Вариационный ряд и статистическое распределение выборки

ВведениеМатематическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Говорят, что «математическая статистика – это теория принятия решений в условиях неопределённости». Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, что позволяет оценить надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).Предметом математической статистики является изучение случайных величин (событий, процессов) по результатам наблюдений (опытов, экспериментов). Можно выделить четыре основных задачи математической статистики: сбор, описание, упорядочение и предоставление в удобном для обозрения и анализа статистического материала (данных наблюдений и экспериментов);2) выбор и определение вида распределения для полученных в эксперименте наборов случайных величин;3) оценка параметров распределения (характеристик наблюдаемой случайной величины);4) проверка статистических гипотез, решение вопроса согласования результатов оценивания и опытных данных.Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX в. – начало XX в.) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышёву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учёными.Использование аппарата случайных величин позволяет заменить исходное множество событий на числовую прямую. В результате вероятностная модель абстрагируется от «несущественных» деталей и может быть использована для описания самых разных случайных явлений. Изучение случайных величин, возникающих в решении ряда прикладных и практических задач, способствует реализации значительного прикладного потенциала курса математики. Случайные величины служат средством моделирования недетерминированных систем, в силу чего овладение соответствующими понятиями и факторами направлено на формирование способностей принятия оптимальных решений в ситуациях неопределенности. Предметом данной работы является статистическая обработка результатов эксперимента. Ставится задача отработать навыки группировки статистических сведений, установить характер распределения данных, оценить его параметры.Теоретическая частьГлава 1. Теоретические основы математической статистики1.1 Понятие выборочной совокупностиПусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.В математической статистике принято правило: даже если генеральная совокупность конечна, все равно она считается бесконечной по объёму.К выборке предъявляют основное требование – выборка должна быть репрезентативна – правильно представлять генеральную совокупность. Для репрезентативности выборки требуется, чтобы отбор был случайным, при этом все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.1.2 Интервальное представление выборкиВ случае большого количества вариант и непрерывного распределения признака статистическое распределение выборки задают в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное число частичных интервалов (x0,x1), (x1,x2), …,(xk-1,xk) длиной ∆ xi и находят для каждого интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Таким образом получают интервальное статистическое распределение выборки:Интервал X(x0,x1)(x1,x2)…(xk-1,xk)nxn1n2…nkwxw1w2…wkДля графического представления интервального статического ряда используется гистограмма, устанавливающая зависимость частот от разрядов интервалов, в которые попадают значения случайной величины. Предполагаем, что длины интервалов равны ∆x=xi-xi-1=h (h – шаг распределения). На оси Ox отметим точки x1,x2,..,xk с шагом h друг от друга. На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой ni / h (плотность частоты). Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из этих прямоугольников. Поскольку площадь i-го частичного прямоугольника равна hnih=ni , то площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки n.