Контрольная работа по Математике на тему: "Теория вероятностей. Математическая статистика"

Контрольная работа № 4

Вариант 4

Задание 1. Номер телефона состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера различные?

Задание 2. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,9. Страховая компания страхует на год жизни двух людей 60-ти лет. Какова вероятность того, что компания: а) будет платить хотя бы по одному страховому полису; б) платить только по одному полису?
 

Задание 3.

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 7 белых и 8 черных шаров, во втором 10 белых, в третьем 5 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что он взят из второго ящика?
 

Задание 4. Вероятность того, что в локомотивном депо расход электроэнергии превысит суточную норму равна p.

1) Какова вероятность того, что за n рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии в течение m дней? Произвести вычисление: а) по формуле Бернулли; б) по формуле Пуассона; в) по локальной теореме Лапласа. Сделать вывод.

2) Найти вероятность того, что перерасхода энергии не будет хотя бы в течение n–2 дней, используя: а) формулу Бернулли; б) интегральную теорему Лапласа.

p = 0,3; n = 5; m = 3.

Задание 5. На некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность остановки равна 0,3. За смену автобус проходит мимо этой остановки 4 раза. Составить закон распределения случайной величины Х, равной числу остановок за смену, построить функцию распределения случайной величины Х, найти M(X) ; D(X); Q(X).

 

Задание 6. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(х). Требуется:

1) найти плотность распределения f(x);

2) определить коэффициент А;

3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4) вычислить математическое ожидание и дисперсию;

5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала (a;B).

f(x) = { 0; x < -2
        { A(x+2)²  ;- 2⩽ x ⩽ 2
        { 1 ; x >2

a= 0; B= 3

Задание 7. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами a (математическое ожидание) и s (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) записать выражение для функции распределения, схематически изобразить ее график; б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;B); в) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от a не более чем на б.

a =4; Q = 4; a =-1; B =7; б =3

 

Математическая статистика

Задание 8. Дана двумерная выборка случайных величин X = {x1;x2;.... xn }  и Y = { y1;y2;...yn}. Требуется:

1. Построить вариационные ряды для величин xi и yi.

2. Используя вариационные ряды, составить интегральные ряды, составить интегральные ряды распределения величин X и Y. Длины интервалов hx и hy найдите по формуле Стерджеса.

3. Построить гистограммы относительных интервальных частот величин X и Y. На основе гистограмм построить графики эмпирических функций плотностей вероятностей величин X и Y.

4. Найти моду и медиану для интервальных распределений X и Y.

5. Используя данные вариационных рядов, найдите статистические средние значения, дисперсии и средние квадратические отклонения X и Y. Используя середины интервалов и частоты интервалов, найти выборочные средние, выборочные дисперсии и выборочные средние квадратические отклонения X и Y. Сделать сравнение вычисленных величин.

6. Найти доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии величин X и Y в предположении о нормальном распределении с доверительной вероятностью B = 0,9.

7. Считая средние интервальные значения X и Y распределенными по нормальному закону распределения. вычислить для каждого интервала теоретические относительные частоты для X и Y. По найденным частотам построить на одном рисунке с гистограммой графики теоретических функций плотностей вероятностей случайных величин X и Y.

8. В случае качественного совпадения графиков эмпирических и теоретических функций плотностей вероятностей проверить гипотезу о нормальном распределении случайных величин X и Y с помощью критерии Пирсона при уровне значимости а = 0.05.

9. Используя интервальные ряды распределения. составить корреляционную таблицу.

10. Найти выборочный коэффициент корреляции в предположении линейной зависимости между X и Y.

11. Найти выборочные уравнения прямой линии регрессии Y на X и прямой линии регрессии X на Y. Построить их на корреляционном поле.