Одномерное нормальное распределение и связанные с ним хи-квадрат распределение

ВВЕДЕНИЕНормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Так, к примеру, сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений, в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.Актуальность работы обусловлена значимостью выбранной темы. Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А. Муавр в 1733 г. Через некоторое время нор­мальное распределение снова открыли и изучили К. Гаусс (1809 г.) и -П. Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с ра­ботой по теории ошибок наблюдений. Во многих случайных величинах, изучаемых в технике и других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Но центральное место нормального закона не следует объяснять его универсальной приложимостью.В этом смысле нормальный закон - один из многих типов распределения, имеющихся в природе, однако с относительно большим удельным весом практической приложимости.Объект исследования. Одномерное нормальное распределение на примере предприятия по добыче железной руды «ЭРДЭНЭТ»Предмет исследования. Эконометрика.Цель работы. Рассмотреть одномерное нормальное распределение, в частности следует провести разработку экономико-математической модели на примере предприятия по добыче железной руды.Задачи работы:Рассмотреть одномерное нормальное распределение и связанные с ним хи-квадрат распределение;Рассмотреть распределения Стьюдента и Снедекора-Фишера, их основные свойства;Рассмотреть поставленную задачу;Реализовать построение матрицы парных коэффициентов корреляции и разработать экономико-математическую модель;Проверить значимость параметров разработанной модели по критерию Фишера и Стьюдента;Интерпретировать параметры разработанной модели.Структура работы. Работа состоит из введения, теоретической и практической части в виде двух глав, заключения и библиографического списка.ГЛАВА 1. ОДНОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ1.1 Одномерное нормальное распределение и связанные с ним хи-квадрат распределениеНормальное распределение, также известное как распределение Гаусса, является наиболее важным распределением вероятностей в статистике для независимых случайных величин. Большинство людей узнают его знакомую колоколообразную кривую в статистических отчетах.Нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое симметрично относительно среднего значения, большинство наблюдений сосредоточено вокруг центрального пика, а вероятности для значений, удаленных от среднего, сужаются одинаково в обоих направлениях. Экстремальные значения в обоих хвостах распределения также маловероятны. Хотя нормальное распределение является симметричным, не все симметричные распределения являются нормальными. Например, t-распределение Стьюдента, распределение Коши и логистическое распределение являются симметричными.Как и любое распределение вероятности, нормальное распределение описывает, как распределены значения переменной. Это наиболее важное распределение вероятностей в статистике, поскольку оно точно описывает распределение значений для многих природных явлений. Характеристики, которые являются суммой многих независимых процессов, часто имеют нормальное распределение. Например, рост, кровяное давление, погрешность измерений и баллы IQ соответствуют нормальному распределению.При нормальном распределении данные распределены симметрично, без перекосов. При построении графика данные имеют форму колокола, когда большинство значений группируется вокруг центральной области и сужается по мере удаления от центра.Все виды переменных в естественных и социальных науках имеют нормальное или приблизительно нормальное распределение. Рост, вес при рождении, способность к чтению, удовлетворенность работой или баллы SAT — вот лишь несколько примеров таких переменных.Поскольку нормально распределенные переменные встречаются так часто, многие статистические тесты разработаны для нормально распределенных совокупностей.Понимание свойств нормальных распределений означает, что вы можете использовать инференциальную статистику для сравнения различных групп и получения оценок о совокупностях по выборкам. Нормальные распределения имеют ключевые характеристики, которые легко заметить на графиках:Среднее значение, медиана и мода абсолютно одинаковы.Распределение симметрично относительно среднего - половина значений лежит ниже среднего, а половина выше среднего.419056820612Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1. Стандартное нормальное распределениеРаспределение может быть описано двумя величинами: средним значением и стандартным отклонением. Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1. Стандартное нормальное распределениеСреднее значение — это параметр местоположения, а стандартное отклонение - параметр масштаба.