Основные положения классического дисперсионного анализа

ВведениеВо многих педагогических исследованиях возникает вопрос – в какой мере оказывает влияние тот или иной фактор или комбинация факторов на рассматриваемый признак. Если необходимо исследовать значимость причинно-следственной связи между некоторым контролируемым по интенсивности фактором (или несколькими факторами) и его влиянием на признак, применяются методы дисперсионного анализа. Исследователь выбирает, что отнести к причине, а что к следствию - выдвигая экспериментальную гипотезу. Для проверки гипотезы организовывается эксперимент, получив соответствующие экспериментальные данные и подвергнув их дисперсионному анализу, можно либо подтвердить экспериментальную гипотезу, либо получить ее опровержение (если окажется, что влияние фактора не превышает обычного статистического разброса данных). Научно обоснованное решение подобных задач при некоторых начальных предположениях составляют предмет дисперсионного анализа, методы которого разработаны английским математиком Р.А. Фишером [1].Цель работы: изучить основы дисперсионного анализа.Задачи:изучить понятия дисперсионного анализа;решить задачи с помощью однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа;сделать выводы о значимости факторов.Курсовая работа состоит из введения, двух частей, заключения, списка литературы. В теоретической части представлены основные положения классического дисперсионного анализа, в практической части приводится постановка и решение задач дисперсионного анализа с помощью средств MS Exel.1 Теоретическая часть1.1 Основные положения классического дисперсионного анализаДисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результаты эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов [2]. В дисперсионном анализе приняты следующие термины:различаемая из множества аналогичных по смыслу переменная, которую исследователь выдвигает в качестве причины, называется фактором; фактор может измеряться с помощью любой шкалы, включая номинативную;возможные количественные значения фактора называется градациями (или уровнями); при измерении фактора по номинативной шкале (качественные различия фактора) обычно используется иной термин - условие действия фактора; общее число градаций (условий) конечно, но не менее трех;измеряемое по какой-либо шкале (начиная с порядковой) следствие действия фактора называется результативным признаком (или просто признаком); все измерения по всем градациям фактора составляют генеральную совокупность;результаты измерений признака, разбитые по градациям фактора, называются дисперсионным комплексом;данные (значения признака), относящиеся к отдельной градации фактора, называются ячейкой дисперсионного комплекса; ячейка является выборкой генеральной совокупности;дисперсионный комплекс, во всех ячейках которого находится одинаковое число измерений признака, называется равномерным.Идея метода дисперсионного анализа состоит в сравнении фактической изменчивости признака (она называется вариативностью) с изменчивостью, которая может возникнуть вследствие действия случайных (неконтролируемых) факторов [3]. Мерой «закономерной» вариативности служит некоторая величина, связанная с изменением средних по анализируемым выборкам значений признака при изменении фактора. Мерой «случайной» вариативности является статистическая оценка разброса среднего в выборках. Отношение этих величин составляет экспериментальное значение критерия Фишера F; чем выше вариативность, обусловленная действием фактора, тем больше значение F; при его превышении некоторого критического (табличного) значения влияние фактора на признак следует считать достоверно доказанным.Проверяемые гипотезы:Н() – Средние значения исследуемого результативного признака одинаковы для всех градаций фактора.Нр – Средние значения исследуемого результативного признака достоверно различаются при разных градациях фактора.Дисперсионный анализ является параметрическим статистическим методом; он основывается на двух предположениях (исходных положениях), которые можно считать условиями применимости данного метода:нормальный характер распределения признака в дисперсионном комплексе;равенство дисперсий (или средних квадратических отклонений) признака.Требование равенства дисперсий можно заменить требованием равномерности дисперсионного комплекса. Таким образом, применению дисперсионного анализа должна предшествовать проверка нормальности и уравновешивание дисперсионного комплекса. Последняя операция состоит в том, что в случае, когда число измерений признака не совпадает, нужно случайным образом отбросить лишние значения и добиться равномерности комплекса.