Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления (САУ).

Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc42096817 \h 21.Описание работы системы автоматического регулирования PAGEREF _Toc42096818 \h 42.Составление функциональной и структурной схем PAGEREF _Toc42096819 \h 43.Описание принципа регулирования САР PAGEREF _Toc42096820 \h 94.Получение передаточных функций системы PAGEREF _Toc42096821 \h 95.Получение дифференциального уравнение САР PAGEREF _Toc42096822 \h 116.Определение устойчивости САР по корням характеристического уравнения PAGEREF _Toc42096823 \h 129.Определение критического коэффициента усиления по критерию Гурвица PAGEREF _Toc42096824 \h 1610.Построение области устойчивости в плоскости параметра Крс PAGEREF _Toc42096825 \h 1711.Построение переходной характеристики системы PAGEREF _Toc42096826 \h 1812.Определение полной установившейся ошибки системы PAGEREF _Toc42096827 \h 20Выводы PAGEREF _Toc42096828 \h 22Список литературы PAGEREF _Toc42096829 \h 23

ВведениеСистемы автоматического регулирования (САР) применяются для регулирования отдельных параметров (температура, давление, уровень, расход и т.д.) в объекте управления. В современных системах автоматического управления (САУ) системы автоматического регулирования являются подсистемами САУ и их применяют для регулирования различных параметров при управлении объектом или процессом. Принцип действия всякой системы автоматического регулирования (САР) заключается в том, чтобы обнаруживать отклонения регулируемых величин, характеризующих работу объекта или протекание процесса от требуемого режима и при этом воздействовать на объект или процесс так, чтобы устранять эти отклонения..
Целью курсовой работы является анализ линейной непрерывной системы автоматического управления (САУ). Рассматриваемая САУ является система, управляющая частотой вращения двигателя постоянного тока.
В качестве исходных данных приняты параметры элементов и устройств, входящих в данную систему.
Основными задачами курсовой работы являются:
- составление по принципиальной схеме функциональной схемы;
- составление математической модели в форме структурной схемы;
- исследование системы на устойчивость необходимыми критериями;
- построение переходных процессов для анализа качества процесса регулирования системы;
- оценка точности процесса регулирования.

 Схема № 8. САР частоты вращения двигателя постоянного тока

Рисунок 1 – Принципиальная схема.
Исходные данные
Вар. Ку1 Ку2 Ку3 Т1 Т2 КтпТтпКд1 Кд2 Тэ ТмRос КдсТдсКпКдтМ
9 3 10.65 0.101 0.1 0.06 8.2 0 2.85 21 0.035 0.58 1.5 0.15 0.014 0.12 0.2 2

Описание работы системы автоматического регулирования
Задачей данной системы автоматического регулирования является управление электродвигателем постоянного тока (регулировка количества оборотов вала электродвигателя в минуту). САР имеет контур с обратной связью.
Главный контур системы состоит из сравнивающе-суммирующего устройства, корректирующего устройства, тиристорного преобразователя и собственно двигателя постоянного тока. Корректирующее устройство предназначено для коррекции входного сигнала, перед подачей на тиристорный преобразователь, который служит для плавного пуска и длительного регулирования скорости вращения вала электродвигателя. В контур обратной связи входит тахогенератор, который преобразует частоту вращения вала в напряжение, он позволяет определить ошибку регулирования всей системы.
Наличие обратных связей в САР свидетельствует о том, что система может быть и неустойчивой, поэтому анализ САР должен включать оценку ее устойчивости и, при необходимости, выбор мер и средств по ее стабилизации.
Составление функциональной и структурной схемФункциональная схема – схема разъясняющая определенные процессы, протекающие в отдельных функциональных цепях изделия (установки) или в изделии (установке) в целом. Функциональными схемами пользуются для изучения принципов работы изделий (установок). Любая функциональная схема САР по отклонению включает в себя объект управления – ОУ с выходной регулируемой величиной х(t) и возмущающим воздействием – f; устройство управления – УУ, обеспечивающее c заданной точностью стабилизацию выходной величины; задающее устройство – ЗУ; обратную связь – ОС; сравнивающее суммирующее устройство – ССУ (рис. 2). В свою очередь УУ может состоять из усилительного элемента, исполнительного устройства и последовательной или параллельной коррекции.