Среднее значение определяет, где находится центр пика кривой. Увеличение среднего значения смещает кривую вправо, а уменьшение - влево. center115570Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2. Нормальные распределения с различными средними00Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2. Нормальные распределения с различными средними Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2. Нормальные распределения с различными среднимиРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2. Нормальные распределения с различными среднимиСтандартное отклонение растягивает или сжимает кривую. Малое стандартное отклонение приводит к узкой кривой, а большое стандартное отклонение - к широкой кривой. 67423796653Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3. Нормальные распределения с различными стандартными отклонениямиРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3. Нормальные распределения с различными стандартными отклонениями Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3. Нормальные распределения с различными стандартными отклонениямиРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3. Нормальные распределения с различными стандартными отклонениямиЭмпирическое правило. Эмпирическое правило, или правило 68-95-99,7, говорит вам, где находится большинство ваших значений в нормальном распределении:Около 68% значений находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего значения.Около 95% значений находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего.Около 99,7% значений находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего. Пример: Использование эмпирического правила в нормальном распределенииВы собираете результаты теста SAT у студентов нового курса подготовки к экзаменам. Данные соответствуют нормальному распределению со средним баллом (M) 1150 и стандартным отклонением (SD) 150.Следуя эмпирическому правилу:Около 68% баллов находятся между 1000 и 1300, на 1 стандартное отклонение выше и ниже среднего.Около 95% оценок находятся между 850 и 1450, что на 2 стандартных отклонения выше и ниже среднего.Около 99,7% оценок находятся между 700 и 1600, 3 стандартных отклонения выше и ниже среднего. 91878612464Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4. Использование эмпирического правила в нормальном распределенииРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4. Использование эмпирического правила в нормальном распределении Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4. Использование эмпирического правила в нормальном распределенииРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4. Использование эмпирического правила в нормальном распределенииЭмпирическое правило — это быстрый способ получить общее представление о ваших данных и проверить, нет ли выбросов или экстремальных значений, которые не следуют этому шаблону.Если данные из небольших выборок не следуют этому шаблону, то другие распределения, такие как t-распределение, могут быть более подходящими. Как только вы определите распределение вашей переменной, вы сможете применить соответствующие статистические тесты. Центральная предельная теорема. Центральная предельная теорема является основой для работы нормальных распределений в статистике.В научных исследованиях, чтобы получить хорошее представление о среднем значении популяции, в идеале необходимо собрать данные из нескольких случайных выборок внутри популяции. Выборочное распределение среднего — это распределение средних по этим различным выборкам.Центральная предельная теорема показывает следующее:Закон больших чисел: По мере увеличения размера выборки (или количества выборок) выборочное среднее приближается к среднему значению популяции.При нескольких больших выборках выборочное распределение среднего нормально распределено, даже если ваша исходная переменная не является нормально распределенной.Параметрические статистические тесты обычно предполагают, что выборки происходят из нормально распределенных популяций, но центральная предельная теорема означает, что это предположение не обязательно выполнять, если у вас достаточно большая выборка.Вы можете использовать параметрические тесты для больших выборок из совокупностей с любым типом распределения, если выполняются другие важные предположения. Обычно большой считается выборка размером 30 или более.Для малых выборок предположение о нормальности является важным, поскольку выборочное распределение среднего неизвестно. Для получения точных результатов вы должны быть уверены, что популяция нормально распределена, прежде чем использовать параметрические тесты с малыми выборками.Формула нормальной кривой. Получив среднее и стандартное отклонение нормального распределения, вы можете подогнать нормальную кривую к вашим данным с помощью функции плотности вероятности.833725162087Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 5. Нормальная кривая, подогнанная к данным о баллах SATРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 5. Нормальная кривая, подогнанная к данным о баллах SAT Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 5. Нормальная кривая, подогнанная к данным о баллах SATРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 5. Нормальная кривая, подогнанная к данным о баллах SATВ функции плотности вероятности площадь под кривой говорит о вероятности. Нормальное распределение — это распределение вероятности, поэтому общая площадь под кривой всегда равна 1 или 100%.