Изучение зависимости между признаками X и Y

Введение

Актуальность выполнения курсовой работы заключается в том, что
исследование взаимосвязи между признаками является важнейшей задачей
математической статистики. Это объясняется тем, что в процессе исследования
зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что
позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию
изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения – это такая связь
явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины ведет к изменению
другого - следствия.
Анализ взаимосвязи проводится методами корреляционно-регрессионного
анализа. Основными задачами корреляционно-регрессионного анализа являются:
1) Определение параметров уравнения, выражающего связь средних значений
зависимой переменной со значениями независимой переменной.
2) Измерение тесноты связи двух признаков между собой.
Целью выполнения курсовой работы является исследование зависимости между
значениями (X) и значениями (Y) по имеющейся выборке с помощью метода наименьших
квадратов и построение линий регрессий.
Задачами курсовой работы являются:
- построение прямых линий регрессии Y от Х и Х от Y;
- расчет средних значений выборок;
- построение параболической модели регрессии Y от Х;
- построение графиков функций;
- сравнение моделей между собой.
Для работы с табличными данными и для построения графиков в работе
использовался табличный процессор Excel

Постановка задачи
Дана выборка, состоящая из 100 пар чисел (X i ,Y i ) i = 1, 2, …, 100, где X i ,Y i -
значения двух признаков исследуемых объектов.
Задача состоит в изучении характера зависимости между признаками X и Y.
Требуется:
1. Методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что прямая �� =
���� + �� наименее уклоняется от точек (X i ,Y i ) в среднем квадратичном.
2. Методом наименьших квадратов определить числа c, d такие, что прямая �� =
���� + �� наименее уклоняется от точек (X i ,Y i ) в среднем квадратичном.
3. Рассчитать средние значения выборок X и Y .
4. Нанести на плоскость точки (X i ,Y i ) и построить графики функций �� = ���� + �� и ��
= ���� + ��.
5. Методом наименьших квадратов определить числа p, q, r такие, что парабола ��
= ���� 2 + ���� + �� наименее уклоняется от точек (X i ,Y i ) в среднем квадратичном.
6. Нанести на плоскость точки (X i ,Y i ) и построить график функции �� = ���� 2 + ���� +
��.
7. Сравнить между собой результаты пунктов 1 и 5 (значения величин
отклонения) и сделать вывод о предпочтительном способе описания данных.

Исходные данные

Исходные данные для выполнения работы представлены в таблице 1:
Таблица 1 – Исходные данные
№ x y № x y № x y № x y
1 8,82 -15,6 26 9,72 -17,4 51 12,5 -21,2 76 12,8 -22,9
2 5,1 -6,82 27 18,9 -34,8 52 0,616 2,54 77 5 -8,33
3 16,1 -29 28 16,9 -29,7 53 10 -17,9 78 1,49 0,356
4 10,4 -18,8 29 13,5 -22,5 54 14,7 -27,6 79 6,42 -11,8
5 11,9 -22,1 30 9,18 -14 55 16,2 -27,2 80 12,4 -22,4
6 14,6 -23,4 31 5,52 -10,5 56 17,7 -33,8 81 15,9 -27,1
7 9,18 -15,5 32 1,8 -1,01 57 18,6 -33,5 82 2,26 -1,67
8 12 -20,8 33 15,1 -27,2 58 16,3 -29,4 83 13,6 -23,5
9 18,1 -33,9 34 12,9 -24 59 10,7 -17,7 84 1,3 -0,045
10 4,5 -5,06 35 12,2 -20 60 13,1 -23 85 7,08 -12,5
11 10,4 -17,1 36 1,98 -2,37 61 6,26 -11 86 19,7 -36,6
12 10,7 -17,7 37 13,6 -24 62 18,6 -35,9 87 14,3 -25,6
13 4 -4,85 38 18,5 -34,2 63 5,48 -8,78 88 13 -24,2
14 9,24 -16,2 39 0,466 2,98 64 14,6 -26,7 89 15,5 -28,4

4
15 2,5 -1,66 40 7,52 -12,3 65 15 -25 90 3,42 -2,58
16 19,5 -34,5 41 8,74 -13,8 66 7,3 -11,9 91 4,62 -6,09
17 5,9 -9,12 42 13,8 -25,5 67 17,2 -32,9 92 13,4 -23,9
18 4,78 -7,56 43 18,1 -34,3 68 18 -33,4 93 4,94 -6,22
19 6,2 -8,05 44 15,4 -27,9 69 14,3 -23,5 94 18 -32,6
20 2,2 -2,81 45 8,72 -14,8 70 16,6 -29,7 95 15,5 -29
21 3,86 -5,67 46 13,9 -24,1 71 8,8 -15 96 16,7 -31,7
22 4,64 -8,9 47 19 -33,6 72 13 -23,9 97 14,1 -25,1
23 16,6 -30,9 48 7,32 -12 73 1,45 0,334 98 7,28 -11,5
24 16,6 -28,3 49 15,3 -28,4 74 3,22 -5,21 99 12,8 -20
25 5,08 -7,96 50 3,42 -3,2 75 7,04 -11,7 100 17,3 -30,8

Выполнение задачи

1. Построение прямой �� = ���� + �� МНК

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод, применяемый в теории ошибок
для отыскания одного или нескольких неизвестных по результатам измерений,
содержащим случайные ошибки. МНК используется также для приближенного
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным для обработки наблюдений.
Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где Х и Y — зависимые
случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся
приближенным представлением величины Y в виде линейной функции величины X:

baXxgY)(

где a, b - параметры, подлежащие определению. Функцию g(x) называют
среднеквадратической регрессией Y на X. b a и
Составим функцию расчета суммарного квадратичного отклонения:
min))(()ˆ(),(

1

2

1

2

1
2



n
i
ii

n
i
ii

n
i
ixabyyyebaF
Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для
того чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального
значения, приравняем частные производные к нулю:


















0)(2
0)(2

1
1
n
i
iii
n
i
ii
axbyx

a
F

axby

b
F

или 












0)(
0)(

1
1
n
i
iii
n
i
ii
axbyx
axby

Выполнив элементарные преобразования, рассчитаем a и b:

5





2
22
)cov(
xx
yxxyxy
a
x

-1,9642
xayb 2,5414
Следовательно, уравнение примет вид:
y = -1,9642x + 2,5414

Коэффициент регрессии а показывает, что при увеличении факторного признака
х на 1 единицу значение результативного признака у в среднем снижается на 1,9642
единиц.

