Методика построения математических моделей

ВВЕДЕНИЕ

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся
разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного
управления различными организационными системами. Она имеет важное
методологическое значение в системе подготовки современного специалиста.
Целью исследования операций является количественное обоснование
принимаемых решений по организации управления.
Цель курсовой работы – закрепление теоретических знаний по
методологическим основам исследования операций и методике построения
математических моделей, формирование практических навыков в решении
задач, выборе оптимальных управленческих решений.
Структурно курсовая работа состоит из двух заданий.
Первое задание относится к классу задач линейного
программирования. Второе задание – к классу задач «игры с природой».
Задачей первого задания курсовой работы является составление
оптимального выпуска продукции, при котором доход будет максимальным.
Задачей второго задания курсовой работы является выбор оптимальной
стратегии в условиях неопределенности по критерию Вальда.
Для выполнения работы были использованы учебники и учебные
пособия.
Для работы с табличными данными использовался табличный
процессор Excel пакета Microsoft Office 2007.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Задание 1

Предприятие располагает тремя видами сырья, из которого
изготавливает два вида продукции. Количество сырья, необходимого для
производства каждого вида продукции, и цена продажи единицы каждого
вида приведены в таблице, соответствующей варианту задания. Требуется
составить план выпуска продукции, при котором доход от продажи был бы
максимальным.
Таблица 1 – Исходные данные для Задания 1

Сырье Запасы Расход сырья на изделие
I II
I 40 3 4
II 50 2 1
III 650 15 16
Цена продажи единицы изделия, ден.ед. 4 8
Решение:
1. Сформулируем экономико-математическую модель задачи
а) Вводим переменные:
Пусть x21,xх - количество единиц продукции I-го и II-го вида.
б) Составляем функцию цели:

5

max84212211
1


ххxcxcxcxf
n
j
jj

21хх - размер дохода от реализации продукции обоих видов.
в) Составляем ограничения.
Функциональные ограничения (по ресурсам):
),(

1
miibxai
n
j
jij


В левой части ограничений 

n
j
jijxa
1 - расход ресурса i-го вида на
производство всей продукции; в левой части ограничений – запас сырья i-го
вида.
Т.к. количество продукции не может быть отрицательным числом, то
имеем прямое ограничение:

0,21xx
Система ограничений имеет вид:












0,
6501615
502
4043

21
21
21
21

xx
xx
xx
xx

2. Найдем решение задачи графическим методом
2.1 Построим область допустимых решений системы ограничений
Решение каждого ограничения задачи является полуплоскость с
граничащей ей прямой.
(1) ограничение
Решением уравнения 3 
1x 4 
2x 40 является прямая, которая проходит

через точки (0; 10) и (40/3; 0).
Решением неравенства 3 
1x 4 
2x 40 является полуплоскость.
Выберем точку О с координатами (0; 0), т.е. точку начала координат и
подставим в неравенство. Получим 0 < 40. Данное утверждение является
верным, следовательно, искомая полуплоскость включает точку (0;0).
(2) ограничение
Решением уравнения 2 
1x
2x 50 является прямая, которая проходит

через точки (0; 50) и (25; 0). Решением неравенства 2 
1x
2x 50 является

полуплоскость, включающая точку начала координат (0;0).
(3) ограничение
Решением уравнения 15 
1x 16 
2x 650 является прямая, которая
проходит через точки (0; 650/16) и (650/15; 0). Решением неравенства 15 
1x

6

16 
2x 650 является полуплоскость, включающая точку начала координат
(0;0).
Прямые ограничения 0,021xx показывают, что решение находится
в первой четверти системы координат.
Пересечение этих полуплоскостей, каждая из которых определяется
соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям,
определяет выпуклый многоугольник ОАВ. Этот многоугольник ОАВ –
область допустимых значений. Любая точка области является допустимым
решением задачи.

Рисунок 1 – Решение задачи графическим методом

2.2 Найдем оптимальное решение задачи
Оптимальное решение может быть только в угловых точках
многоугольника.
Построим линию уровня:

axf)(

Пусть 0a

, тогда построим линию уровня 8 

1x 8 02x .