Формула для нормальной функции плотности вероятности выглядит довольно сложной. Но для ее использования достаточно знать среднее значение и стандартное отклонение.Для любого значения x можно подставить в формулу среднее и стандартное отклонение, чтобы найти плотность вероятности переменной, принимающей это значение x.center11512600f (x) = вероятность;x = значение переменной;μ = среднее значение;σ = стандартное отклонение;σ2 = дисперсия.Пример: используя функцию плотности вероятности.Вы хотите узнать вероятность того, что баллы SAT в вашей выборке превысят 1380.На вашем графике функции плотности вероятности вероятность — это заштрихованная область под кривой, которая лежит справа от места, где баллы SAT равны 1380. 43862717Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 6. Функция плотности вероятности баллов SATРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 6. Функция плотности вероятности баллов SAT Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 6. Функция плотности вероятности баллов SATРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 6. Функция плотности вероятности баллов SATВы можете найти значение вероятности этого результата, используя стандартное нормальное распределение.Стандартное нормальное распределение, также называемое z-распределением, — это особое нормальное распределение, в котором среднее значение равно 0, а стандартное отклонение равно 1.Любое нормальное распределение — это версия стандартного нормального распределения, которое было растянуто или сжато и сдвинуто по горизонтали вправо или влево. 706135150126Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 7. Нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 7. Нормальное распределение Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 7. Нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 7. Нормальное распределениеВ то время как отдельные наблюдения в нормальном распределении обозначаются как x, в z-распределении они обозначаются как z. Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное нормальное распределение, превратив отдельные значения в z-баллы.Z-баллы показывают, на сколько стандартных отклонений от среднего находится каждое значение. 589177129510Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 8. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 8. Стандартное нормальное распределение Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 8. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 8. Стандартное нормальное распределениеЧтобы найти z-score значения, достаточно знать среднее и стандартное отклонение распределения. center8667000x = индивидуальное значение;μ = средняя величина;σ = стандартное отклонение.Мы преобразуем нормальные распределения в стандартное нормальное распределение по нескольким причинам:Чтобы найти вероятность того, что число наблюдений в распределении окажется выше или ниже заданного значения.Чтобы определить вероятность того, что среднее значение выборки значительно отличается от известного среднего значения популяции.Чтобы сравнить оценки по разным распределениям с разными средними и стандартными отклонениями.Нахождение вероятности с помощью z-распределения. Каждое z-значение связано с вероятностью, или p-значением, которое говорит вам о вероятности появления значений ниже этого z-значения. Если преобразовать отдельное значение в z-балл, то можно найти вероятность того, что все значения до этого значения встречаются в нормальном распределении.Пример: Нахождение вероятности с помощью z-распределения.Чтобы найти вероятность того, что баллы SAT в вашей выборке превысят 1380, сначала найдите z-балл.Среднее значение нашего распределения равно 1150, а стандартное отклонение - 150. Показатель z говорит вам, на сколько стандартных отклонений от среднего значения находится 1380 баллов.center1649600 Для z-балла, равного 1,53, p-значение равно 0,937. Это вероятность того, что баллы SAT будут 1380 или меньше (93,7%), и это площадь под кривой слева от заштрихованной области. 43862717Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 9. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 9. Стандартное нормальное распределение Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 9. Стандартное нормальное распределениеРисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 9. Стандартное нормальное распределениеЧтобы найти заштрихованную площадь, отнимите 0,937 от 1, которая является общей площадью под кривой.Вероятность x>1380 = 1 - 0,937 = 0,063Это означает, что, скорее всего, только 6,3% баллов SAT в вашей выборке превышают 1380. Распределение хи-квадрат. Случайная величина имеет распределение Хи-квадрат, если она может быть записана как сумма квадратов независимых стандартных нормальных переменных.Суммы такого рода очень часто встречаются в статистике, особенно при оценке дисперсии и проверке гипотез.Далее мы выведем формулы для среднего значения, дисперсии и других характеристик распределения хи-квадрат.