Аналогично, для построения гистограммы относительных строят прямоугольники высотой wi/h. Площадь i-го прямоугольника равна hwih=wi-относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Поэтому, гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины X. 1.3 Основные числовые характеристики выборкиДля описания группирования и рассеивания наблюдаемых данных используются так называемые числовые характеристики выборочной совокупности. Эти числовые характеристики аппроксимируют соответствующие генеральные характеристики, т. е. являются их оценками. Таким образом, вместо числовых характеристик генеральной совокупности Х достаточно рассмотреть аналогичные выборочные характеристики. Выборочное среднее является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания. Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественно признака Х произведена выборка объема n.Если все значения признака выборочной совокупности различны, то выборочное среднее xB находится по формуле среднего арифметического: xB=1ni=1nxiЕсли данные представлены в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочного среднего целесообразно применить одно из следующих соотношений:для дискретного вариационного ряда: xB=i=1mxinii=1mni=i=1mxiwiдля интервального вариационного ряда: xB=i=1mzi*nii=1mni=i=1mzi*wi, где wi-относительная частота (частость), соответствующая i-й варианте или i-му частичному интервалу; – zi*-середина i-го частичного интервала, т.е. zi*=zi+zi+12, i=1,2,…,mВыборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от выборочной средней xBЕсли все значения признака выборочной совокупности различны, то дисперсия DB находится по формуле: DB=1ni=1n(xi-xB)2Если статистические данные сгруппированы, то формула принимает вид:DB=1ni=1n(xi-xB)2∙ni=i=1n(xi-xB)2∙wiВ результате преобразований, можно получить другую, более удобную при практических вычислениях, формулу выборочной дисперсии:DB=1ni=1nxi2∙ni-xB2=x2-xB2 Интервальные оценки параметров распределения1.4.1 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсииДля нахождения доверительного интервала строится статистика T=x-msn, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-1  независимо от значений параметров m  и σ2. Задается требуемый уровень значимости α. Применяется следующая формула расчета вероятности:PTσ02 строится правосторонняя область, критическая точка определяется как кр.2=кр.2α;k. Если 2<кр.2α;k, наблюдаемое значение критерия   2 не попадает в критическую область, на уровне значимости α нет оснований отвергать гипотезу H0: σ2=σ02.Для левосторонней гипотезы   σ2<σ02 строится левосторонняя область, критическая точка определяется как кр.2=кр.21-α;k Если 2>кр.21-α;k, наблюдаемое значение критерия   2 не попадает в критическую область, на уровне значимости α нет оснований отвергать гипотезу H0: σ2=σ02.Практическая частьГлава 2. Графическое представление выборкиВыборка объемом n=100 сформирована из исходных данных в соответствии с вариантом 8: диапазон значений 18-117.Таблица 2.1№123456789101190,8184,3166,7150,9165,6160174164,8171194,22192175153190,1139,3176,3159,5168170,8176,33189,4197170,8170,8163,6172,1175,3177,7165,3175,74174,6162,8178,5175,9156,9184186,2141162175,75192,3198,9167,9175,4178182179,5172,9176,2166,46184,6167,2172,5180,8172,5180,8167,7179,2176,2167,17206,7178,9172,9195,5200,8157,9199,3162,5159180,28177,3189,6176,8180,3175173,1185,9187,4178,8172,29186,3168,4177,9158183205,2166,3191,7178,1181,210190,8184,3166,7150,9165,6160174164,8171163,22.1 Максимальное и минимальное значение, размах заданной выборкиXmax =206,7;Xmin =139,3 Размах выборки: R = Xmax- Xmin =67,4 2.2. Деление выборки на интервалыЧисло интервалов: i=10Шаг(длина) интервала: h = Ri = 67,410 = 6,742.3 Вариационный ряд и статистическое распределение выборкиВариационный ряд n=100 представлен в таблице 2.2, выполнено ранжирование данных по возрастанию.Таблица 2.2№123456789101139,3141150,9150,9153156,9157,9158159159,52160160162162,5162,8163,2163,6164,8164,8165,33165,6165,6166,3166,4166,7166,7167,1167,2167,7167,94168168,4170,8170,8170,8171171172,1172,2172,55172,5172,9172,9173,1174174174,6175175175,36175,4175,7175,9176,2176,2176,3176,3176,8177,3177,77177,9178178,1178,5178,8178,9179,2179,5180,2180,38180,8180,8181,2182183184184,3184,3184,6185,99186,2186,3187,4189,4189,6190,1190,8190,8191,719210192,3194,2194,2195,5197198,9199,3200,8205,2206,7Статистическое распределение выборки представлено в таблице 2.3, данные распределены по 10 интервалам, найдены середины интервалов, частоты и относительные частоты.