Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Задача 1. Вычислить определители.

а) |2/5  3/10|    б) |0  -1  2|
     | 1\3  5/2|         | 3  1  1|
                             | -1  0 1|

 

Задача 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

{x + 4y = 5
{ 2x-y = 3

 

Задача 3. Решить  систему линейных уравнений тремя методами:

 a) по формулам Крамера;

   б) методом Гаусса;

 в) с помощью обратной матрицы.


        {12 x₁   + 2x₃ = -2
        {  8x₁ +x₂ - x₃ = 4
        { -20x₁ + 4x₂ -x₃ = -11

 

Задача 4. Исследовать (по теореме Кронекера - Капелли) совместность  и решить систему линейных уравнений.

{ 2x₁ + x₂  - x₃ -  x₄ +x₅ = 1
{ x₁ - x₂  + x₃ + x₄  -2x₅ = 0
{ 3x₁ + 3x₂  - 3x₃ - 3x₄ + 4x₅ = 2
{ 4x₁ + 5x₂  - 5x₃ - 5x₄ + 7x₅ = 3

Задача 5. При каких  А  и  В  система имеет бесчисленное  множество  решений? Найти эти решения.

{4x+3z = 4
{ Ax + 5y + 12z = 11
{ 3x + 5y + 6z = B
 

Задача 6.

6.02 Даны векторы a (4;1; √2); b ( 2;-1;  √2)  Найти ab; a x b  и длину a.

Задача 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M;K;L в виде Ax + By + Cz +D = 0.
M (-1;3;1); K (2;1;1); L (0;0;1)

 

Задача 8   Даны 4 вектора a;b;c;d Вычислить:

1) координаты вектора d в базисе a;b;c;
2) ab
3) cd
4) a x b
5) c x d
6) ( ax c) d

a ( 5;2; -7); b ( -8;-1; 0); c ( 5;-1;-4); d (-6;3;11)

Задача 9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B в виде y = kx + b, построить эту прямую.

A (0;3); B ( 1;1)

 

Задача 10. Даны вершины треугольника A,B.C. Найти:

1) длину стороны AB;

2) уравнение стороны AB;

3) длину медианы AM;

4) уравнение медианы AM;

5) уравнение высоты BH;

6) длину высоты BH ;

7) площадь треугольника;

8) угол BAC (в градусах);

9) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через точку A.

В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y = kx +b . Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

A (4;2); B(0;5); C( -3;-7)

Задача 11. Написать уравнение плоскости в виде Ax + By +Cz + D = 0, проходящей через точку M параллельно векторам a и b.

M (-1; 3;1); a (2;1;1); b(0;0;1)
 

Задача 12.  Даны вершины пирамиды SPMN Найти:

1) длину ребра SN;

2) уравнение ребра SN;

3) уравнение грани SPN;

4) площадь грани SPN;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

6) длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN;

7) угол между ребрами SP и SN (в градусах);

8) угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах);

9) объем пирамиды.

В ответах надо  приводить  уравнения плоскостей  и  прямых  в  виде Ax + By +Cz + D = 0 и  x-x0 / m = y- y0 / n = z-z0 / p. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.

S (2;0;0); P(0;2;0); M (0;0;3); N (8;5;8)

Задача 13.  Вычислить комплексное число zи найти его модуль.

z = 1/ 1- i √3 -1

 

Задача 14. Дано комплексное число a. Требуется:

a) записать число a в алгебраической, тригонометрической и  показательной формах;

б) изобразить  a  на комплексной плоскости;

в) вычислить a¹²;

г) найти все корни уравнения z³ -a = 1;

д) вычислить произведение полученных корней;

е) составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
корнем которого, является a.


a = i /  √3  -i

 

Задача 15. Для заданной функции найти точки разрыва, если они существуют, и построить график.

f(x) = {  -(x +1) ; x ⩽ -1
        { (x+1)² ; -1 < x ⩽  0
        { x ; x > 0

Задача 16.  Найти пределы функций.

1) lim x → 0  √1+ x² -1 / 3x² + 4x³

2) lim x → ∞  √ x² + 4 / ³ √ x³⁺²

3)   lim x → ∞  ( x-1 / x+1) ^x

4)  lim x → 0 (x³ln²x)

Задачи 17. Найти производные функций.

1) y = 3x⁴
2) y = √x /6
3) y = e^2x /2 + 5tg (4-2x) = 3lnx
4) x⁶cosx / 3
5) 2x +3 / x-5

Задачи 18.  Найти производные функций.

1) y = 5 ⁵√1- 4 + 2/ √x -x_² + 1 
2) y = √ x+√x
3) y = arcsin(tgx)
4) y = lnx / √ 1- e^-2x
5) y = 2 ^sin3 4x
6) y = arctg4x / 1 -5x

Задачи 19. Найти производные функций.

1) y = √ 1x-4² arcsinx
2) y = (cosx) ^tg3x
3)  y =  { ln (1+ t²) 
            { y = t - arctgt

Задача 20. Найти экстремумы и промежутки монотонности функций; построить графики функций.

y = x³ + 5/2 x² -2x

Задача 21. Исследовать функции методами дифференциального  исчисления  и построить их графики.

1) y = x² + 5x +9/ x² + 4x +7

2) y = x² - 7x + 11 / x-2