Теория принятия решений

СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc81268360 \h 3ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ PAGEREF _Toc81268361 \h 41.1. Сущность понятия «принятие решения» PAGEREF _Toc81268362 \h 41.2 Краткая характеристика задач принятия решений PAGEREF _Toc81268363 \h 5ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ PAGEREF _Toc81268364 \h 82.1 Принятие решений в условиях неопределенности PAGEREF _Toc81268365 \h 82.1.1 Принцип гарантированного результата Вальда PAGEREF _Toc81268366 \h 102.1.2 Критерий минимаксного сожаления Сэвиджа PAGEREF _Toc81268367 \h 112.1.3 Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица PAGEREF _Toc81268368 \h 132.1.4 Применение смешанных стратегий PAGEREF _Toc81268369 \h 132.2 Последовательное принятие решений, дерево решений PAGEREF _Toc81268370 \h 16ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc81268371 \h 19СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ PAGEREF _Toc81268372 \h 21

ВВЕДЕНИЕАктуальность темы. Стремительное развитие информационных технологий, в частности, прогресс в методах сбора, хранения и обработки данных позволил многим организациям собирать огромные массивы данных, которые необходимо анализировать. Объемы этих данных настолько велики, что возможностей экспертов уже не хватает, что породило спрос на методы автоматического исследования (анализа) данных, который с каждым годом постоянно увеличивается.
В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.
Теория игр – это раздел теории исследования операций, предметом которого является анализ принятия решений в условиях конфликта. Возникнув из задач классической теории вероятностей, теория игр превратилась в самостоятельный раздел в 1945–1955 годах. Таким образом, теория игр – один из новейших разделов математики. Достаточно полное изложение идей и методов теории игр впервые появилось в 1944 году в труде «Теория игр и экономическое поведение» математика Дж. фон Неймана и экономиста О. Моргенштерна. Первые приложения теория игр нашла в решении некоторых возникших во время II мировой войны военных проблем специального характера.
Цель курсовой работы заключается в закреплении, углублении и систематизации полученных в процессе изучения дисциплины «Теория принятия решений», усвоении практических навыков и приемов математических расчетов на тему: «Типы задач принятия решений и подходы к их решению».
Задачами выполнения курсовой работы являются:
теоретическое исследование проблемы принятия решений;
использование математических методов исследования по принятию решений.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ1.1. Сущность понятия «принятие решения»Принятие решений непосредственно связано с целенаправленной деятельностью человека. В личной жизни каждый человек принимает решения о выборе профессии, устройстве семьи, проведении отдыха, распределении бюджета и т. п. Формирование и выбор этих решений, как правило, производятся эмпирически: путем логического мышления и интуиции. В то же время человек готовит и принимает различные решения в рамках своей служебной деятельности. Такая деятельность характеризует труд руководителя, который как лично принимает решения, так и организует работу сотрудников по подготовке и реализации тех или иных решений. В основу принятия решений руководителем должны быть положены научные основы и методы.
В теории принятия решений широко используется термин «лицо, принимающее решение» – ЛПР [ REF _Ref81268416 \r \h 13, c. 15-20]. Это понятие является собирательным. Это может быть одно лицо – индивидуальное ЛПР или группа лиц, вырабатывающих коллективное решение, – групповое ЛПР. Ошибки в принятии решений могут привести к большим негативным последствиям, т. к. решения касается не только одной личности, а чаще всего относится к подразделению или организации в целом, поэтому закономерным является требование повышения эффективности управленческих решений на основе научного подхода к их формированию и выбору. Повышение качества решений, принимаемых руководителями и сотрудниками, является важнейшим резервом улучшения всей управленческой деятельности. Понятие «принятие решения» трактуют в узком и широком смысле.
В узком смысле – это заключительный акт деятельности по выявлению и анализу различных вариантов, направленный на выбор и утверждение лучшего варианта решения. Также решение можно трактовать как результата выбора, тогда оно представляет собой предписание к действию.
В широком смысле принятие решения – это процесс, протекающий во времени, осуществляемый в несколько этапов.
Принятие решения – это выбор одного курса действия, одной альтернативы из ряда имеющихся. Если нет альтернатив, то нет выбора и, следовательно, нет и решения.