Таблица 2.3i∆i ni xiwi=ni/n 1[139,3; 146,04)2142,670,022[146,04; 152,78)2149,410,023[152,78; 159,52)6156,150,064[159,52; 166,26)12162,890,125[166,26; 173)21169,630,216[173; 179,74)25176,370,257[179,74; 186,48)14183,110,148[186,48; 193,22) 9189,850,099[193,22; 199,96)6196,590,0610[199,96; 206,7]3203,330,032.4 Эмпирическая функция распределения Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения – разрывная ступенчатая функция. Аналитическое выражение эмпирической функции распределения для дискретного числового ряда:F*x=0, x≤142,670,02, 138,49203,33Рисунок 2.1 Эмпирическая функция распределения ДСВДля интервального вариационного ряда эмпирическая функция распределения – кусочно-линейная функция, ее график совпадает с кумулятивной кривой. Аналитическое выражение эмпирической функции распределения для интервального числового ряда:F*x=0, x≤139,40,02, 139,4< x≤146,040,04, 146,04199,96 Рисунок 2.2 Эмпирическая функция распределения НСВ2.5 Полигон частотДанные для построения полигона частот:Таблица 2.4xi142,67149,41156,15162,89169,63176,37183,11189,85196,59203,33ni22612212514963Рисунок 2.3 Полигон частот2.6 Полигон относительных частотДанные для построения полигона относительных частот:Таблица 2.5xi142,67149,41156,15162,89169,63176,37183,11189,85196,59203,33wi0,020,020,060,120,210,250,140,090,060,03Рисунок 2.4 Полигон относительных частот2.7 Гистограмма частотДанные для построения гистограммы частот:Таблица 2.6∆i[139,3; 146,04)[146,04; 152,78)[152,78; 159,52)[159,52; 166,26)[166,26; 173)[173; 179,74)[179,74; 186,48)[186,48; 193,22)[193,22; 199,96)[199,96; 206,7]nih0,29670,29670,89021,78043,11573,70922,07721,33530,89020,44516042376241842100Рисунок 2.5 Гистограмма частот2.8 Гистограмма относительных частотДанные для построения гистограммы относительных частот:Таблица 2.7∆i[139,3; 146,04)[146,04; 152,78)[152,78; 159,52)[159,52; 166,26)[166,26; 173)[173; 179,74)[179,74; 186,48)[186,48; 193,22)[193,22; 199,96)[199,96; 206,7]wih0,00300,00300,00890,01780,03120,03710,02080,01340,00890,0045Рисунок 2.6 Гистограмма относительных частотГлава 3. Точечные оценки параметров распределенияДля нахождения точечных оценок параметров распределения заполним вспомогательную расчетную таблицуТаблица 3.1xinixinixi2ni(xi-x)2∙ni142,672285,3440709,462102,03149,412298,8244646,701318,86156,156936,9146296,942152,21162,89121954,68318397,831785,90169,63213562,23604261,07625,91176,37254409,25777659,4241,00183,11142563,54469409,81900,62189,8591708,65324387,201960,88196,5961179,54231885,772773,65203,333609,99124029,272392,59 10017508,93081683,4616053,663.1 Выборочное среднееxB=1ni=1kxini=1100∙17508,9=175,093.2 Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонениеDB=1ni=1kxi-x2ni=1100∙16053,66=160,54DB=1ni=1kxi2ni-x2=1100∙3081683,46-175,092=160,54 σB=DB=160,54=12,67 3.3 Исправленные выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонениеs2=nn-1∙DB=10099∙160,54=162,16s=s2=162,16=12,73Итоговая таблица значений точечных оценок параметров распределенияТаблица 3.2xBDBσBs2S175,09160,5412,67162,1612,73Глава 4. Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величиныВыборка для n = 20 представлена в таблице 4.1Таблица 4.1№123456789101190,8184,3166,7150,9165,6160174164,8171194,22192175153190,1139,3176,3159,5168170,8176,3Вариационный ряд n=20 представлен в таблице 4.2.