Степени свободы. Ниже мы докажем, что случайная величина X имеет распределение Хи-квадрат, если она может быть записана в виде:center9124800 948808-501650где, являются взаимно независимыми стандартными нормальными случайными величинами.Число n переменных - единственный параметр распределения, называемый параметром степеней свободы. Он определяет как среднее значение (равное n), так и дисперсию (равную 2n).Случайные величины хи-квадрат характеризуются следующим образом.Пусть X - непрерывная случайная величина. Пусть ее поддержкой является множество положительных действительных чисел:center99606001168755252095Пусть. Мы говорим, что X имеет распределение Хи-квадрат с n степенями свободы тогда и только тогда, когда его функция плотности вероятности имеет видcenter107005где c - константа:center84735и Г () - гамма-функция.Чтобы лучше понять распределение Хи-квадрат, можно посмотреть на графики его плотности.Для обозначения того, что случайная величина X имеет распределение Хи-квадрат с n степенями свободы, часто используется следующее обозначение:center10633 где символ ~ означает "распределяется как".center72663200Ожидаемое значение. Ожидаемое значение хи-квадрат случайной величины X равно:Его можно вывести следующим образом:center49250В приведенном выше доказательстве используется функция плотности вероятности распределения. Альтернативное, более простое доказательство использует представление (продемонстрированное ниже) X как суммы квадратичных нормальных переменных.Дисперсия хи-квадрат случайной величины X равнаcenter8905Она может быть получена благодаря обычной формуле дисперсииcenter20630center531621.2 Распределения Стьюдента и Снедекора-Фишера, их основные свойстваРаспределение Стьюдента-Т - одно из самых важных статистических распределений, которые необходимо понимать. Оно также известно как распределение Т.Распределение Стьюдента-Т широко используется в мире статистики. В частности, когда размер выборки мал и/или неизвестно стандартное отклонение популяции. Кроме того, важно, чтобы распределение имело колоколообразную кривую. Распределение Стьюдента может помочь нам получить значимую статистическую информацию из выборки. Кроме того, оно используется в статистических выводах.Распределение Стьюдента-Т используется, когда у нас нет большой выборочной совокупности, ~30 наблюдений, или когда недоступно стандартное отклонение совокупности.Распределение Стьюдента-Т считается одним из самых больших прорывов в статистике. Его можно использовать для вывода значения из небольших выборок, когда стандартное отклонение популяции неизвестно. Это может быть применено к большому количеству мировых проблем.Распределение Стьюдента t является аппроксимацией нормального распределенияЕсли построить график распределения Стьюдента T, то он будет очень похож на колоколообразную кривую. Поэтому распределение студента t напоминает нормальное распределение. Более того, свойства t-распределения ближе к нормальному распределению. Например, среднее значение распределения равно 0.Наиболее важным моментом является то, что у распределения student-t более толстые хвосты, чем у нормального распределения. Это означает, что дисперсия переменных выше.Наиболее важным компонентом являются степени свободы, которые всегда равны 1 минус количество выборок.387025157987300Рассмотрим, что мы собрали N независимых наблюдений из нормально распределенной совокупности. Мы можем преобразовать это распределение в распределение Стьюдента-Т, применив формулу:Нам нужно получить среднее значение популяции и выборки, а также стандартное отклонение выборки. В приведенном выше уравнении популяция нормально распределена, имеет среднее значение M и стандартное отклонение S с n-1 степенями свободы (df), где n - размер выборки.Чем больше выборка, тем ближе распределение Стьюдента T будет сходиться к нормальному распределению. Медиана Т-распределения равна 0.По мере увеличения числа степеней свободы распределение сходится к нормальному распределению. Это происходит в соответствии с центральной предельной теоремой.На этом рисунке показана кривая распределения вероятностей нормального распределения и распределения Стьюдента-Т:7431093522Рисунок выше показывает, что хвосты распределения T сужаются при увеличении числа степеней свободы, и кривая распределения начинает напоминать нормальное распределение.Критерий Стьюдента-t симметричен относительно 0. Он имеет более низкий пик, чем нормальное распределение, и более толстые хвосты. Это означает, что дисперсия в выборке выше.Теперь следует отметить, что если мы предполагаем, что наша переменная имеет распределение Стьюдента t, то это означает, что вероятность получения значения, отклоняющегося от среднего, выше, чем если бы мы использовали выборку, сформированную по нормальному распределению.Пример, пояснение…Случайная величина t имеет распределение Стьюдента, если она определяется так. center12065где X - нормированная нормальная случайная величина;Y – величина Основные законы распределения вероятностей - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы;X и Y - независимые случайные величины.