Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Часть 1.

Задача 1. Вычислить определители.

1.05 а) /|1/6  2/ 9|
             | 3/4  5/3|

б)  | - 3  0   1|
     | 0   2   -1|
     | 1   1  2|

Задача 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

 { 3x - y = 2
 { x + y = 4

 

Задача 3. Решить  систему линейных уравнений тремя методами:

 a) по формулам Крамера;

   б) методом Гаусса;

 в) с помощью обратной матрицы.

{ -4x₁ + 2x₂  + x₃ = 11
{  4x₁ + x₂ - x₃ = 8
 { -x₁ - 2x₂ - x₃ = 6

 

Задача 4. Исследовать (по теореме Кронекера - Капелли) совместность и решить систему линейных уравнений.

{ x₁ - 5x₂  +2x₃ + 4x₄ = 2
{ 7x₁ + 4x₂  +x₃ + 3x₄ = 5
{ 5x₁ + 7x₂ - 4x₃ -6x₄ = 3

Задача 5. При каких  А  и  В  система имеет бесчисленное  множество  решений? Найти эти решения.


{ x + 3y + Az = 3
{ 5x - 6y  -7z = B
{ 7x - 12y - 5z = - 12

 

Часть 2.

Задача 6.

6.05 Даны векторы a(-1;2;1); b(0;4;2).  Найти a x b и косинус угла между этими векторами.

Задача 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M;K;L  в виде Ax + By + Cz + D = 0 

M(3;0;0); K (1; -1;1); L (0;1;1).

Задача 8   Даны 4 вектора a;b;c;d Вычислить:

1) координаты вектора d в базисе a;b;c;

2) ab;

3) cd;

4) (2a + 3b)(5c  -4d);

5) a x b;

6) c x d;

7) (a x c) d

a( 1;-7;-5); b ( 4;8;1); c( 3;-1;5); d (-2;5; -1).

 

Задача 9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B  в виде y = kx +b, построить эту прямую.

A (4;2;); B (-1;3);

 

Задача 10. Даны вершины треугольника A;B;C. Найти:

1) длину стороны AB;

2) уравнение стороны AB;

3) длину медианы AM;

4) уравнение медианы AM;

5) уравнение высоты BH;

6) длину высоты BH;

7) площадь треугольника;

8) угол BAC (в градусах);

9) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через точку A.

В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y = kx +b. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

A (0;5); B (-3;-2); C (8;3); 

Задача 11. Написать уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, проходящей через точку M параллельно векторам a и b.

M (3;0;0); a (1;-1;1); b (0;1;1).
 

Задача 12.  Даны вершины пирамиды SPMN Найти:

1) длину ребра SN;

2) уравнение ребра SN;

3) уравнение грани SPN;

4) площадь грани SPN;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

6) длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

7) угол между ребрами SP и SN (в градусах);

8) угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах);

9) объем пирамиды.

В ответах надо  приводить  уравнения плоскостей  и  прямых  в  виде Ax + By + Cz + D = 0 и x-x0 / m  = y-y0/ n  = z-z0 / p. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

S (5;0;0);  P(0;1;0); M (0;0;4); N (1;2;6).

 

Задача 13.  Записать комплексное число  в алгебраической форме и найти его модуль.

z = 1+ i / 1 -i

 

Задача 14. Дано комплексное число . Требуется:

a) записать число  в алгебраической, тригонометрической и          показательной формах;

б) изобразить   на комплексной плоскости;

в) вычислить a¹²;

г) найти все корни уравнения z³ - a = 0;

д) вычислить произведение полученных корней;

е) составить квадратное уравнение с действительными

коэффициентами, корнем которого, является a. 

a = -2√2i / 1+ i

 

Часть 3.

Задача 1.5 Для заданной функции найти точки разрыва, если они существуют, и построить график.

.

f(x) = {  -1; x < 0
        { - sinx ; 0  ⩽ x  ⩽ П/ 2
        { П/ 2 + x ; x > П/ 2

Задача 16.  Найти пределы функций.

1) lim x → П/4  1+cos4x /1 -sin2x

2)  lim x → ∞ 3 ^1/x  - 2x³ / 1 -3x² 

3)   lim x → 2 arcsin ( x -2) / x² - 2x

4)  lim x → 0 (1/ x+1) ^1/x 

5) lim x → 7  2 - √x-3 / x² - 49

Задачи 17. Найти производные функций.

1) y = 6x¹⁰¹

2) y = √ x⁷

3) y = 3x³  - 2ctg x/2

4) ( 1-x²) e^2x

5) 5x + 1/ 6x -1

Задачи 18.  Найти производные функций.


1)  y = 4x³  + 2√ 4x+3  - 3/ ³√ x³  - 1/x³  +1 

2) y = arccos /x

3) y = ln (e^x + √ 1+ e^-2x)

4) y = x² * e ^{1/2 2}

5) y = arctg √x² - 1

6) y = 2^sin(x2)

 

Задачи 19. Найти производные функций.

1) arctg x / √ 1-x²

2) y = x^{ctg 2x}

3) y =  { x = sint/ 1+ sint
           {  y = cost / 1+ sint

4) (e^x- 1) (e^y -1) =xy

Задача 20. Найти экстремумы и промежутки монотонности функций; построить графики функций.

y = 2x² + 5x -3

Задача 21. Исследовать функции методами дифференциального  исчисления  и построить их графики.

1) y = x² - 3x + 5/ x² -4x + 7

2) y = x² - 6x +9 / x-2