Операции в математических исследованиях

ВВЕДЕНИЕ

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся
разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного
управления различными организационными системами. Она имеет важное
методологическое значение в системе подготовки современного специалиста.
Целью исследования операций является количественное обоснование
принимаемых решений по организации управления.
Цель курсовой работы – закрепление теоретических знаний по
методологическим основам исследования операций и методике построения

4
математических моделей, формирование практических навыков в решении
задач, выборе оптимальных управленческих решений.
Структурно курсовая работа состоит из двух заданий.
Первое задание относится к классу задач линейного
программирования. Второе задание – к классу задач «игры с природой».
Задачей первого задания курсовой работы является составление
оптимального выпуска продукции, при котором доход будет максимальным.
Задачей второго задания курсовой работы является выбор оптимальной
стратегии в условиях неопределенности по критерию Сэвиджа.
Для выполнения работы были использованы учебники и учебные
пособия.
Для работы с табличными данными использовался табличный
процессор Excel пакета Microsoft Office 2007.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Задание 1

Предприятие располагает тремя видами сырья, из которого
изготавливает два вида продукции. Количество сырья, необходимого для
производства каждого вида продукции, и цена продажи единицы каждого
вида приведены в таблице 1. Требуется составить план выпуска продукции,
при котором доход от продажи был бы максимальным.
Таблица 1 – Исходные данные для Задания 1

Сырье Запасы Расход сырья на изделие
I II
I 300 8 12
II 105 3 2
III 45 2 1
Цена продажи единицы изделия, ден.ед. 2 3
Решение:
1. Сформулируем экономико-математическую модель задачи
а) Вводим переменные:
Пусть x21,xх - количество единиц продукции I-го и II-го вида.
б) Составляем функцию цели:

max32212211
1


ххxcxcxcxf
n
j
jj

5

2132хх - размер дохода от реализации продукции обоих видов.
в) Составляем ограничения.
Функциональные ограничения (по сырью):
),(

1
miibxai
n
j
jij


В левой части ограничений 

n
j
jijxa
1 - расход ресурса i-го вида на
производство всей продукции; в правой части ограничений ib – запас сырья
i-го вида.
Экономический смысл левых частей:
21128xx - расход сырья I на производство продукции обоих видов;
2123xx - расход сырья II на производство продукции обоих видов;
212xx - расход сырья III на производство продукции обоих видов.
Т.к. количество продукции не может быть отрицательным числом, то
имеем прямое ограничение:

0,21xx
Система ограничений имеет вид:












0,
452
10523
300128

21
21
21
21

xx
xx
xx
xx

2. Найдем решение задачи графическим методом
2.1 Построим область допустимых решений системы ограничений
Решение каждого ограничения задачи является полуплоскость с
граничащей ей прямой.
(1) ограничение 30012821xx
Решением уравнения 30012821xx является прямая, которая
проходит через точки (0; 25) и (37,5; 0).
Решением неравенства 30012821xx является полуплоскость.
Выберем точку О с координатами (0; 0), т.е. точку начала координат и
подставим в неравенство. Получим 0 < 300. Данное утверждение является
верным, следовательно, искомая полуплоскость включает точку (0;0).
(2) ограничение 1052321xx
Решением уравнения 1052321xx является прямая, которая
проходит через точки (0; 52,5) и (35; 0).
Решением неравенства 1052321xx является полуплоскость.
Выберем точку О с координатами (0; 0), т.е. точку начала координат и

6
подставим в неравенство. Получим 0 < 105. Данное утверждение является
верным, следовательно, искомая полуплоскость включает точку (0;0).
(3) ограничение 45221xx
Решением уравнения 45221xx является прямая, которая проходит
через точки (0; 45) и (22,5; 0).
Решением неравенства 45221xx является полуплоскость. Выберем
точку О с координатами (0; 0), т.е. точку начала координат и подставим в
неравенство. Получим 0 < 105. Данное утверждение является верным,
следовательно, искомая полуплоскость включает точку (0;0).
Ограничение 01х
Решением уравнения 01х является прямая, совпадающая с осью
ОХ2. Решением неравенства 01х является правая полуплоскость.
Ограничение 02х
Решением уравнения 02х является прямая, совпадающая с осью
ОХ1. Решением неравенства 02х является верхняя полуплоскость.
Таким образом, прямые ограничения 0,021xx показывают, что
решение находится в первой четверти системы координат.
Пересечение этих полуплоскостей, каждая из которых определяется
соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям,
определяет выпуклый многоугольник ОАВС. Этот многоугольник ОАВС –
область допустимых значений. Любая точка области является допустимым
решением задачи.