Управленческое решение представляет собой продукт управленческого труда, а его принятие – процесс, ведущий к появлению этого продукта. Принятие решений в организации характеризуется как: сознательная и целенаправленная деятельность, осуществляемая человеком; поведение, основанное на фактах и ценностных ориентациях; процесс взаимодействия членов организации; выбор альтернатив в рамках социального и политического состояния организационной среды; часть общего процесса управления; неизбежная часть ежедневной работы менеджера. Управленческое решение (УР) п. с. творческий акт субъекта управления, определяющий программу деятельности коллектива по эффективному разрешению назревшей проблемы на основе знания объективных законов функционирования управляемой системы и анализа информации об ее состоянии. Т.е. УР – это выбор, который должен сделать руководитель, чтобы выполнить обязанности, обусловленные занимаемой им должностью [ REF _Ref81268442 \r \h 9].
Цель УР – обеспечение движения к поставленным перед организацией задачам.
Под технологией разработки решений будем понимать процесс преобразования имеющихся у менеджера сведений, данных, информации о возникшей перед ним 5 проблеме или поставленной ему задаче в точно сформулированное решение, в котором будет подробно указано: кому, что, когда, где и с помощью чего надлежит сделать.
Объектом исследования разработки управленческих решений (РУР) является ситуация принятия решений или так называемая проблемная ситуация.
Предметом исследования выступают общие закономерности РУР в проблемных ситуациях, а также закономерности, присущие процессу моделирования основных элементов проблемной ситуации.
1.2 Краткая характеристика задач принятия решенийКак отмечалось выше, в зависимости от степени определенности постановки проблем и условий их решения задачи принятия решений можно классифицировать на три группы, что предопределяет использование тех или иных конкретных методов их решения.
1. Детерминированные задачи (принятие решений в условиях определенности). Это задачи выбора лучшего варианта решения в ситуациях, когда каждая стратегия (вариант действий) приводит к единственному результату (например, каждый из рассматриваемых вариантов плана приводит к получению требуемого результата со 100 %-ной вероятностью).
2. Вероятностные задачи (задачи в условиях вероятностной определенности) возникают в ситуациях, когда в результате каждого действия могут быть получены различные результаты, вероятности достижения которых известны или могут быть оценены.
3. Задачи в условиях неопределенности. Задачи, возникающие в ситуациях, когда неизвестны вероятности реализации стратегий из числа рассматриваемых (частичная неопределенность) или вообще неизвестен набор возможных стратегий (полная неопределенность). Такая ситуация характерна для практики принятия решений, когда рассматриваются не все возможные варианты решения возникшей проблемы, а только ограниченное число вариантов, которые удалось выявить.
Рассмотрим простейшую ситуацию выбора, представленную в таблице 1, где элементы матрицы определяют полезность (lfv) результатов (О,-), полученных с помощью стратегии С,.
Такая таблица называется платежной (игровой) матрицей, или матрицей решений. Это название пришло из теории игр, где платежной матрицей называется матрица, показывающая платеж одной стороны другой при условии, что первая сторона выбрала стратегию Q, а вторая О у.
Таблица 1 – Простейшая платежная матрица [ REF _Ref81268448 \r \h 12]
О1О2С11 5
С22 3
Платеж по каждой паре С — О, есть полезность разности между эффектом от результата О, и затратами на реализацию стратегии С.
Различные платежи в столбцах указывают на то, что стратегии достижения одного и того же результата (цели) связаны с различными затратами.
Для ряда задач платежную матрицу можно интерпретировать и по иному. Имеется множество вариантов действий С„ направленных на достижение определенной цели (совокупности целей), и несколько вариантов условий внешней среды О). Целесообразность выбора того или иного варианта зависит от условий внешней среды, имеющих место в момент реализации выбранной стратегии. Каждой стратегии, выполненной при некотором варианте внешней среды, соответствует результат, записанный в соответствующей клеточке платежной матрицы.
В том случае, когда представляется возможным в результате проведения некоторых расчетов, например технико-экономических, определить эффективность той или иной стратегии в различных условиях внешней среды, в клетках матрицы могут записываться значения конкретных реальных величин, а не полезностей.