Таблица 4.2№123456789101139,3150,9153159,5160164,8165,6166,7168170,82171174175176,3176,3184,3190,1190,8192194,2Точечные оценки параметров распределения для n = 20:xв=1ni=1kxi=(139,3+150,9+…+194,2)/20=171,13 DB=1ni=1kxi-x2==120∙[(139,3-171,13)2+(150,9-171,13)2+…+(194,2-171,13)2]=203,76DB=1ni=1kxi2-x2=1100∙589785-171,132=203,76σB=DB=203,76=14,27s2=nn-1∙DB=2019∙203,76=214,48s=s2=214,48=14,65Итоговая таблица значений точечных оценок для n=20:Таблица 4.3xBDBσBs2S171,13203,7614,27214,4814,65 4.1 Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении с надежностью 0,95Доверительный интервал для математического ожидания a при неизвестном СКО имеет вид: x-tγsn170По таблице распределения Стьюдента найдем критическую точку для правосторонней критической области (при гипотезе H1: a>170) по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=n-1: tkrRα=0,05;k=n-1=19=1,729Так как |tнабл|tkrL, на данном уровне значимости нет оснований отвергать гипотезу a=a0, значение математического ожидания генеральной совокупности не меньше числа 170.Результат проверки альтернативных гипотез №2,3 ожидаем, так как ранее было доказано, что на уровне значимости 0,05 любое предположение о неравенстве a≠170 должно быть отвергнуто, а эти гипотезы являются частными случаями этого утверждения.5.3 Нулевая гипотеза о величине генеральной дисперсии и проверка трех альтернативных гипотез Сформулируем нулевую гипотезу о величине генеральной дисперсии H0: σ2=σ02. В качестве гипотетического числового значения принимаем значение исправленной выборочной дисперсии, округленное до ближайшего целого числа, кратного 5: σ02=215. Для сравнения неизвестной генеральной дисперсии σ2 с гипотетическим числовым значением σ02, используется критерий 2 с k=n-1 степенями свободы2=(n-1)s2σ02 =20-1∙214,48215=18,95Альтернативная гипотеза №1 H0: σ2=σ02H1: σ2≠σ02Для гипотезы H1: σ2≠σ02  строим двустороннюю критическую область.Определяем левую и правую критические точки:kr L2=kr21-α2;k;krR.2=kr2α2;kkrL2=kr20,975;19=8,91; krR2=kr20,025;19=32,9kr20,975;19<2σ02Для гипотезы   σ2>σ02 строится правосторонняя область, критическая точка определяется как kr2=kr2α;k :kr20,05;19=30,142kr20,95;19; следовательно, наблюдаемое значение критерия   2=18,95 не попадает в критическую область, на уровне значимости α=0,05 нет оснований отвергнуть гипотезу H0: σ2=σ02 в пользу альтернативной.Как и при проверке гипотез о величине генеральной средней, при проверке альтернативных гипотез №2,3 получен ожидаемый результат, так как ранее было доказано, что на уровне значимости 0,05 любое предположение о неравенстве σ02≠215 должно быть отвергнуто, в том числе σ02>215, σ02<215. ЗаключениеКурсовая работа посвящена обработке двух выборок объема n=100;n=20 из непрерывной генеральной совокупности. Данные приведены к удобному для изучения виду: построены вариационный и статистический ряды распределения, исходные данные представлены графически в виде гистограммы и полигона частот, графиков эмпирической функции распределения. По сгруппированным данным вычислены основные числовые характеристики. Исходя из графического представления выборки выдвинута и проверена с помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0,05 гипотеза о нормальном распределении. Установлено, что сгруппированные данные имеют нормальный закон распределения при заданном уровне значимости.Построены 95% доверительные интервалы для параметров распределения генеральной совокупности.Сформулированы и проверены на 5 % уровне значимости статистические гипотезы о параметрах и свойствах исследуемой выборки генеральной совокупности, а именно: гипотезы о равенстве генеральной средней и генеральной дисперсии гипотетически предполагаемым числовым значениям. Рассмотрены способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате проведенного эксперимента. Освоены и использованы методы математической статистики (графическое представление выборки, точечные оценки, интервальные оценки, критерий согласия Пирсона).Расчетно-графическая работы выполнена полностью в соответствии с вариантом 8 индивидуального задания. Список использованной литературыГмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов/В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2004. 154-308 с.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. 81-260 с.Нахман А.Д. Элементы теории случайных величин в содержании математического образования // Научное обозрение. Педагогические науки. – 2018. - № 3. – с. 34 – 47.