Анализ и синтез системы автоматического управления

Учебными планами направления 13.03.02 и специальности
130400 (21.05.04), а также соответствующими программами дисциплины
«Теория автоматического управления» предусмотрено выполнение курсовой
работы. Выполняя курсовую работу, требуется понять основные теоретические
положения дисциплины и освоить ряд технических приемов расчета
автоматических систем управления.
В курсовой работе необходимо выполнить комплекс расчетов
автоматической системы управления, заданной в виде обобщенной
унифицированной алгоритмической схемы. В зависимости от варианта задания
это будет система, изображенная на рис. В.1 или на рис. В.2. Система состоит
из объекта управления ОУ, преобразующего элемента ПЭ, исполнительного
устройства ИУ, управляющего устройства УУ и одного корректирующего
устройства КУ, включенного либо последовательно, либо встречно-
параллельно в основной контур системы. Кроме того, в основной контур
системы, изображенной на рис. В.2, включен усилительный элемент УЭ. В
зависимости от варианта задания исполнительное устройство системы ИУ
может рассматриваться как идеальное интегрирующее звено или как
инерционное звено первого порядка (без множителя р). Соответственно вся
система будет астатической или статической.
Выходная величина объекта х (управляемая величина системы)
зависит от управляющего воздействия у и возмущающего воздействия z.
Требуемый закон изменения величины х определяется задающим воздействием
х 3 .
Из-за действия обоих входных сигналов и из-за инерционности
элементов системы в замкнутом контуре в переходных и установившихся
режимах возникает сигнал отклонения (сигнал ошибки) ε, который
складывается из двух составляющих: составляющей ε з , обусловленной
неточным воспроизведением задающего воздействия, и составляющей ε z
обусловленной неполным подавлением возмущающего воздействия.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
Задание на курсовую работу
Для автоматической системы, алгоритмическая схема которой приведена на
рис. В.1, выполнить следующие расчёты:
1. При заданных параметрах линейной системы оценить точность в
установившемся режиме.
При неудовлетворительной точности выбрать значение передаточного
коэффициента К у , обеспечивающее требуемое значение сигнала
ошибки.
2. С помощью заданного критерия проверить устойчивость линейной
системы при заданных и выбранных параметрах.
3.По требуемым показателям качества в переходном режиме определить
структуру и параметры корректирующего устройства.
4. Методом D-разбиения построить область устойчивости по пара-
метрам (см. табл. 1.4) для скорректированной системы.
5. На ЦВМ получить график переходного процесса по заданному каналу (см.
табл. 1.4) и сравнить полученные показатели качества с требуемыми.
6. Для замкнутой скорректированной системы вычислить квадратичную
интегральную оценку по каналу (см. табл. 1.4) и определить оптимальное
значение коэффициента К у .

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
Выбор исходных данных
Исходные параметры и сама система выбираются по шифру 216.

Цифра, стоящая в разряде сотен, определяет способ включения
корректирующего устройства и, вследствие этого, выбор исследуемой системы:
для цифры 2 - последовательное включение (рис. В.1).

Рис. В.1. Алгоритмическая схема автоматической системы управления (для вариантов 0-4)

Цифра, стоящая в разряде десятков, определяет: по табл. 1.4 -
применяемый критерий устойчивости; параметры, в пространстве которых
необходимо построить область устойчивости; канал системы, по которому
необходимо оценить качество управления в установившихся и переходных
режимах.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Цифра, стоящая в разряде единиц, определяет вариант пара-
метров элементов (табл. 1.2, а, б) и вариант параметров внешних
воздействий и требуемых показателей качества (табл. 1.3, а, б). Для нечетных
цифр Т и задана и исполнительное устройство рассматривается как инерционное
звено 1 порядка.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
1. Оценка точности в установившемся режиме

Точность статической системы в установившемся режиме оценивают при
ступенчатом воздействии. Для вычисления значения сигнала ошибки в устно-
вившемся режиме следует воспользоваться теоремой Лапласа о конечном
значении оригинала.
Записываем передаточную функцию замкнутой системы по заданному
каналу воздействия x з – ε:

Изображение входного сигнала по Лапласу:

Тогда установившееся значение ошибки:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

По условию (см. табл. 1.3 а), ошибка не должна превышать значение 0,45.
Значение ошибки при исходных коэффициентах составляет 0,645, т.е., в больше
требуемого значения.
Следовательно, для обеспечения требуемого значения ошибки,
коэффициент усиления k y должен быть увеличен и принять значение 22.

Установившаяся ошибка:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Установившаяся ошибка удовлетворяет заданному значению,
следовательно, коэффициент передачи выбран верно.

2. Проверка устойчивости исходной системы
По условию, проверка устойчивости должна быть осуществлена с
использованием критерия Гурвица.
Оценка устойчивости должна быть произведена для исходной системы и
системы с выбранным новым коэффициентом передачи k y .
Запишем характеристические полиномы замкнутой системы -
знаменатели ПФ - для исходной системы (1) и системы с изменённым
коэффициентом передачи (2):

По необходимому условию Гурвица, все коэффициенты
характеристического полинома должны быть положительными. Необходимое
условие устойчивости выполняется.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

По достаточному условию устойчивости, все определители матрицы
Гурвица должны быть положительными. Формируем матрицу Гурвица:
Из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы
a 0 р n + a 1 р n-1 + … + a n = 0 составляется таблица, называемая матрицей Гурвица по
следующему правилу:
1) по диагонали сверху вниз записываются все коэффициенты, начиная с a 1 до
a n в порядке возрастания индексов;
2) столбцы дополняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами,
вниз коэффициентами с убывающими индексами;
3) на месте коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля
проставляются нули.