Рассмотрим пример построения такой матрицы. Предположим, что решается вопрос о выпуске швейных машин заводом. Основной целью планирующего органа является получение наибольшей прибыли.
Расчетная прибыль представляет собой разность (формула 1):
, (1)
где Вр— стоимость реализованной продукции (в отпускных ценах);
В3— полные затраты предприятия, включающие себестоимость продукции и другие платежи.
Допустим, что отпускная цена одной швейной машины 100 у.е. Полные затраты в расчете на производство одной машины для простоты примера будем считать не зависящими от объема выпуска продукции и равными 50 у. е. Таким образом, от каждой реализованной машины завод получает 50 у. е. прибыли.
Планируя объем выпуска швейных машин, нужно не только исходить из производственных возможностей, но и учитывать потребности населения в этой продукции. Возможные результаты осуществления различных вариантов плана в зависимости от платежеспособного спроса населения (условия внешней среды) приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Ожидаемая прибыль при осуществлении различных вариантов плана
Выпуска [ REF _Ref81268448 \r \h 12]
Условия внешней среды
О1 = 100 02 = 200 03 = 300 04 = 400
С1 = 100 5000 5000 5000 5000
С2 = 200 0 10000 10000 10000
СЗ = 300 -5000 5000 15000 15000
С4 = 400 -10000 0 10000 20000
Вариантам планируемого количества выпускаемых швейных машин (тыс. шт.) соответствуют строки таблицы (стратегии — С,), а размерам платежеспособного спроса населения (тыс. шт.) — столбцы (разные условия внешней среды — О,). Числа, стоящие в каждой клетке таблицы, показывают ожидаемую прибыль (знак минус означает убытки).Детерминированные и неопределенные задачи можно считать предельными случаями (например, полное знание и полное незнание результатов) вероятностных задач. В силу этого рассмотрим сначала вероятностные задачи, после чего перейдем к рассмотрению детерминированных и неопределенных задач.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ2.1 Принятие решений в условиях неопределенностиПринятие решений в условиях разумного противодействия является объектом исследования теории игр. Рассмотрим принципы выбора решений при наличии недостаточной осведомленности относительно условий, в которых осуществляется выбор. Такие ситуации принято называть «играми с природой».
Рассмотрим игру с природой. У игрока, лица, принимающего решение (ЛПР), имеется m возможных стратегий A1 , A2 ,...,Am . Состояние природы (окружения) может принимать n различных значений обозначим их P1, P2, Pn , ,..., n. Выигрыш игрока при выборе им i -й стратегии Ai и при состоянии природы Pj обозначим через c ij.
Матрицу выигрышей игрока обозначим через С, C (c ij). Особенности игр с природой рассмотрим на следующем примере. Пусть сельскохозяйственное предприятие «Росток» располагает 1000 га посевных площадей, на которых можно выращивать любую из трех культур – возможных стратегиях игрока, A1 , A2 , A3 . При наилучших агротехнических мероприятиях урожаи культур зависят, главным образом, от погодных условий (состояний природы).
Будем считать для простоты, что возможны погодные условия трех типов: P1 сухое лето, P2 нормальное лето и P3 влажное лето, а также предположим, что цены на продукцию на протяжении рассматриваемого периода будут оставаться неизменными. Здесь под ij c будем понимать доход (выигрыш) в миллионах рублей при выращивании культуры Ai при состоянии природы Pj на всех имеющихся площадях. Данные по доходам в рублях приведены в следующей таблице 3 [ REF _Ref81268474 \r \h 18].
Р1Р2Р3
А140 10 30
А230 50 20
А3 0 60 80
Какую культуру лучше всего выращивать, чтобы получить максимально возможный доход?