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-
градиент С

, координаты которого являются частными производными
функции )(xf , т.е. коэффициенты при переменных в целевой функции С
=(4; 8). С учетом масштаба графика нарисуем вектор с координатами (24;48).

7
Поскольку задача стоит на максимизацию, перемещаем линию уровня
по направлению вектора С

. Максимума )(xf достигает в угловой точке А.

Координаты точки А:




10
0
2
1
x
x

Находим значение функции цели:

)(maxxf 4 ∙ 0 + 8 ∙ 10 = 80

Ответ: )(maxxf 80 при 
1x
0, 
1x
80.

Экономический смысл: Максимальный доход от реализации изделий в
80 ден.ед. предприятие сможет получить, если будет выпускать 10 единиц
изделий II-го вида. А изделия I не выпускать совсем.
По графику видно, что объем производства изделий ограничивает
сырье I. Это сырье является дефицитным. Ограниченные запасы сырья I
сдерживают рост производства продукции и доход. Сырье II и III находятся в
избытке. Увеличение запасов сырья этих видов не повлияет на объем
производства продукции и доход.

Задание 2

В таблице представлена эффективность выпуска новых видов
продукции (Р1, Р2, Р3, Р4) при различных условиях ситуации на рынке сбыта
(У1, У2, У3). Определить, используя критерий Вальда, выпуск какого вида
продукции будет оптимальным.
Таблица 2 – Исходные данные для Задания 2
Новая продукция Варианты ситуации на рынке сбыта
У1 У2 У3
Р1 15 40 25
Р2 5 25 30
Р3 10 30 28
Р4 8 54 33
Решение:
Критерий Вальда опирается на принцип наибольшей осторожности,
поскоку он основан на выборке наилучшей из наихудших стратегий.
То при выборе оптимальной стратегии используется максиминный
критерий:









ij
ji
aVminmax
Минимальные значения по строкам:
15 5 10 8

Значение критерия:

15810515max
i
V

8
По критерию Вальда, оптимальной является 1-я стратегия, т.е. выпуск
новой продукции вида Р1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате решения первого задания можно сделать следующий
вывод:
Максимальный доход от реализации изделий в 80 ден.ед. предприятие
сможет получить, если будет выпускать 10 единиц изделий II-го вида. А
изделия I не выпускать совсем.
Объем производства изделий ограничивает сырье I. Это сырье является
дефицитным. Ограниченные запасы сырья I сдерживают рост производства
продукции и доход. Сырье II и III находятся в избытке. Увеличение запасов
сырья этих видов не повлияет на объем производства продукции и доход.
В результате решения второго задания можно сделать следующий
вывод:
По критерию Вальда, оптимальной является 1-я стратегия, т.е. выпуск
новой продукции вида Р1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бережная И.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования
экономических систем: Учеб пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Финансы и статистика, 2006. – 432 с.
2. Васин А. А. Исследование операций: учеб.пособие для вузов / А.А.
Васин, П.С. Краснощеков, В. В. Морозов.— М. : Академия, 2008.— 464 с
3. Вентцель Е.С. Исследование операций : задачи, принципы, методология :
учеб.пособие / Е.С. Вентцель.— 5-е изд., стер. — М. :Высш.шк., 2010 .—
191 с.
4. Горбунова Р.И. Экономико-математические методы и модели:
учеб.пособие / Р.И. Горбунова [и др.]; под ред. С.И. Макарова.— М. :
КНОРУС, 2007.— 232с.
5. Исследование операций в экономике : учеб.пособие для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.] ; под ред. Н. Ш. Кремера.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.
: Юрайт, 2010.— 431 с.
6. Красе М. С, Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. — СПб.:
Питер, 2005. — 464 с.
7. Пелих А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении
производством / А.С. Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. терехова. – Росто н/Д:
«Феникс», 2005. – 248 с.
8. Солодовников А.С. Математика в экономике : учебник для вузов. Ч.1 /
А.С. Солодовников [и др.] .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и
статистика, 2007 .— 384с.
9. Трофимова Л.А. Методы принятия управленческих решений: учебное
пособие / Л.А. Трофимова, В.В. Трофимов. – СПб. : Изд-во СПбГУЭФ,
2012. – 101 с.
10. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в
управлении: Учеб. пособие. – 2-е изд., импр. – М.: Дело, 2002 – 440 с.