Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Линейная алгебра

№ 1

Даны матрицы

А = ( - 2  1  0)      B = ( 5   1  -1)          E = ( 1 0  0)
      ( 3   -1  3)             ( 0  2  -2)                 ( 0  1  0)
      (2   1   -2)             ( 1  -1  3)                (0   0  1)

Найти матрицу D

D = 2BA  - AE  + 2B  - 2A

 

№ 2

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) по формулам Крамера;

б) методом Гаусса;

в) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

{ x₁ - x_{2  +} 2x₃ = 4 
{  2x₁ - 3x₂ + 4x₃ = -1
{ 3x₁+ 2x₂ + x₃ = 2

 

Аналитическая геометрия

№ 3

Даны вершины треугольника АВС: A(x1,  y1),  B(x2,  y2),  C(x3,  y3).  Построить треугольник в декартовой системе координат.  

Найти:

 а) уравнение стороны ВС;   

б) длину стороны ВС;  

в) уравнение высоты АН;  

г) уравнение медианы ВМ;  

д) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС;  

е) уравнение окружности, диаметром которой является сторона АС.

Координаты точек: А (–3; 0), В (9; 9), С (7; –5)

№ 4

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить:

а) вид кривой;  

б) полуоси;  

г) координаты вершин и фокусов;  

д) эксцентриситет.  

Построить кривую.

Уравнение кривой:  x² + 4y²  =16
 

№ 5
1-60. Даны точки A1, A2, A3. Средствами векторной алгебры найти:
a) координаты векторов a=A1​A2​​ и b=A1​A3​​;
б) координаты вектора c=ma+nb;
в) длину (модуль) вектора c;
г) скалярное произведение векторов b и c;
д) косинус угла между векторами b и c;
е) направляющие косинусы вектора c;
ж) векторное произведение вектора a на вектор b;
з) площадь ΔA1​A2​A3​;
и) уравнение плоскости, проходящей через точки A1​, A2​, A3​.

Координаты точек: A1​(5;4;4), A2​(−5;2;3), A3​(4;2;−5), m=2, n=−1.

 

Теория пределов

№ 6

Найти пределы 1 (а, б, в, г) и предел 2, не пользуясь правилом Лопиталя.

Предел 1:

lim x→ x₀ 3x² + x - 14 / x³ - 3x² + 2x

а) x₀ = 1
б)x₀ = 2
в)x₀ = + ∞
г) x₀ = - 7/3


 lim → 0 sin5xtg4x/ 3x² 
 

№ 7

Дана функция и два значения аргумента 1x и 2x. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента.

y = x-3/ x² - 4x -5

x1 = 2; x2 = 4

 

Дифференциальной исчисление

№ 8

Найти 1) производные ay/ dx  для функций а), б), в), г),  2) дифференциал dy  для функции д)

а) y = ³ √ 7x - 2/x² + 2
б) y= arcsin4x/ 1-7x
в) y = tgx/2 * e^{1- cosx}
г) y = 1/8arctg ³(  √x)+  √10
д) y = ln( ctg * 2- x/ √x)

 

№ 9

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

 lim x → 0 3^2x - 5 ^3x / arctgx + x²

 

№ 10
111–120.

1. Исследовать функции а), б) методом дифференциального исчисления и построить графики.

2. Для функции а) найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b].

Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции D(y). Указать точки разрыва, если они есть, и найти вертикальные асимптоты.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат, если они существуют.

4. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции.

6. Найти наклонные асимптоты.

7. Построить график.
   
    

   Функция нескольких переменных

   № 11
   
   1) Найти частные производные первого порядка qz/ qx и  qz / qy функции z = f(x;y)
   2) Доказать, что q²z / qxqy = q²z / qyqx
   
   Функция: z = 2 cos (2x³  -4y²)  - 12x³ y + 2x
    

   Задание №12
   Дана функция z=f(x;y), точка A(x0​,y0​) и вектор l.
   Найти:

1)градиент функции в точке A;

 2) производную функции в точке A в направлении вектора l.

Функция:
z=5x²y−xy²+6y−3x, l = 6i - 8j

Задание №13
Экспериментально получены пять значений функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y=ax+b, выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию y=f(x). Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график функции Y=ax+b.

Значения аргументов (x) и значения функции (y):
 

x1.1  1.3  1.7​​  1.9  2.2
y​​1.3  1.4​   1.5  1.6​   ​1.7