Основная сложность состоит в незнании того, какое именно состояние природы Pj будет иметь место. Очевидно, что если бы игрок знал будущее состояние природы, он выбрал бы ту стратегию Ai , при которой его выигрыш (доход) был бы максимален. В условиях, когда недостаточно оснований выделить какие-либо состояния природы (окружения) как более вероятные, предлагается, в частности, альтернативы A1 , …, Am упорядочивать так, как будто все состояния природы равновероятны. Этот подход представляет принятие решения по критерию Лапласа. Этот критерий иногда называется также критерием (принципом) недостаточного основания. В нашем примере критерий Лапласа, как нетрудно убедиться, предписывает на всех полях выращивать культуру A3 . Однако, какой при этом будет доход неизвестно. Это зависит от состояния погодных условий. Если случится сухое лето, то не будет получено никакого дохода, если будет нормальное лето, то будет получено в качестве дохода 60 млн. рублей, а если будет влажное лето, то доход составит 80 млн. рублей. Однако, приписывание действительности свойств, которых на самом деле нет, то есть, не зная истинных вероятностей, полагать их равными каким-либо значениям, представляет, очевидно, серьезную опасность. Иногда для определения вероятностей состояния природы предлагается использовать статистику прошлых состояний. Пусть, например, из 100 наблюдений за состоянием природы 63 раза имело место состояние P1 , 24 раза было состояние P2 и 13 раз было состояние P3 . Тогда относительные частоты состояний природы составляют (0.63, 0.24, 0.13). Использование их как вероятностей состояний природы является очень серьезной ошибкой, поскольку относительные частоты не являются вероятностями. Например, при бросании монеты, вероятность выпадения в отдельном эксперименте орла (или решки) равна 0.5 и остается неизменной, а относительные частоты могут изменяться в довольно широких пределах. 8 Рассмотрим еще случай, когда известны истинные вероятности состояний природы. Пусть в рассматриваемом примере игроку известно, что вероятность состояния P1 равна 0.5, вероятность состояния P2 равна 0.2 и вероятность состояния P3 равна 0.3. Тогда можно вычислить математическое ожидание выигрыша игрока при применении каждой его стратегии.
Итак, имеем при применении игроком стратегии A1 ожидаемый выигрыш (доход):
0.540 + 0.210 + 0.330 = 31 млн. рублей;
при применении стратегии A2:
0.530 + 0.250 + 0.320 = 31 млн. рублей;
и при применении стратегии A3: 0.50 + 0.260 + 0.380 = 36 млн. рублей.
Таким образом, математическое ожидание выигрыша максимально при применении стратегии A3 , то есть когда все поля засеиваются культурой A3 . Однако мы видим, что тогда с вероятностью 0.5 никакого урожая, а, следовательно, и никакого дохода мы не получим. С практической точки зрения такой результат неприемлем. Какую же культуру лучше всего выращивать, чтобы получить максимально возможный доход? Опишем несколько возможных подходов, или, как говорят, несколько «критериев» для выбора решения.
2.1.1 Принцип гарантированного результата ВальдаРассмотрим конечную парную игру с нулевой суммой (антагонистическая игру двух лиц). Стратегии игроков Ui, Vj и соответствующие всем ситуациям выигрыши W- представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Матричная игра [ REF _Ref81268486 \r \h 3]
Данный рисунок представляет собой матрицу, поэтому можно сказать, что наша игра приведена к матричной форме G (4 х 5).
Предположим, что сторона А ищет наилучший способ своего поведения (оптимальную стратегию) в конфликте со стороной В. Если большие значения показателя эффективности (функции выигрыша) для нее предпочтительнее, чем меньшие, то несомненно, что ее внимание привлечет стратегия U3. Однако противник может воспользоваться стратегией V3, и тогда выигрыш стороны А окажется минимальным. Аналогичные ситуации возможны и в случае использования игроком А других стратегий. Вместе с тем минимальные значения выигрыша для различных стратегий игрока А различны между собой. В этой связи для него имеет смысл выбрать такую стратегию для которой минимальный выигрыш будет наибольшим на множестве остальных стратегий.
Подобный подход к решению рассматриваемой задачи называют принципом гарантированного результата. Выбранную с его использованием стратегию называют максиминной, а полученный в результате ее применения выигрыш называют максиминным, или нижней ценой игры. С учетом изложенного, оптимальный исход игры можно записать так (формула 2):
, (2)
Очевидно, что в рассматриваемом примере Uom: max (2,1; 1,3) соответствует стратегии U4. Аналогичные рассуждения можно провести для стороны В и прийти к выводу о том, что рациональной стратегией для игрока В является минимаксная стратегия V3.