2. Построение прямой �� = ���� + �� МНК
Аналогично МНК рассчитываем оценки параметров модели:





2
22
)cov(
уу
yxxyxy
с
у

-0,5042
ycxd 1,3857
Следовательно, уравнение примет вид:
х = -0,5042у + 1,3857

Коэффициент регрессии с показывает, что для увеличения результативного
признака у на 1 единицу необходимо снизить значение факторного признака х на 0,5042
единиц.
Поскольку значение коэффициентов регрессии a и с отрицательные, то связь
между признаками обратная. С увеличением значений фактора х значения
результативного признака у в среднем снижаются.

3. Расчет средних значение

Для расчета средних значений используем формулу средней арифметической
простой:

805,10
100
1



n
x
x
n
i
i

681,18
100
1



n
y
y
n
i
i

4. Нанесение на плоскость графиков функций
Наносим на координатную плоскость точки (X i , Y i ) и строим графики уравнений
линейной регрессии �� = ���� + �� и �� = ���� + �� (рисунок 1).
Графики регрессий пересекаются в точке, соответствующей yx; = (10,805; -
18,681).

6

-50510152025

x

-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10

Исходные данныеРегрессия x=cy+dLinear(Исходные данные)
Рисунок 1 – Фактические данные и прямые регрессий

5. Построение модели параболы вторго порядка
Построим модель вида

�� = ���� 2 + ���� + ��,
где p, q, и r — параметры, подлежащие определению.
Функция суммарного квадратичного отклонения имеет вид:
min))(()ˆ(),,(

1

22

1

2

1
2



n
i
iii

n
i
ii

n
i

irxqxpbyyyerqpF
Для расчета оценок параметров модели МНК необходимо решить систему
нормальных уравнений:




















n
i
ii

n
i
i

n
i
i

n
i
i

n
i
ii

n
i
i

n
i
i

n
i
i

n
i
i

n
i
i

n
i
i

yxpxqxrx
yxpxqxrx
ypxqxrn

1
2

1
4

1
3

1
2

11
3

1
2

1

11
2

1

Система нормальных уравнений:










7291,3955824589,3486999462,2204626336,14695
6298,26118462,2204626336,14695462,1080
0550,18686336,14695462,1080100
pqr
pqr
pqr

Решая систему методом Крамера, получаем:
6412,2,9918,1,0014,0rqp

Получаем параболическую модель:

7

6412,29918,10014,02
iiixxy

6. Нанесение на плоскость графика параболы
Наносим на координатную плоскость точки (X i , Y i ) и строим график уравнения ��
= ���� 2 + ���� + �� (рисунок 2).

0510152025

x

-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10

Исходные данныеLinear(Исходные данные)
Рисунок 2 – Исходные данные и график параболы
7. Сравнение между собой результатов пунктов 1 и 5
Подставляя значения найденных параметров (a, b, p, q, r) в функционалы ��(��, и
��(��,��,��), вычислим значения:

6347,113),(baF
5094,113),,(rqpF

Стандартные ошибки моделей:

0768,1

2-100
,6347113),(
1

kn
baF
S

0818,1

3-100
,5094113,,(
2

kn
rqpF
S

Меньшую погрешность имеет линейная модель (уравнение прямой) y = -1,9642x
+ 2,5414. Следовательно, эта модель лучше описывает зависимость между Х и Y, чем
модель параболы.
 

Заключение

В результате выполнения работы можно сделать следующие выводы.
Модель зависимости Y от Х имеет вид: y = -1,9642x + 2,5414
Коэффициент регрессии а = -1,9642 показывает, что при увеличении факторного
признака х на 1 единицу значение результативного признака у в среднем снижается на
1,9642 единиц. Поскольку значение отрицательное, то связь между признаками
обратная.
Модель зависимости Х от Y имеет вид: х = -0,5042у + 1,3857
Коэффициент регрессии с = -0,5042 показывает, что для увеличения
результативного признака у на 1 единицу необходимо снизить значение факторного
признака х на 0,5042 единиц.
Модель параболы имеет вид: 6412,29918,10014,02
iiixxy

Меньшую погрешность имеет линейная модель (уравнение прямой).
Следовательно, эта модель лучше описывает зависимость между Х и Y, чем модель
параболы.

Список использованной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. / В. Е. Гмурман.
– 8-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 405с.
2. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в
примерах и задачах с применением Excel, Ростов н/Д.: Феникс,2006. – 475 с.
3. Городилова, М.А. Теория вероятностей и математическая статистика : метод.
пособие по выполнению контрольных работ / М.А. Городилова,
Г.А. Ушакова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2016. – 43 с.
4. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник /
В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: КНОРУС, 2009.–
384 с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для
вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573с.
6. Теория статистики с основами теории вероятностей./ И.И. Елисеева, В.С.
Князевский, Л.И. Новорожкина, Э.А. Морозова; Под ред. И.Н. Елисеевой.-М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446с.