Дисперсионный анализ позволяет зафиксировать факт изменения признака под действием фактора, но не направление изменения. Для определения направления необходимо произвести численное сопоставление данных дисперсионного комплекса либо представить их графически.1.2 Однофакторный дисперсионный анализОднофакторный дисперсионный анализ применяется для того, чтобы выяснить, влияет ли фактор Х на случайную величину Y. Предположим, что случайная величина Y имеет нормальный закон распределения вероятностей с дисперсией σ2.Пусть на некоторый признак Y воздействует фактор A, который имеет m постоянных уровней. Число наблюдений на каждом уровне n1, n2,…nm. Данные имеют вид, представленный в таблице 1.Таблица 1Уровень фактора AРезультативный признак Групповаясредняя A1, ,…, A2, ,…, ………Am, ,…, Гипотезы: H0: различия между уровнями фактора не превосходят случайные различия, т.е. исследуемый фактор не влияет на результативный признак. Это означает, что уровни фактора не влияют на общее среднее значение результатов эксперимента, т. е.:H0:μ1=μ2=…=μm=μ. (1)H1: различия между уровнями фактора достоверно превосходят случайные различия, т.е. исследуемый фактор влияет на результативный признак.Расчётные формулы:Групповая средняя yi: yi=1nij=1niyij ; i=1, 2,…, m , (2)где m – уровень фактора X, ni− число наблюдений при i–ом уровне фактора.Общая средняя результативного признака:y=1Ni=1mj=1niyij , (3)где N- общее число наблюдений:N=i=1mni. (4)Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней:SSобщ=i=1mj=1niyij-y2. (5)Факторная (между группами) сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней SSфакт, характеризующая рассеяние между группами:SSфакт=i=1myi-y2∙ni. (6)Остаточная (внутри групп) сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от своей групповой средней SSост, характеризующая рассеяние внутри групп: SSост=i=1mj=1niyij-yi2. (7)Основное тождество дисперсионного анализа:SSобщ=SSфакт+SSост. (8)SSфакт характеризует воздействие фактора Х, SSост характеризует воздействие случайных причин.Число степеней свободы рассчитывается по формулам:fобщ=N-1; fфакт=m-1;fост=N-m. (9)Число степеней свободы связано соотношением:fобщ=fфакт+fост . (10)Оценки дисперсий:Sобщ2=SSобщN-1; Sфакт2=SSфактm-1;Sост2=SSостN-m . (11)Рассчитаем наблюдаемое значение критерия Фишера по формуле:Fнабл=Sфакт2Sост2. (12)Если FнаблFкрα; fфакт; fост , то гипотезу H0 следует отвергнуть, принять H1 – фактор влияет на результативный признак [4].1.3 Многофакторный дисперсионный анализ1.3.1 Двухфакторный дисперсионный анализ без повторенийПусть на случайную величину Y воздействуют два фактора: фактор A, который имеет n различных уровней и фактор B, имеющий m уровней. Предположим, что взаимодействие между факторами A и B отсутствует, а их воздействие может повлиять только на среднее μ случайной величины Y, но никак не влияет на её дисперсию [5]. Выполнив по одному наблюдению над случайной величиной Y, получаем таблицу 2.Таблица 2 Фактор AФактор BB1B2⋯Bj⋯Bmyi*A1y11y12⋯y1j⋯y1my1*A2y21y22⋯y2j⋯y2my2*⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Aiyi1yi2⋯yij⋯yimyi*⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Anyn1yn2⋯ynj⋯ynmyn*y*jy*1y*2⋯y*j⋯y*myГипотезы для фактора АH0A: фактор А не оказывает влияния на результат. H1A: фактор А оказывает влияния на результат.Гипотезы для фактора ВH0B: фактор В не оказывает влияния на результат.H1B: фактор В оказывает влияния на результат.Математическая модель имеет вид:yij=μ+αi+βj+εij, (13)где: μ – общее среднее; αi – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора A (i =1, 2,…, n); βj – эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора B (j=1, 2,…, m); εij – случайная составляющая, обусловленная действием неучтённых факторов. Общая средняя результативного признака:y=1nmi=1nj=1myij. (14)Среднее по строкам:yi*=1mj=1myij . (15)Среднее по столбцам:y*j=1ni=1nyij . (16)Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней:SSобщ=i=1nj=1myij-y2. (17)Cумма квадратов отклонений выборочных средних по уровням фактора А (по строкам) от общей средней SSA: SSA=mi=1nyi*-y2. (18)Cумма квадратов отклонений выборочных средних по уровням фактора B (по столбцам) от общей средней SSB: SSB=nj=1my*j-y2. (19)Остаточная сумма квадратов отклонений SSост :SSост=i=1nj=1myij-yi*-y*j+y2. (20)SSобщ=SSA+SSB+SSост. (21)Число степеней свободы рассчитывается по формулам:fобщ=nm-1; fA=n-1;fB=m-1; fост=n-1m-1. (22)Оценки дисперсий:Sобщ2=SSобщnm-1; SA2=SSAn-1;SB2=SSBm-1;Sост2=SSостn-1m-1 . (23)Наблюдаемые значения критерия Фишера рассчитываются по формулам: FнаблA=SA2Sост2; FнаблB=SB2Sост2. (24)Если FнаблAи > ,то нулевые гипотезы для факторов А и В следует отклонить, т. е. факторы А и В значимы. Если > , то эффект взаимодействия следует считать значимым.2 Практическая частьПостановка задачи 1.