Рассмотренный принцип максимина в приложениях к играм с природой обычно называется максиминным критерием Вальда. Согласно этому критерию игра с природой ведется как игра с разумным, причем агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать игроку (ЛПР) достигнуть успеха. Оптимальной считается максиминная стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае не меньший, чем . Этот критерий олицетворяет «позицию крайнего пессимизма». Очевидно такой подход перестраховочный, естественный для того, кто очень боится проиграть [ REF _Ref81268495 \r \h 1].
Нельзя ли улучшить этот, учитывая, что природа ведет себя пассивно. Природа не является противником, она не помогает и не мешает (целенаправленно), мы безразличны ей. Может быть мы слишком перестраховываемся.
2.1.2 Критерий минимаксного сожаления СэвиджаНа практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 г. и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой [ REF _Ref81268448 \r \h 12].
По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.
При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые, по существу, будут являться следствием ошибок выбора.
Для решения задачи строится так называемая матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок в результате выбора неоптимального варианта решения.
Риском игрока г» при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы у называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях, и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию /.
Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы у, он выбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце — maxjOy, и тогда риск (формула 3).
, (3)
Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска (формула 4):
, (4)
Рассмотрим применение критерия Сэвиджа для данных таблице 3.
Строим матрицу «рисков». Для этого находим максимальные значения для каждого столбца таблице 3. Они равны 1.1; 10 и 1.2 соответственно, и находим значения рисков по формуле 5.
, (5)
Дополняем эту матрицу столбцом наибольших разностей. Выбираем те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. В результате получим таблице 3.
Таблица 3 – Матрица рисков
X В
*1 *2 *3 airmax,, я,.,0,1 0 0,2 0,2 0,2
*2 0 8,9 0 8,9 Критерий Сэвиджа рекомендует выбрать стратегию XvКритерий Сэвиджа тоже крайне пессимистический, и в смысле «пессимизма» он сходен с критерием Вальда.
2.1.3 Критерий пессимизма-оптимизма ГурвицаПри выборе решения он рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом, т.е. критерий выбирает альтернативу с максимальным средним результатом (при этом действует негласное предположение, что каждое из возможных состояний среды может наступить с равной вероятностью). Формально данный критерий выглядит так (формула 6):
(6)
где k – коэффициент пессимизма, который принадлежит промежутку от 0 до 1 в зависимости от того, как принимающий решение оценивает ситуацию. Если он подходит к ней оптимистически, то эта величина должна быть больше 0,5. При пессимистической оценке он должен взять упомянутую величину меньше 0,5.
При k = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при k = 1 – с критерием Вальда.
Рассчитаем критерий Гурвица для условий нашего примера, придав упомянутому параметру значение на уровне 0,6:
H, = 16 × 0,6 + (-6) × 0,4 = 7,2;
Н2= 12×0,6 + 2×0,4 =8;
Н3 = 6 × 0,6 + 0 × 0,4 = 3,6.
По максимуму значения данного критерия надо принять решение о переходе к массовому выпуску новой продукции через год.
В нашем примере стратегия А2 фигурирует в качестве оптимальной по трем критериям выбора из четырех испытанных, степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, чтобы рекомендовать эту стратегию к практическому применению. Действительно, при таком решении не придется особенно сожалеть об упущенной прибыли и не придется ожидать больших убытков, т.е. сразу минимизируются и сожаления об упущенной прибыли, и возможные убытки.
2.1.4 Применение смешанных стратегийРассмотрим теперь, что может дать применение смешанных стратегий. Напомним, что смешанная стратегия – это вектор вероятностей выбора чистых стратегий. Как известно, согласно теореме Джона фон Неймана о максимине в матричных (антагонистических) играх всегда существует ситуация равновесия, и гарантирующие смешанные стратегии игроков являются оптимальными согласно принципу гарантированного результата (критерия Вальда).
Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры [ REF _Ref81268486 \r \h 3].
Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:
игра без седловой точки;
игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
игра многократно повторяется в сходных условиях;
при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
допускается осреднение результатов игр.
Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.
Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А1, А2, ..., Ат с соответствующими вероятностями р1, р2, ..., рт.
где .Для игрока 2
где .qj -- вероятность применения чистой стратегии Bj.
В случае когда рi = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию
(7)
Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:
(8)
где и - векторы;
pi и qi - компоненты векторов.
Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть
(9)
Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие
(10)
Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и , при которых будет выполнено равенство
(11)
Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:
- оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
- оптимальная смешанная стратегия игрока 2;
- цена игры.
Смешанные стратегии будут оптимальными ( и ), если образуют седловую точку для функции т.е.
(12)
Существует основная теорема математических игр.
Для матричной игры с любой матрицей А величины
и (13)
существуют и равны между собой.
Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.
Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии.
2.2 Последовательное принятие решений, дерево решенийДо сих пор рассматривались ситуации выбора между вполне определенными вариантами решения – принятия решений в условиях определенности. Рассмотрим ситуации, когда каждый из вариантов решения может быть реализован с известной вероятностью (принятия решения в условиях риска) и когда эти вероятности неизвестны (принятия решения в условиях неопределенности). В этих ситуациях прибыль или затраты, связанные с каждым альтернативным решением, зависят от заданной или прогнозируемой вероятности его реализации и являются случайными величинами. В качестве критерия принятия решения, как правило, используется ожидаемое значение стоимости.
Построим "дерево решений" и таблицы исходов.
Пример. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15 млн. руб. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банку известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Давать заем или нет? Для решения подобных задач рекомендуется строить так называемое "дерево решений". Построим его в виде таблицы 4.
Таблица 4 – Дерево решений
Альтернативы Действия Вероятности Возврат,млн.руб. Ожидаемый доход,.чин. руб.
А Дать заем Вернули: 0.96 15x1.15= 17.25 17.25x0.96 + 0x0.04 -15 =16.56- 15= 1.56
Не вернули: 0.04 0 0- 15 = -15
В Инвестировать под 9% 1.00 15x1.09= 16.35 16.35- 15 = 135
Поскольку ожидаемый доход больше для альтернативы А, принимается решение выдать заем. Последовательность принятия решения выглядит так: 1. Определить все возможные в данной ситуации варианты решения и для каждого из них определить все его возможные исходы (построить "дерево решений"). 2. Оценить качество исходов и выбрать оптимальный вариант решения. Замечания. 1. Таким образом будет выбран более вероятный вариант решения, но в реальности ситуация может быть и обратной. 2. Выбор решения зависит от вероятностей исходов, поэтому важно знать, насколько оно чувствительно к изменению значений вероятностей (насколько можно полагаться на это решение). Проведем анализ чувствительности рассмотренного примера. Ожидаемые чистые доходы для альтернатив А и В довольно близки: 15.6 и 1.35 млн. руб. Выбор решения зависит от значения вероятности возврата займа. Обозначим вероятность "невозврата" займа через р и приравняем ожидаемые доходы для вариантов А и B: 17.25¥ (1– p) + 0¥p – 15 = 1.35, откуда p = 0.052.
Близость полученного результата к исходному p = 0.04 указывает, что выбор решения очень чувствителен к вероятности "невозврата" и даже малая ошибка может привести к выбору другого варианта решения. "Дерево решений" – удобный инструмент для принятия решений в условиях риска, однако решать подобные задачи можно и другими способами. Пример. Продавец газет закупает их оптом по 5 руб. и перепродает по 10 руб., а если у него остается нераспроданный товар, он может сдать его назад по 2 руб. Сколько ему нужно закупать газет, чтобы получить максимальный доход? Составим таблицу возможных доходов продавца в руб. (таблица 5).
Таблица 5 – Возможные доходы продавца
Закупка, шт/ спрос, шт. 0 10 20 30 40 50
0 0 0 0 0 0 0
10 -30 50 50 50 50 50
20 -60 20 100 100 100 100
30 -90 -10 70 150 150 150
40 -120 -40 40 120 200 200
50 -150 -70 10 90 170 250
Статистика спроса на газеты (анализ проводился в течение 100 дней) представлена в таблице 6.