Рисунок 2 – Функциональная схема САР
Сравнивающее суммирующее устройство может быть реализовано на операционном, магнитном либо электромашинном усилителе, либо на измерительном устройстве. Всевозможные датчики, преобразующие выходную регулируемую величину х(t) ОУ в электрический сигнал, составляют главную обратную связь. Исходная принципиальная схема САР разбивается на отдельные устройства и узлы с учетом выполняемых ими функций. Также выявляются в схеме ЗУ и ОУ. В нашей системе ОУ является двигатель постоянного тока (ДПТ), а регулируемой величиной является частота вращения.
Исходя из вышесказанного, составим функциональную схему САР частоты вращения ДПТ:

Рисунок 3 – Функциональная схема САР частоты вращения ДПТ
Согласно принципиальной схеме, в функциональную схему добавляем активно корректирующее устройство (АКЦ). Тахогенератор ТГ является датчиком, преобразующим частоту ω в напряжение Uос, снимаемое с потенциометра Rос. Возмущающим фактором f в данной САР является момент сопротивления (нагрузки) Мс.
Задачей САР или системы стабилизации является обеспечение на выходе объекта управления требуемого значения x0.
Для составления структурной схемы необходимо по дифференциальным уравнениям (ДУ) элементов и устройств САР составить их передаточные функции. При этом, составляющую ДУ по возмущающему фактору f (Mc) необходимо учитывать только для объекта управления ОУ. Поэтому ОУ будет иметь две передаточные функции (ПФ) по управляющему воздействию Wgoy и по возмущающему фактору Wfoy. Сравнивающие суммирующие устройства имеют тоже несколько передаточных функций и их количество определяется количеством входов, в нашем случае два. Для определения выражения передаточной функции по конкретному воздействию используется принцип суперпозиции. Передаточная функция – это отношение выходного сигнала в изображении s к входному при нулевых начальных условиях.
Опишем передаточные функции, используемые в функциональной схеме.
Делитель:
U2t=Kп*U1tгде Kп=R''RПередаточная функция:
Wдs=Kп=0,12Сравнивающее суммирующее устройство:
∆Uвыхt=Kу2*∆U2t-Kу1*∆U1t+Kу3*∆U3tгде:
∆U3,∆U2, ∆U1 – напряжения на входах;
∆Uвых – напряжение на выходе;
Передаточные функции: Wсу1s=-Kу1=-3Wсу2s=Kу2=10.65Wсу3s=Kу3=0.101Активная корректирующая цепь:
Т2s*∆U2t=-(T1+1)*∆U1tПередаточная функция:
Wкцs=-(T1+1)Т2s=-1.10.06sКорректирующая цепь предназначена для преобразования сигнала, проходящего через нее. Входным воздействием является выходное напряжение ССУ, выходным воздействием является входное напряжение ТП.
Тиристорный преобразователь:
(Ттп*s+1)*∆U2t=Kтп*∆U1tгде
U1 – напряжение на входе ТП;
U2 – напряжение на выходе ТП;
Kтп – коэффициент передачи ТП;
Ттп– постоянная времени ТП.
Передаточная функция:
Wтпs=KтпТтпs+1=8.2Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением:
Тэ*Тм*s2+Тм*s+1*s*∆φt=Kд1*∆Uяt-Kд2*(Тэ*s+1)∆Мс(t)где
φ – угол поворота выходного вала;
Uя – напряжение на якоре;
Мс – момент сопротивления на валу;
Kд1,Kд2 – коэффициенты передачи по напряжению и моменту;
Тэ, Тм– электромагнитная и электромеханическая постоянные времени.
Передаточные функции:
Wоу1s=Kд1ТэТмs2+Тмs+1=2.850,0203s2+0,615s+1Wоу2s=-Kд2(Тэs+1)ТэТмs2+Тмs+1=-21(0,035s+1)0,0203s2+0,615s+1Датчик скорости:
(Тдс*s+1)*∆Ut=Kдс*∆ωtгде
∆ω – частота вращения на входе ДС;
∆U – напряжение на выходе ДС;
Kдс – коэффициент передачи ДС;
Тдс– постоянная времени ДС.
Передаточная функция:
Wдсs=KдсТдсs+1=0,150,014s+1Структурная схема есть графическое представление дифференциального уравнения устройства, когда выражение передаточной функций вписывается в прямоугольник, а входное воздействия и выходная величина изображаются стрелками. Структурная схема САР составляется по ее функциональной схеме с учетом полученных передаточных функций элементов и устройств, входящих в данную схему. Функциональной схеме, изображенной на рис. 3 соответствует структурная схема рис. 4.
Рисунок 4 – Структурная схема САР частоты вращения ДПТ
Описание принципа регулирования САРВ состав рассматриваемой системы автоматического регулирования входят: делитель, тиристорный преобразователь, тахогенератор, сравнивающее суммирующее устройство, объектом управления в данной системе является двигатель постоянного тока. Регулируемой величиной в объекте управления является частота вращения. Все прочие устройства в совокупности образуют регулятор. Т.к. главная обратная связь является отрицательной, то используется принцип управления по отклонению.
Значение выходной величины снимается с выхода двигателя постоянного тока и поступает на вход сравнивающего суммирующего устройства, где происходит сравнения выходной величины и задающего воздействия и вырабатывается выходной сигнал равный их разности.
Далее этот сигнал поступает на тиристорный преобразователь. Входной величиной тиристорного преобразователя является напряжение. В обратной связи САР находится тахогенератор, входной величиной которого является частота вращения вала, а выходной – напряжение.
Получение передаточных функций системыДля получения передаточной функции разомкнутой системы Wрс(s), составим структурную схему разомкнутой САР. Для этого:
- отрабатываются все воздействия и блоки, не входящие в главный контур управления;
- разрывается главная ОС, и ее цепь рассматривается как продолжение прямой цепи прохождения воздействия g (рис. 5).
Составим структурную схему САР в разомкнутом состоянии, разрывая ОС, отбрасывая задающее воздействие Uз и возмущающий фактор Мс.
Рисунок 5 – Структурная схема разомкнутой САР
Тогда можно записать выражение для передаточной функции разомкнутой системы:
Wpcs=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпT2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1Используя принцип суперпозиции, приравнивая Мс = 0, составляем структурную схему замкнутой САР по задающему воздействию Uз:

Рисунок 6 – Структурная схема САР по задающему воздействию
Получаем передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию Uз:
Wззs=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1T2s*ТэТмs2+Тмs+11+-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпT2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*Tтгs+1T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпПриравнивая Uз = 0, составляем структурную схему замкнутой САР по возмущающему фактору Мс:

Рисунок 7 – Структурная схема САР по возмущающему воздействию
Тогда передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему фактору представим следующим образом:
Wзвs=-Kд2(Тэs+1)ТэТмs2+Тмs+11+-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпT2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1=-Kд2Тэs+1*T2s*Tтгs+1T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпПолучение дифференциального уравнение САРПолучив передаточные функции замкнутой системы по задающему воздействию Wзз и возмущающему фактору Wзв, структурную схему САР можно представить в виде:

Рисунок 8 – Структурная схема САР
Запишем уравнение выходного сигнала САР в изображении S:
Xs=X1s+X2s=Wззs*Gs+Wзвs*FsЗапишем выражение выходного сигнала для нашего случая:
ωs=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*Tтгs+1T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kп*Uзs+-Kд2Тэs+1*T2s*Tтгs+1T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kп*fsСделаем замену и подставим численные коэффициенты:
As=T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kп=1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+1.493Bs=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*Tтгs+1=1.161s+82.96Cs=-Kд2Тэs+1*T2s*Tтгs+1=-(0.0006174s3+0.06174s2+1,26s)Приравняем знаменатель к нулю и получим характеристическое уравнение:
1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+1.493=0Решая данное уравнение, определяются корни характеристического уравнения. Переходя от изображений сигналов к их оригиналам получим дифференциальное уравнение САР:
a0d4ω(t)dt4+a1d3ω(t)dt3+a2d2ω(t)dt2+a3dω(t)dt+a4ωt=b0dU3(t)dt+b1U3t+c0d3ftdt3+c1d2f(t)dt2+c2df(t)dtОпределение устойчивости САР по корням характеристического уравнения
Характеристическое уравнение системы было представлено выше. Были вычислены коэффициенты аn, теперь используем программный пакет Matlab для нахождения корней характеристического уравнения:
Wz =
1.161 s + 82.96
-----------------------------------------------------------
1.705e-05 s^4 + 0.001735 s^3 + 0.03774 s^2 + 0.06 s + 1.493
Continuous-time transfer function.
>> pole(Wz)
ans =
-71.0092 + 0.0000i
-30.9618 + 0.0000i
0.1234 + 6.3098i
0.1234 - 6.3098i
>>zplane(ans)

