Контрольная работа по Математике на тему: "Числовые Ряды. Теория Вероятностей"

Контрольная работа № 3

Задача 1.

5.81-5.90.  Исследовать сходимость числового ряда ∑ ∞_n=1 a_n 

5.87. а) a_n = n+1 / n+3 . б) a_n = n2ⁿ/ n²+ 5
 

Задача 2.

5.91-5.100. Определить, абсолютно или условно сходится ряд ∑ ∞_n=1 a_n 

5.97. а) a_n = (-1)ⁿ  n+1 / 2n =1 . б) a_n = (-1)ⁿ⁺¹ (6n³ - 5) / 2n⁵ + 3n³ +n
 

Задача 3.

7.07. В урне 3 белых и 4 черных шара. Вынимают один шар, возвращают в урну, перемешивают, опять вынимают. Какова вероятность того, что были извлечены:

а) оба раза черные шары;    б) один раз – белый, второй – черный?
 

Задача 5.

7.21-7.30.  В урне m белых шаров и n черных. Случайным образом вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что шары:

а) оба белые;    б) оба черные;    в) один белый, а второй – черный?

Задача 6.

7.31-7.40. Студент идет сдавать экзамен, зная m вопросов из n. Чему равна вероятность у студента сдать экзамен, если для этого достаточно:

     а) ответить на  k вопросов из s;

     б) ответить на все s вопросов;

     в) ответить не менее чем на один вопрос?

Задача 7.

7.41-7.50. Производительность первого конвейера в k раз больше, чем второго. Первый конвейер допускает p%  брака, второй q% , брака. Детали с обоих конвейеров поступают на склад.

а) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет стандартна?

б) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет не стандартна?

в) Случайно выбранная на складе деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена на первом конвейере, на втором конвейере?

Задача 8.

7.51-7.60. В первом ящике находится N деталей, из которых M – стандартны. Во втором ящике находится n деталей, из которых m стандартны. Без проверки на стандартность перекладывается из первого ящика во второй k деталей. Какова  вероятность того, что случайно взятая из второго ящика деталь будет:

     а) стандартна;     б) не стандартна?                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Задача 9.

7.61-7.70. На клумбу посеяно n семян цветов одного сорта со всхожестью P. Полагая, что u – количество взошедших семян, найти вероятности событий: u=m; u<m; u³m; m₁£u£m₂; m₁<u<m₂; u³1; u<n.

P 60%
n  10 
m  5  
m_{1  3}
m_{2  6}
 

Задача 10.

7.71-7.80. Дискретная случайная величина задана таблицей. Найти неизвестную вероятность P_i, математическое ожидание M(X) и вероятность попадания случайной величины в интервал a⩽ X < B.

Задача 11.

7.81-7.90. Дискретная случайная величина задана таблицей. Найти неизвестное значение x_i , неизвестную вероятность P_i ,  дисперсию DX, среднеквадратичное отклонение s_x  и вероятность событий Х < MХ и Х ³ MХ.

7.87 MX = 0,75

Xi   0,3  0,6  0, 9 x₄   1,5
Pi  P1 0,4  0,2  0,1  0,1 
 

Задача 12.

7.91-7.100. Дана функция распределения F(x) случайной величины X.Найти плотность распределения вероятности f(x), математическое ожидание M(X) и вероятность попадания случайной величины в интервал x₁ ⩽ X < x₂ .

7.97. f(x) = {  0 ; x ⩽ -2 
        { 4-x² /4  ; -2  < x ⩽ 0
        { 1 ; x > 0

 

Задача 13.

7.101-7.110. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти плотность распределения вероятности f(x), математическое ожидание MX, дисперсию DX, среднеквадратичное отклонение s_x, построить графики функций F(x) и f(x), найти вероятность попадания случайной величины в интервал х₁ £ X £ x₂.

7.107 f(x) = {  0 ; x ⩽ 0
        { x² /4  ; 0  < x ⩽ 2
        { 1 ; x > 2

x₁ = 1; x₂ = 1,5

 

Задача 14.

7.111-7.120. Дана функция плотности распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр A, функцию распределения F(x), построить графики функций F(x) и f(x), вычислить математическое ожидание МX, дисперсию DX, среднеквадратичное отклонение s_x, вероятности событий X < x₀, X > x₀, x₁ £ X £ x₂.

f(x) = {  A(1-x²)  ; x ∈ (-1;1)
        { 0  ; x ∉ (-1;1)
     
x₀ =0; x₁ =- 0,5 ; x₂ = 0,5
 

Задача 15.

7.121-7.130. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения х₁ и х₂, причем х₁ < х₂. Известны вероятность P₁ возможного значения х₁, математическое ожидание МХ и дисперсия DХ. Найти закон распределения случайной величины Х.

Задача 16.

7.131-7.140. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а и s. Найти вероятности событий Х < А; X > B; А £X £ B; |X – a| < ts. Найти интервал [а – d, а + d], в который случайная величина попадает с вероятностью Р.

7.137

a    7
Q   2
A    3
B   10
t   1,0 
P  0,95