Таблица 6 – Статистика спроса на газеты
Объем спроса на газеты 0 10 20 30 40 50
Число дней, когда имел место такой спрос 3 17 37 29 12 2
Таблица 7 – Расчет ожидаемой прибыли:
Закупка, шт. Ожидаемая прибыль, руб.
0 = 0
10 (-30) 0,03 + 50-0,17 + 50-0,37 + 50Ю.29 + 50 0,12 + 50 0,02 = 47.6
20 (-60)0,03 + 20 0,17+ 100 0,37+ 100 0,29 +100 0,12 + 100 0,02 = 81.6
30 (-90) 0,03 + (-10) -0,17 + 70-0,37 + 150 0,29 + 150 0.12 + 150 0,02 - 86,0
40 (-120) 0,03 + (-40) 0,17+ 40 0,37 + 120 0,29 + 200 0,12 + 200 0,02 = 67.2
50 (-150) -0.03 + (-70) 0.17 + 10 0.37+ 90 0.29+170 0.12 + 250 0.02 = 38.8
На основании полученных данных строится «дерево решений», структура которого содержит узлы, представляющие собой ключевые события (точки принятия решений), и ветви, соединяющие узлы, - работы по реализации проекта.
Следует отметить, что очень часто по различным причинам, в значительной мере в связи с отсутствием достоверной информации, использование статистического метода или метода «дерева решений» не представляется возможным.
В таких случаях применяются методы, использующие результаты опыта и интуицию, то есть эвристические методы или методы экспертных оценок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕИтак, мы рассмотрели различные соображения и подходы к решению игр с природой. Во всех рассмотренных примерах игрок (ЛПР) оперирует чистыми стратегиями.
В работе были проанализированы задачи:
1. Принятие решений в условиях неопределенности. Прежде всего, отметим принципиальное различие между стохастическими факторами, приводящими к принятию решения в условиях рыска, и неопределенными факторами, приводящими к принятию решения в условиях неопределенности. И те, и другие приводят к разбросу возможных исходов результатов управления. Но стохастические факторы полностью описываются известной стохастической информацией, эта информация и позволяет выбрать лучшее в среднем решение. Применительно к неопределенным факторам подобная информация отсутствует.
В общем случае неопределенность может быть вызвана либо противодействием разумного противника, либо недостаточной осведомленностью об условиях, в которых осуществляется выбор решения. Принятие решений в условиях разумного противодействия является объектом исследования теории игр.
При принятии решений в условиях неопределенности, когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, может быть использованы ряд критериев, выбор каждого из которых, наряду с характером решаемой задачи, поставленных целевых установок и ограничений, зависит также от склонности к риску лиц, принимающих решения.К числу классических критериев, которые используются при принятии решений в условиях неопределенности, можно отнести:
- принцип недостаточного обоснования Лапласа;
- максиминный критерий Вальда;
- минимаксный критерий Сэвиджа;
- критерий обобщенного максимина (пессимизма - оптимизма) Гурвица.
2. Ситуации, когда каждый из вариантов решения может быть реализован с известной вероятностью (принятия решения в условиях риска) и когда эти вероятности неизвестны (принятия решения в условиях неопределенности). Дерево решений. Элементы неопределенности, присущие функционированию и развитию многих экономических процессов, обуславливают появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения).
Это обстоятельство усложняет процесс принятия решений в условиях неопределенности и предопределяет необходимость использования соответствующих методов, которые дают возможность по заданным целям и ограничениям получить приемлемые для практики (оптимальные или рациональные) управленческие решения.
Как известно, в зависимости от степени неопределенности различают ситуации риска, которые характеризуются тем, что в результате каждого действия могут быть получены различные результаты, вероятность которых известны или может быть оценена, т.е. каждой альтернативе соответствует свое распределение вероятностей на множестве исходов.
На методы принятия решений в условиях риска накладывает существенный отпечаток многообразие критериев и показателей, посредством которых оценивается уровень риска.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВАндрианова А.А., Хабибуллин Р.Ф. Принятие решений в условиях неопределенности / А.А. Андрианова, Р.Ф. Хабибуллин. – Казань: Казан. ун-т, 2015. – 25 с.Балыбин, В.М. Принятие проектных решений: учебное пособие / В.М. Балыбин, В.С. Лунев, Д.Ю. Муромцев, Л.П. Орлова. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. – 80 с.
