Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Контрольная работа №1

В задачах 1-10 дана система линейных уравнений:
Решить систему тремя способами: 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса. Сделать проверку.

1.  { 3x₁ + 2x₂  + x₃ = 5
  {  2x₁ + 3x₂ + x₃ = 1
  { 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 11

В задачах 11-20 даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4 . Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра A1A2 , 2) уравнение прямой A1A2 , 3) уравнение плоскости A2A3A4 , 4) угол между ребром A1A2 и плоскостью A2A3A4 , 5) площадь грани A1A2A3 , 6) объем пирамиды A1A2A3A4 . 7) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины A1 на грань A2A3A4 . Сделать чертеж.

11. А1 (4,2,5), А2(0,7,2), А3(0,2,7), А4(1,5,0).

В номерах 21-30 решить задачи на прямую линию на плоскости.

 21. Даны вершины треугольника ABC : A(1,-1), B(-2,1), C(3,5) . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A, на медиану, проведенную из вершины B.

В номерах 21-30 решить задачи на прямую линию на плоскости.

31. Составить уравнение эллипса, малая ось которого равна 10 и эксцентриситет равен √3/2 . Построить кривую.

Контрольная работа №2

В задачах 41-50 найти предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.


41. a) lim x → ∞ 1 - 2x / 3x - 2

б) lim x → 0 √ 1+x  - √ 1- x / 3x 

в)  lim x → 0 √ 1 -cosx  5x² 

г)  lim x → ∞ (x+3 / x - 2)^x

В задачах 51-60 задана функция f (x) и два значения аргумента 1 x и 2 x . 1). Установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из данных значений аргумента. 2). В случае разрыва, определить какого рода разрыв. 3). Сделать схематический чертеж.

51.  f(x) = 9 ^1/2-x;x1 = 0; x2 = 2

В задачах 61-70 задана функция f (x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

61. f(x) = {  x+4 ; x ⩽ -1
               { x²+ 2 ; -1 < x ⩽ 1
               {2x ; x > 1

В задачах 71-80 даны комплексные числа z = a + bi . Построить на комплексной плоскости векторы, соответствующие числам z. Найти |z| и arg z. Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме

71. z = 3 -i

Контрольная работа №3

В задачах 1-10 даны функции y = f (x). Найти производные данных функций dy / dx

1. а)  y = 6sin 5x + (x ³− 4x) ²,
б) y = tg ³x ⋅ arctgx ,
в) y = 3x + 6 /√ 3 - 4x - 5x²
г) y = x ^lnx

В задачах 11-20 найти производные первого порядка для функции, а) заданной параметрически

{  x = x(t)
 {y = y(t)

и б) неявно F(x, y) = 0.

11. a) {  x = cos2t
         {y = t - sint

б)  tg y/x - 5x = 0

В задачах 21-30 задана функция y = f (x). Исследовать методами дифференциального исчисления заданную функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

21. y = 4x / 4+ x²

В задачах 31 - 40 задана функция z = f (x, y). Доказать тождество, вычислив предварительно частные производные, входящие в тождество.

31. Дана функция z = x²+ y² / x-y Доказать, что qz/ qx + qz / qy = 2 (x+y)/ x- y

40. Дана функция z= x²/ y³ . Доказать, что x * qz / qx+ y* qz / qy= - x²/ y³. В задачах 41-50 найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области D. Сделать чертеж области D.

41. z = x²+ y² - 9 xy+ 27 , D : { x ≥ ,0 y ≥ ,0 x + y ≤ 2 }.

Контрольная работа №4

В задачах 51-60 вычислить неопределенные интегралы. В пункте а) результат проверить дифференцированием

51. а) ∫ xdx / x²+ 16 ,
б) ∫ ( 3x + 1) ⋅sin x dx 
в) ∫ dx/ 1+√ x +1 ,
г) ∫ dx / ( x− 1)² ⋅(x+5 )

В задачах 61-70 вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница.

61. ∫  ^{π /4}_{π /6} cosxsin⁴xdx

В номерах 71-80 решить задачи на геометрические приложения определенного интеграла. Сделать чертеж.

71. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  y = 3x² +1 и прямой y = 3x + 7 .

В задачах 81-90 вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ ^b _a f (x)dx по формуле трапеций, разбив промежуток интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

81. ∫  ⁸ _-2 √x ³+ 11 dx .

В задачах 91-100 вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

91. ∫ ³ ₀ dx / ³√(x-3)²