Рисунок 9 – Расположение корней характеристического уравнения
Из графика выше делаем вывод, что система неустойчива так как имеются корни, лежащие справа.
Определение устойчивости САР по критерию Михайлова
Для оценки устойчивости САР необходимо получить уравнение кривой Михайлова. Для этого воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы:
As=1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+1.493Переходя в частотный диапазон, заменяя s→jw, выделяя вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривой Михайлова.
Djw=1.705*10-5(jw)4+0.001735jw3+0.03774jw2+0.06(jw)+1.493Далее для построения кривой Михайлова используем Matlab:
Re=[];
Im=[];
a0=1.705e-05;
a1=0.001735;
a2=0.03774;
a3=0.06;
a4=1.493;
for w=0:0.01:55;
Njw=a0*((w*1i)^4)+a1*((w*1i)^3)+a2*((w*1i)^2)+a3*(w*1i)+a4;
Re1=real(Njw);
Im1=imag(Njw);
Re=[Re,Re1];
Im=[Im,Im1];
end
plot(Re,Im),grid,title('Кривая Михайлова для w=55'),xlabel('Re(D)w'),ylabel('Im(D)w')
Меняем частоту ω от 0 до 55 и получаем следующий график:

Рисунок 10 – Кривая Михайлова для ω=55 с-1Для системы 4-го порядка годограф Михайлова должен пройти 4 квадранта. Анализируя полученные графики видим, что система неустойчива.
Определение устойчивости САР по критерию Найквиста
Для оценки устойчивости САР необходимо воспользоваться передаточной функцией разомкнутой системы и, заменяя s→jw, построить годограф АФЧХ. Особенностью данного критерия является то, что по виду АФЧХ разомкнутой системы оценивается устойчивость САР в замкнутом состоянии.
Используем программный пакет Matlab для нахождения корней характеристического уравнения:
W =
1.493
---------------------------------------------------
1.705e-05 s^4 + 0.001735 s^3 + 0.03774 s^2 + 0.06 s
Continuous-time transfer function.
>> pole(W)
ans =
0
-71.4286
-28.5714
-1.7241
>> zplane(ans),grid

Рисунок 12 – Расположение корней характеристического уравнения
Как видим все корни левые. Строим АФЧХ разомкнутой системы в Matlab:

Рисунок 13 – АФЧХ разомкнутой системы
Анализируя график видим, что система охватывает точку (-1; j0) справа, следовательно, она неустойчива в замкнутом состоянии.
Определение критического коэффициента усиления по критерию ГурвицаПод критическим (граничным) коэффициентом САР понимается значение коэффициента разомкнутой системы КРС, при котором САР в замкнутом состоянии является нейтральной. Для определения значения критического коэффициента системы используем критерий устойчивости Гурвица.
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
As=1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+1.493Для нахождения коэффициента КРС перепишем уравнение выше в виде:
As=1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+КрсСоставим определитель четвертого порядка:
0.0017350.06001.705*10-50.03774Крс000.0017350.06001.705*10-50.03774КрсДля нахождения КРС воспользуемся определителем 3-го порядка:
0.0017350.0601.705*10-50.03774Крс00.0017350.06Приравнивая определитель к 0 находим значение КРС=1.325.
Построение области устойчивости в плоскости параметра КрсВоспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы в виде:
As=1.705*10-5s4+0.001735s3+0.03774s2+0.06s+КрсВыразим Крс:
Крс=-1.705*10-5s4-0.001735s3-0.03774s2-0.06sXw=-1.705*10-5w4-0.03774w2Yw=-0.001735w3-0.06wПереходим в частотный диапазон и строим кривую D-разбиения в плоскости варьируемого параметра Крс.

