Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Вариант 3

Решение задач по теме «Линейная алгебра»

В задачах 1-10 даны матрицы A и B. Найти AB и BA.
  
3.  A = (0  1   -3)     B = (2  1)
           (2   2   1)            (3  0)
                                     ( 1  -3)

В задачах 11-20 дана система линейных уравнений. Требуется решить систему: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления, т.е. используя обратную матрицу

13.  { x+ 2y - z  = 2
       {  2x + 3y  + z = 6
       { 3x + 4y - 2z = 5

В задачах 21-30 дана система линейных уравнений. Требуется найти все решения системы методом Гаусса (не использовать ранг матриц.

23. { x₁ + 2x₂  -x₃ - x₄ = 2
     { 4x₁ + x₂  - 2x₃ + 2x₄ = 1
     { 3x₁ - x₂  - x₃ + 3x₄ = -1
    { 5x₁ + 3x₂  - 3x₃ + x₄ = 3

В задачах 31-40 дана система линейных уравнений. Требуется решить систему методом Гаусса или доказать ее несовместность, решая методом Гаусса

33. { 3x₁ + x₂  + 2x₃ = 4
      {  x₁ - 3x₂ + 4x₃ = 5
      { 4x₁- 2x₂ +6x₃ = 1 

Решение задач по теме «Аналитическая геометрия»

В задачах 41-50 даны координаты точки А и уравнение прямой l. Требуется: 1) составить уравнение прямой l1 , проходящей через точку А параллельно прямой l ; 2) составить уравнение прямой l2 , проходящей через точку А перпендикулярно прямой l ; 3) изобразить на чертеже точку А и прямые l , l1 , l2

43. А(-2; 1), l: 3x+5y-4=0.

В задачах 51-60 даны координаты вершин треугольника ABC. Требуется: 1) найти tg угла и между прямыми AC и AB, используя угловые коэффициенты прямых; 2) составить уравнение высоты CD и найти ее длину; 3) составить уравнение медианы AM; 4) сделать чертёж в декартовой системе координат (высоту и медиану строить по двум точкам).

53. А(1;-4), B(-3;-2), C(3;1).

В задачах 61-70 привести уравнения кривых к каноническому виду. Найти координаты центра и параметры а, в для эллипса и гиперболы; координаты вершины и параметр p для параболы. Сделать чертёж в декартовой системе координат (без переноса осей координат).

63. а) 25 (x+2)² + 4(y-1)²= 100
б) 9(x-3)² - (y+1)²= -9
в) y² - 4y  - 6x -2 = 0

В задачах 71-80 на трех векторах a , b , c , исходящих из общего начала, построена пирамида. Требуется найти: 1) проекцию вектора a на направление вектора c ; 2) площадь грани построенной на векторах a и c (площадь треугольника); 3) объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c ; 5)длину медианы треугольника, построенного на векторах a и c , исходящей из общего начала векторов.

73. a(2; 2; 1) , b(3; 4; 0) , c(1; 2; 1).

В задачах 81-90 задана прямая l и точка А. Требуется составить: а) канонические уравнения прямой l1 , проходящей через точку А параллельно прямой l; б) общее уравнение плоскости , проходящей через точку А перпендикулярно прямой l.

83. (l)  x-4 / 5 = y+3 /2 = z+7 / 1 ; A (3;1;-2)

Решение задач по теме «Введение в математический анализ» В задачах 91-100 требуется вычислить пределы не пользуясь правилом Лопиталя и не используя эквивалентные бесконечно малые.

93. 
a) lim x→ ∞ 4x³ - x⁴ + 5x / 2x⁴+ x³+ 1

б) lim x→ -1 √3x² - 2x - 5 / 5x² + 4x -1

в) lim x→ -2  2 - √ 6+x / x³  - 4x

г)  lim x → 0 1 - cos6x/ tg²4x

д) lim x→ ∞ (3x - 2 / 3x+1)^2x-1

В задачах 101-110 требуется исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва, указать характер разрыва. Сделать схематический чертеж.

103. f(x) = {  3x -2 ; x < 0
                { x-2 ; 0  ⩽ x  ⩽ 1
                { 3x² ; x > 1

В задачах 111-120 требуется найти производные функций

113. а)  y= 9x³cos2x + 3 ^{- x2+2}
б) y = 5/ x⁷  + e ^{1-2x/ 3x+2}
в) y = lnarctg(8x² -1)
г) y= ctg⁶(2x²+1)

В задачах 121-130 требуется найти производные  dy / dxнеявной и параметрической функций.

123. а) 2y +xy² + e^2y2= 2
б)  {  x= arcsin²8t
     {  y= √1 - 4t²

Решение задач по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

В задачах 131-140 требуется вычислить предел функции двумя способами: а) с помощью правила Лопиталя, б) используя эквивалентные бесконечно малые.

133. lim x → 0  arctg7x²/ e ^2x2- 1

В задачах 141 – 150 требуется исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики по плану: 1. Найти область определения функции. 2. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной, т. е. симметричен ли её график относительно оси ординат или начала координат. 3. Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции. 4. Найти интервалы монотонности, т. е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. 5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба. 6. Построить график функции, используя все собранные данные (если их окажется недостаточно, чтобы представить график функции, то найти несколько дополнительных точек, например, точки пересечения с осями координат).

143. а) y = x³ - 3x² - 9x + 5
б)  y = -x/ (x-1)²

В задачах 151 - 160 требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции у=f (х) на отрезке [а,b].

153. f(x) = x-1/ x²+3 ; a = -2; b = 1

В задачах 161 – 170 дана функция y = f(x) и точка x0 требуется составить уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0 (см. образец решения - задача 3).

163.  y= 3³√x² - 7x -6; x0 = -1