Провести дисперсионный анализ данных, представленных в таблице 4, при доверительной вероятности а=0,95.Таблица 4iУровни фактора АA1A2A31,030,720,951,350,821,211,330,741,020,951,271,3РешениеГипотезы: H0: различия между уровнями фактора не превосходят случайные различия.H1: различия между уровнями фактора достоверно превосходят случайные различия.Произведем дисперсионный анализ данных, используя МS Exel.Введем данные на лист, как показано на рисунке 1, и выберем в пакете анализа МS Exel выберем инструмент «Однофакторный дисперсионный анализ», как видно из рисунка 2.Рисунок 1Рисунок 2На рисунке 3 представлены промежуточные результаты расчётов для уровней фактора: число измерений (Счет), суммы (Сумма), среднее арифметическое ─ групповая средняя (Среднее), групповая дисперсия (Дисперсия).Рисунок 3В таблице Дисперсионный анализ, как видно из рисунка 4, представлены результаты дисперсионного анализа: компоненты дисперсии (Источник вариации) Между группами (Факторная) и Внутри групп (Остаточная): SS – суммы квадратов, df – число степеней свободы, MS – средний квадрат (факторная и остаточная дисперсии), F – наблюдаемое значение критерия Фишера, P-Значение – вероятность значимости и F критическое – критическое значение критерия Фишера. Рисунок 4Вывод. Так как Fнабл=9,009 >Fнабл=4,26, то следует отвергнуть гипотезу H0 и принять гипотезу H1: различие в уровнях фактора значимо.Постановка задачи 2.Провести двухфакторный дисперсионный анализ данных, представленных в таблице 5, при доверительной вероятности а=0,95.Таблица 5  BAB1B2B3AA11,11,32,11,41,62,71,21,421,61,62,3A22,23,61,82,3312,43,21,52,53,31,3A332,83,63,323,83,42,133,22,33,2РешениеГипотезы для фактора А: фактор А не оказывает влияния на результат, т. е. разница в средних значениях объясняется случайными причинами.: фактор А оказывает влияние на результат, т.е. разница в средних значениях значима.Гипотезы для фактора В: фактор В не оказывает влияния на результат, т.е. разница в средних значениях объясняется случайными причинами.: фактор В оказывает влияние на результат, т.е. разница в средних значениях по столбцам значима.Гипотезы для взаимодействия факторов А и ВH0AB: взаимодействие факторов А и В не оказывает влияние на результат.H1AB: взаимодействие факторов А и В оказывает влияние на результат.Произведем дисперсионный анализ данных, используя МS Exel.Введем данные на лист, как показано на рисунке 5, и выберем в пакете анализа МS Exel выберем инструмент «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями», как видно из рисунка 6.Рисунок 5Рисунок 6В таблице ИТОГИ, как показано на рисунке 7, представлены промежуточные данные расчётов для каждой строки и столбца.Рисунок 7В таблице Дисперсионный анализ, как показано на рисунке 8, представлены результаты дисперсионного анализа. Рисунок 8Из таблицы следует, что FнаблA= 68,5; FнаблВ=0,17; FнаблAВ=41,21; FкритA=FкритВ=3,35; FкритAВ=2,73.Вывод. Так как FнаблA>FкритA, то нулевую гипотезу для фактора А следует отклонить, т. е. фактор А значим.Так как FнаблBFкритAВ, то эффект взаимодействия следует считать значимым.ЗаключениеЦель курсовой работы достигнута, были изучены понятия дисперсионного анализа; решены задачи с помощью однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа; сделаны выводы о значимости факторов.Запишем общие выводы.– Задача дисперсионного анализа – по результатам наблюдений над случайной величиной Y оценить зависимость её математического ожидания (среднего) от рассматриваемых факторов.– В зависимости от числа источников дисперсии различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. В свою очередь многофакторный дисперсионный анализ может быть с повторениями или без.– Проводить дисперсионный анализ можно как с помощью ручного расчета, так и с помощью специальных статистических пакетов, значительно облегчающих задачу исследователя.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫАйвазян, С. А. Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2001.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров. М.: Юрайт. – 479 с.Горленко, О. А.  Дисперсионный анализ экспериментальных данных : учебное пособие для вузов / О. А. Горленко, Н. М. Борбаць, Т. П. Можаева. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Юрайт, 2021. – 132 с. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити-Дана, 2000.Статистическая обработка экспериментальных данных. Дисперсионный и ковариационный анализы в языке R : учебное пособие / Е. С. Геращенко, В. Ю. Потапова, А. С. Тарасов, М. Б. Никифоров. — Рязань : РГРТУ, 2018. – 32 с.