7

Рисунок 1 – Решение задачи графическим методом

2.2 Найдем оптимальное решение задачи
Оптимальное решение может быть только в угловых точках
многоугольника. Чтобы найти оптимальное решение можно найти
координаты всех угловых точек многоугольника, вычислить значение
целевой функции во всех угловых точках. Наибольшее из этих значений и
будет максимальным значением целевой функции, а координаты
соответствующей угловой точки – оптимальным решением.
Существует другой способ, который позволяет графически сразу найти
угловую точку, соответствующую оптимальному решению. Для этого
построим линию уровня.
Приравняем целевую функцию постоянной величине а:

aххxf
2132)(

Пусть 0a

, тогда построим линию уровня 2 

1x 3 02x . Она

проходит через точки (0; 0) и (-3; 2).
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-
градиент

С , координаты которого являются частными производными
функции )(xf , т.е. коэффициенты при переменных в целевой функции С
=(2; 3). С учетом масштаба графика нарисуем вектор с координатами (24;36).
Поскольку задача стоит на максимизацию, перемещаем линию уровня
по направлению вектора

С . Линия уровня покидает область допустимых
решений на отрезке АВ. Таким образом, любая точка, лежащая на отрезке АВ
является оптимальным решением задачи.
Найдем координаты конечных точек отрезка.
Для нахождения координат точки А необходимо решить систему
уравнений




300128
0
21
1
хx
x

Получим: 


25
0
2
1
x
x

Координаты точки А(0, 25).
Находим значение функции цели:

)(maxxf 2 ∙ 0 + 3 ∙ 25 = 75

Для нахождения координат точки В необходимо решить систему
уравнений




252
300128
21
21
хx
xx

8

Получим: 


15
15
2
1
x
x

Координаты точки В(15, 15).
Находим значение функции цели:

)(maxxf 2 ∙ 15 + 3 ∙ 15 = 75

Таким образом, задача имеет бесконечное множество решений.
Оптимальное решение задачи находится на отрезке АВ. Любая точка отрезка
АВ будет оптимальным решением задачи.
Ответ можно записать следующим образом:
)(maxxf

75 при 12
83001
2

х
х


, где
1х
- число лежащее в интервале

от 0 до 15 включительно.
Экономический смысл: Максимальный доход от реализации изделий
составляет 75 ден.ед.
При этом есть множество вариантов производственной программы
выпуска изделий. Например, выпускать 25 единиц изделий вида II, а изделия
вида I не выпускать совсем. Другой вариант – выпускать по 15 единиц
изделий вида I и вида II.

Задание 2

В таблице представлена эффективность выпуска новых видов
продукции (Р1, Р2, Р3, Р4) при различных условиях ситуации на рынке сбыта
(У1, У2, У3). Определить, используя критерий Сэвиджа, выпуск какого вида
продукции будет оптимальным.
Таблица 2 – Исходные данные для Задания 2
Новая продукция Варианты ситуации на рынке сбыта
У1 У2 У3
Р1 25 35 40
Р2 75 20 30
Р3 35 82 10
Р4 80 20 35

9

Решение:
Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности
выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее
значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).









ij
ji
rSmaxmin
, где

ijr
- элементы матрицы рисков, рассчитываемые по формуле:

ijij
iijaarmax
, где

ij
i
amax
- максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Находим максимальные значения по столбцам:

408280max
352080
108235
302075
403525










Получаем матрицу рисков:



























5620
30045
10625
04755

354020828080
104082823580
304020827580
404035822580
R

Максимальные значения по строкам:

62
45
62
55

5620
30045
10625
04755
max










Значение критерия:

4562456255minmaxmin








iij

ji
rS

Вывод. По критерию Севиджа, оптимальной является третья стратегия,
т.е. выпуск новой продукции вида Р3.

10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате решения первого задания можно сделать следующий
вывод:
Максимальный доход от реализации изделий составляет 75 ден.ед. При
этом есть множество вариантов производственной программы выпуска
изделий. Например, выпускать 25 единиц изделий вида II, а изделия вида I не
выпускать совсем. Другой вариант – выпускать по 15 единиц изделий вида I
и вида II.
В результате решения второго задания можно сделать следующий
вывод:
По критерию Сэвиджа, оптимальной является 3-я стратегия, т.е. выпуск
новой продукции вида Р3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бережная И.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования
экономических систем: Учеб пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Финансы и статистика, 2006. – 432 с.
2. Васин А. А. Исследование операций: учеб.пособие для вузов / А.А.
Васин, П.С. Краснощеков, В. В. Морозов.— М. : Академия, 2008.— 464 с
3. Вентцель Е.С. Исследование операций : задачи, принципы, методология :
учеб.пособие / Е.С. Вентцель.— 5-е изд., стер. — М. :Высш.шк., 2010 .—
191 с.
4. Горбунова Р.И. Экономико-математические методы и модели:
учеб.пособие / Р.И. Горбунова [и др.]; под ред. С.И. Макарова.— М. :
КНОРУС, 2007.— 232с.

11
5. Исследование операций в экономике : учеб.пособие для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.] ; под ред. Н. Ш. Кремера.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.
: Юрайт, 2010.— 431 с.
6. Красе М. С, Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. — СПб.:
Питер, 2005. — 464 с.
7. Пелих А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении
производством / А.С. Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. терехова. – Росто н/Д:
«Феникс», 2005. – 248 с.
8. Солодовников А.С. Математика в экономике : учебник для вузов. Ч.1 /
А.С. Солодовников [и др.] .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и
статистика, 2007 .— 384с.
9. Трофимова Л.А. Методы принятия управленческих решений: учебное
пособие / Л.А. Трофимова, В.В. Трофимов. – СПб. : Изд-во СПбГУЭФ,
2012. – 101 с.
10. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в
управлении: Учеб. пособие. – 2-е изд., импр. – М.: Дело, 2002 – 440 с.