Формируем матрицу Гурвица и рассчитываем определители исходной
системы:

Формируем матрицу Гурвица и рассчитываем определители системы с
новым коэффициентом передачи:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

В первом случае, определители всех 3 порядков положительные; во
втором случае определители 2 и 3 порядков отрицательные.

Таким образом, исходная система устойчива; скорректированная система
неустойчива.

3. Расчёт последовательного корректирующего
устройства
ПФ разомкнутой системы c исправленным коэффициентом передачи:

До первой частоты сопряжения ω 1 = 1/1,8 = 0,556 асимптотическая ЛАЧХ
системы будет идти под наклоном «0 дБ/дек» и принимать значение L(ω) =
20·lg(19) = 25.575 дБ.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

После первой частоты сопряжения ЛАЧХ будет идти под наклоном «-20
дБ/дек».
После второй частоты сопряжения ω 2 = 1/0,6 = 1,667 ЛАЧХ будет идти
под наклоном «-40 дБ/дек».
После третьей частоты сопряжения ω 3 = 1/0,2 = 5 ЛАЧХ будет идти под
наклоном «-60 дБ/дек».

Построим асимптотическую ЛАЧХ исходной системы:

Рис. 3.1. ЛАЧХ нескорректированной системы

Далее по заданным требованиям определяем параметры желаемой ЛАЧХ:

Далее строим желаемую ЛАЧХ на одном графике с ЛАЧХ
нескорректированной системы: (для упрощения расчета немного изменим
частоту среза)

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Рис. 3.2. Желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ нескорректированной системы

ЛАЧХ КУ:

Рис. 3.3. ЛАЧХ КУ

По ЛАЧХ КУ восстанавливаем ПФ КУ:

Схема КУ:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Рис. 3.4. Реализация последовательного КУ

Далее определим запасы устойчивости скорректированной системы.
Запишем ПФ разомкнутой скорректированной системы после ввода КУ:

Выражения ЛАЧХ и ЛФЧХ:

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ желаемой системы и определим запасы
устойчивости по амплитуде и фазе:

Рис. 3.5. ЛАЧХ и ЛФЧХ желаемой системы

Определяем запасы устойчивости:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
4. Построение области устойчивости скорректированной
системы

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Ранее мы определили ПФ разомкнутой скорректированной системы:

Запишем ПФ разомкнутой системы без учёта текущего коэффициента
передачи K = 19:

Характеристический полином замкнутой системы может быть определен
как сумма полиномов числителя и знаменателя разомкнутой системы:

Выразим коэффициент передачи k:

Проведём в правой части замену р = i·ω:

Выделяем вещественную и мнимую составляющую:

Строим область D-разбиения по параметру k:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Рис. 4. Область устойчивости замкнутой скорректированной системы по параметру k

Замкнутая система будет устойчива при -1 < k < 61,503.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
5. Построение графика переходного процесса и оценка
качества переходного процесса
Запишем ПФ замкнутой скорректированной системы по каналу x з – x:

Используя пакет MathCAD, найдём выражение переходной
характеристики:

График переходного процесса:

Рис. 5. Переходная характеристика скорректированной системы по каналу x з – x

Основные показатели качества:
Установившееся значение: 0,95; Статическая ошибка: 0,05
Перерегулирование: 35%; Время регулирования: t p = 1,75 c;
Число колебаний: N = 2

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
6. Вычисление и минимизация интегральной оценки при
типовом воздействии
Запишем ПФ замкнутой скорректированной системы по каналу x з – ε без
учёта текущего коэффициента передачи k рк = 2:

Выражение для изображения переходной составляющей управляемой
величины:

Выражение квадратичной оценки по равенству Парсеваля:

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.

Находим определители Δ и Δ v :

Тогда значение квадратичной оценки:

Построим график зависимости Q кв (k):

Рис. 6. Зависимость квадратичной оценки от коэффициента передачи разомкнутой системы

Анализируя график Q кв (k), определяем, что квадратичная оценка будет
минимальна при K рк = 42.

Да
та
Подп
ись
№
док
.
Л
и
с
т

2
-
2
-
Ли
ст

Ко
л.у
ч
Из
м.
Литература

1. http://edu.alnam.ru/book_b_tau.php?id=55
2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория
автоматического управления техническими системами: Учеб. Пособие. – М.:
Изд-во МГТУ, 1993. – 492 с., ил.
3. Леонов Р. Е. Решение типовых линейных задач в системе МАТЛАБ:
учебное пособие / Р. Е. Леонов. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2012. 168 с.
4. Лукас Л. А., Барановский В. П. Теория автоматического управления.
Часть 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества линейных
непрерывных систем управления: курс лекций / В. А. Лукас, В. П. Барановский.
Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2007. 226 с.
5. Лукас В. А., Барановский В. П. Основы теории автоматического
управления: учебное пособие / В. А. Лукас, В. П. Барановский. Екатеринбург:
Изд-во УГГУ, 2007. 190 с.