Бережная, Е. В. Методы и модели принятия управленческих решений: Учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 384 сГефан Г.Д. Элементы теории игр : учеб. пособие для студентов заочного отделения. – Иркутск : ИрГУПС, 2011. – 56 с.
Горбунов, В.М. Теория принятия решений: учебное пособие / В.М. Горбунов. – Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – 67 с.
Гуров, С.В. Теория системного анализа и принятия решений: учебное пособие / С.В. Гуров. – СПб: Изд-во СПбГЛТУ, 2008. – 144 с.
Демидова, Л.А. Принятие решений в условиях неопределенности / Л.А. Демидова, В.В. Кираковский, А.Н. Пылькин. – М.: Горячая линия-Телеком, 2012. – 288 с.
Дорогов В.Г., Теплова Я.О. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: учебное пособие. – М. ИД «Форум»: ИНФРА-М, 2011. 240 с.
Козлов, В.Н. Системный анализ и принятие решений: учебное пособие / В.Н. Козлов. – СПб: Изд-во СПБГПУ, 2009. – 233 с.
Кузнецова, Н. В. Методы принятия управленческих решений: учебное пособие/ Н.В.Кузнецова - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 222 с.
Кулик С.Д. Элементы теории принятия решений (критерии и задачи) Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. 188 с.
Лисьев, Г.А. Технологии поддержки принятия решений / Г.А. Лисьев, И.В. Попова. – М.: Флинта, 2011. – 133 с.
Методы принятия управленческих решений: краткий курс лекций для обучающихся направлений подготовки: 38.03.02 Менеджмент / Сост.: Д.А. Воробьева // ФГБОУ ВО «Саратовский ГАУ». – Саратов, 2017. – 68 с.Петровский А.Б. Теория принятия решений: учебник для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. 400 с.
Семериков, А.В. Теория принятия решений. Лабораторные работы: метод. указания / А.В. Семериков, Е.С. Буханец. – Ухта: Изд-во УГТУ, 2006. – 48 с.
Сендеров, В.Л. Методы принятия управленческих решений: учеб. пособие / В.Л. Сендеров, Т.И. Юрченко, Ю.В. Воронцова, Е.Ю. Бровцина. — М. : ИНФРА-М, 2016. — 227 с.
Солодовников, И.В. Теория принятия решений: учебное пособие / И.В. Солодовников, О.В. Рогозин, О.Б. Пащенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2008. – 54 с.
Сорина, Г.В. Основы принятия решений: учеб. пособие. – М.: Экономистъ, 2006. 188 с.
Строева, Е. В. Разработка управленческих решений: Учебное пособие / Е.В. Строева, Е.В. Лаврова. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 128 с.
Таха, Х. Введение в исследование операций / Х. Таха. – М.: Вильямс, 2005. – 912 с.
Федунец, Н.И. Теория принятия решений / Н.И. Федунец, В.В. Куприянов. – М.: Горная книга, 2005. – 218 с.
Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. – М.: Аудит, 2000. 431 с.
Балдин, К.В. Математическое программирование: учебник [Электронный ресурс] / К.В. Балдин, Н.А. Брызгалов, А.В. Рукосуев. – М.: Дашков и К, 2012. 219 с. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=l 12201
Лисьев, Г. А. Технологии поддержки принятия решений. Учебное пособие [Электронный ресурс] / Лисьев, Г. А., Попова И. В. – М.: Флинта, 2011. 133 с. URL: http://biblioclub.ru/index.php ?page=book&id=103806&sr=l
Мендель, А.В. Модели принятия решений: учебное пособие [Электронный ресурс] / А. В. Мендель. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. 465 с. URL: http://biblioclub.ru/index.php ?page=book&id=l 15173
Федунец, Н. И. Теория принятия решений [Электронный ресурс] : учеб. пособие для вузов / Н. И. Федунец, В. В. Куприянов. – М.: Моск. гос. горный ун-т, 2005. 218 с. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=83654