.

 

3 Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, из которых первые два истинны, а последние два ложны:

а) Если 4 – четное число, то А.
б) Если В, то 4 – нечетное число.
в) Если 4 – четное число, то С.
г) Если D, то 4 – нечетное число
 

4 Следующие составные высказывания расчлените на элементарные и запишите символически, используя буквы для обозначения элементарных высказываний:

а) Идет дождь или кто-то не выключил душ.
б) Если вечером будет туман, то я останусь дома или возьму такси.
в) Если последовательность монотонна и ограничена сверху, то она имеет предел.
г) Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.
д) Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
е) «Заяц» платит штраф за безбилетный проезд тогда и только тогда, когда его поймал контролер и этот контролер настойчив, и «заяц» не забыл дома кошелек.
ж) Если ты холост, то ты рискуешь жениться, а если ты женат, то ты волен развестись, и так как ты холост или женат, то ты всегда можешь изменить свое семейное положение.
 

5. С помощью таблиц истинности определите, какие из следующих формул являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми, опровержимыми:

a) ((A → B) ∧ A) → B

б) ¬A ∧ (A ∨ B) → B

в) (A ∧ B) → (A ∨ B)
 

6. Применяя равносильные преобразования, упростите следующие формулы:

a) ¬(-P ∨ Q) → ((P ∨ Q) → P):

б) (P → Q) ∧ (Q → P) ∧ (P ∧ Q):

в) (P ∧ R) ∨ (P ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ R) ∨ (-P ∧ ¬Q ∧ R):

7. С помощью равносильных преобразований докажите, что следующие формулы являются тождественно ложными:

b) ((X → Y) ∧ (Y → Z)) → ¬(X → Z):

г) (X → Y) ∧ (X → ¬Y) ∧ X.

8. Докажите двумя способами (с помощью таблиц истинности и равносильными преобразованиями), что следующие формулы являются тавтологиями:

a) A → (B → (A ∧ B)):

b) ((A → B) → A) → A:

9. Приведите равносильными преобразованиями каждую из следующих формул к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ):

a) (X∨Y)→(¬X∧Y):

б) (X∨Y)∧(¬X∨Y)
 

10. Приведите равносильными преобразованиями каждую из следующих формул к конъюнктивной нормальной форме (КНФ):

a) (X∧Y)→(¬X∧Y):

б) (X∧Y)∨(¬X∧Y):

в) ¬(X∧Y)∨¬(X→Y).

11. Приведите каждую из следующих формул к СДНФ двумя способами (равносильными преобразованиями и с помощью таблиц истинности):

a) (X∧Y)∨(Y∧Z);
в) X∨(Y∧Z)
 

12. Приведите каждую из следующих формул к СКНФ двумя способами (равносильными преобразованиями и с помощью таблиц истинности):

a) (¬X∨Y)∧(X∨Z):
в) X ∧ Y ∧ Z
 

13. Постройте таблицы значений для следующих булевых функций:

a) f(x,y)=(x→y)∧y→x,
б)  f(x,y)=(x→y)∨y→x,
г) f(x,y,z)=((x→y)∨z)∧(y→z)

 

14. Докажите с помощью таблиц истинности, что булева функция сложение по модулю два обладает следующими свойствами:
a) (x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z);

15. Докажите с помощью равносильных преобразований следующие равенства:
a) x⊕x=0;
б) x⊕0=x;
в) x′=x⊕1;
г) x| y=xy⊕1

16. Докажите с помощью равносильных преобразований, что булева функция штрих Шеффера | обладает следующими свойствами:

a) x∣1=x′;
б) x∣0=1;
в) x∣x′=1.
 

17. Докажите с помощью равносильных преобразований, что булева функция стрелка Пирса ↓ обладает следующими свойствами:

a) x↓1=0;
б) x↓0=x′;
в) x↓x′=0;
 

Задание 18. Проверьте равносильность следующих релейно-контактных схем:
б)
 

Задание 19. Упростите следующие релейно-контактные схемы:

 

Задание20  Постройте простейшую схему, условия работы которой заданы следующей таблицей:

21. Каждый из трех членов комитета голосует «за», нажимая на кнопку. Постройте по возможности более простую схему цепи, через которую ток проходил бы и зажигал бы электрическую лампочку тогда и только тогда, когда не менее двух членов комитета голосуют «за».
 

22. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества:

1. A⊆B и B=C;

2. A⊆B; B⊆C и A∩B=∅;

3. A⊆B; B⊆C и C∖A=A∪B;

4. A⊆B; B⊆C и A∩B=∅;

5. (A∖B)∪(B∖A).
    

Задание 23. Найдите декартово произведение множеств A и B:
A={1;3;5;7;9}, B={a;b;c}.
 

Задание 24. Определите способ задания множества A={Январь, Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}.
Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.
Определите, принадлежат ли элементы данному множеству: среда, Март, 165, *, зима, Август, 3.14.

 

Задание 25. Определить способ задания множества A={x∣x — буква английского алфавита}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ∼, =, t, q, ю, т, −5.
 

Задание 26 . Даны множества:
A={красный, желтый, синий, зеленый}
B={красный, желтый}
C={желтый, синий, черный, оранжевый}
D={коричневый, голубой, розовый}

3.1.
Есть ли среди данных множеств множество, которое является подмножеством другого множества? Если да, то какое?
 

3.2.
Найдите пересечение множеств A и B.
 

3.3.
Найдите пересечение множеств A и D.
 

3.4.
Найдите объединение множеств B и C.
 

3.5.
Найдите разность множеств A и C.

Задание 27. Изобразите на числовой прямой и запишите в виде числовых промежутков множества A∩B, A∪B, Ac, Bc, если:
A={x∈R;x>5}, B={x∈R;−3<x<6}.