Рисунок 15 – Кривая D-разбиения в области параметра КрсНа рисунке единицей обозначена область устойчивости в области параметра Крс.
Построение переходной характеристики системыКачество работы любой системы регулирования характеризуется количественными и качественными показателями, которые определяются по кривой переходного процесса, либо по другим динамическим характеристикам системы. Переходный процесс в системе является ее реакцией на внешнее воздействие, в нашем случае это будет единичное ступенчатое воздействие.
Воспользуемся выражением передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию:
W33(s)=-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*Tтгs+1T2s*ТэТмs2+Тмs+1*Tтгs+1-ky1*ky2*ky3*(-(T1+1))*kтп*kд1*kтг*kпПодадим на вход системы единичное воздействие:
step(Wz),grid

Рисунок 16 – Реакция системы на ступенчатое воздействие
По графику выше невозможно определить показатели качества системы, так как она неустойчива.
Определение полной установившейся ошибки системыИсследование точности регулирования систем автоматического управления проводят путем анализа функционирования ее установившихся режимов. То есть, точность регулирования системы оценивается установившимися ошибками, которые в свою очередь определяются структурой системы (передаточными функциями) и воздействиями (задающими воздействиям и возмущающими факторами).
Полная ошибка регулирования En(s) состоит из 2 составляющих:
Ens=Egs+Ezsгде
Eg(s) – ошибка регулирования, вызванная задающим воздействием g(t);
Ez(s) – ошибка регулирования, вызванная возмущающим фактором z(t).
Используя выражения и теорему о предельных значениях limt→∞ft=lims→∞s*Ws*F(s) при типовых воздействиях gt=g0*1(t), zt=z0*1t установившиеся ошибки системы можно определить по следующим выражениям:
εnуст=εgуст+εzустεgуст=Wgε0*g0εzуст=Wzε0*z0где
εn уст – установившееся значение полной ошибки;
εg уст – установившееся значение ошибки, вызванной задающим воздействием;
εz уст – установившееся значение ошибки, вызванной возмущающим фактором.
Найдем установившееся значение ошибки, вызванное задающим воздействием (g0=1) QUOTE :
εg уст=Wxε0*g0=11.493=0.67 (рад/с)Значение установившейся ошибки по задающему воздействию в системах стабилизации может быть сведено к нулю путем масштабирования, т.е. подбором подходящего g(t). При сведении установившейся ошибки по задающему воздействию к нулю, полная установившаяся ошибка системы будет характеризоваться лишь ошибкой, вызванной возмущающим воздействием.
Найдем установившееся значение ошибки, вызванное возмущающим воздействием:
εf уст=Wfy0*Mc=-1.26*21.493=-1,688 (рад/с)где QUOTE
Мс = 2 – возмущающее воздействие.
Найдем установившееся значение полной ошибки регулирования:
εf уст+ εx уст=0,67-1,688=-1.019 (рад/с)Полная установившаяся ошибка регулирования говорит о том, что вследствие задающего воздействия, выходная величина, а именно угловая скорость уменьшается на 1,019 рад/с.
ВыводыИсследование системы автоматического регулирования частотой вращения ДПТ было проведено с помощью математических методов и пакета MATLAB.
Для исследования на устойчивость системы автоматического регулирования частотой вращения ДПТ было применено три метода: Михайлова, Найквиста, и по корням характеристического уравнения. Для определения устойчивости по критерию Михайлова был построен годограф, по которому установлено, что система устойчива. Для оценки устойчивости по критерию Найквиста воспользовались передаточной функцией разомкнутой системы и, заменяя s→jw, построили годограф АФЧХ, по которому установлено, что разомкнутая система устойчива.
С помощью критерия Гурвица был определен критический коэффициент усиления разомкнутой системы (Kкс) и построена область устойчивости в плоскости одного параметра Kкс. Показатели качества неустойчивой системы было невозможно определить.
Определена полная статическая ошибка (-1,019 рад/с).

Список литературыБоголюбов А.А. «Конспект лекций по курсу ОТУ», 2015. -180с.
Попов Е.П. «Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления», 2-е издание, 1988. -256 с.
Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1986. –367 с., ил.
Попов Е.П. «Теория линейных систем автоматического регулирования и управления», 2-е издание, 1989. -304 с.
Бесекерский В.А., Попов Е.П. «Теория систем автоматического регулирования», Москва 1975. -768 с.
Теория автоматического управления: учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. 4.1. Теория линейных систем автоматического управления / H.A. Бабаков, [и др.]; под ред.A.A. Воронова. -2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. –367 c., ил.