Случайная величина t является функцией нормально распределенных нормированных случайных величин и называется безразмерной дробью Стьюдента. Плотность распределения случайной величины t определяется равенствомcenter-38100 446568306070Числовые характеристики случайной величины t: На рисунке ниже приведены кривые распределения Стьюдента. Кривые на рисунке ниже качественно напо­минают кривые нормального закона распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и при Основные законы распределения вероятностей - определение и вычисление с примерами решения они стремятся к нормальному закону.center19693800Распределение F. В этом разделе будут изложены основы F-распределения.F-распределение - одно из самых важных статистических распределений, которое также необходимо понимать. Оно очень тесно связано с распределением Хи-квадрат, поэтому я объясняю его после распределения Хи-квадрат. Также важно отметить, что F-распределение имеет два различных типа степеней свободы. Первая степень свободы в числителе, а вторая - в знаменателе.Предположим, что есть две независимые случайные величины. Первая случайная величина A имеет dA степеней свободы, а вторая случайная величина B имеет dB степеней свободы. Будем также считать, что обе случайные величины имеют распределение хи-квадрат. Напомним, что распределение хи-квадрат — это когда случайная величина имеет нормальное распределение, но ее значения возведены в квадрат.Отношение распределений по степеням свободы будет иметь F-распределение со степенями свободы dA (числитель) и dB (знаменатель).F-распределение используется, когда мы хотим оценить различия в вариациях двух выборок. Если посмотреть на график F-распределения, то по мере увеличения степеней свободы график очень напоминает распределение Хи-квадрат.Кроме того, распределения имеют правый перекос. Когда мы увеличиваем число степеней свободы в числителе, правосторонний перекос уменьшается. Среднее значение распределения F = дБ/дБ-1.center13801700Можно отметить, что кривая распределения зависит от степеней свободы. Она имеет положительный перекос, указывающий на то, что среднее значение больше медианы.ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ПРИМЕРЕ ПРЕДПРИЯТИЯ ПО ДОБЫЧЕ ЖЕЛЕЗНОЙ РУДЫ «ЭРДЭНЭТ»2.1 Постановка задачиПредмет. Рассматриваются вопросы использования забалансовой руды и отходов обогащения в качестве ресурсной базы горнодобывающего предприятия в условиях истощения запасов руды в месторождении. Такой подход позволяет продлить срок действия предприятия в условиях закрытия рудника, снизить себестоимость продукции за счет переработки ресурсов техногенного месторождения, ликвидировать накопленные отходы. Горнодобывающее предприятие «Эрдэнэт» в Монголии ориентировано на добычу и переработку медно-молибденовой руды. К числу основных эколого-экономических проблем предприятия относятся исчерпание недр, ущерб от загрязнения окружающей среды, рост затрат на добычу и переработку сырья, низкие мировые цены на медь, образование большого количества отходов. Предлагается экономико-математическая модель управления природопользованием, которая учитывает степень вовлечения и переработки вскрышных пород, отходов обогащения и другие эколого-экономические параметры и их влияние на прибыль предприятия.Цели. Методическое обоснование и разработка экономико-математической модели функционирования горнодобывающего предприятия, учитывающей влияние экологических факторов и производственных характеристик рудника на прибыль предприятия. Проводится оценка влияния изменения технических характеристик производственных подразделений на прибыль горнодобывающего предприятия.Методология. Используется модель оптимизации управления природопользованием с применением компьютерного моделирования. Построена экономико-математическая модель влияния экологических и производственных характеристик рудника на прибыль, использованы методы статистического и регрессионного анализа.Для анализа поставленной проблемы, а также поиска оптимальных путей ее решения предлагается использовать экономическую модель оптимизации управления предприятием с применением компьютерного моделирования, успешное применение которой было рассмотрено в более ранних работах. Одной из основных задач при этом является поиск эффективного механизма снижения затрат и увеличения прибыли предприятия.Коэффициент вскрыши – показатель, используемый при открытой разработке месторождений полезных ископаемых, он представляет собой отношение количества пустых пород к количеству полезного ископаемого. Данный коэффициент может быть вычислен по следующей формуле:K = Vв / Vи;где К – коэффициент вскрыши, доли ед.;Vв – объем вскрышных (пустых, относительно бедных по содержанию полезного компонента) пород, м3;Vи – объем полезного ископаемого в добываемом сырье, м3.2.2 Построение матрицы парных коэффициентов корреляции и разработка экономико-математической моделиТаблица 1. Матрица взаимных корреляцийX1X2X3X4X11–––X20,7694651––X30,6536370,8428561–X40,829880,7604470,69491412.3 Проверка значимости параметров разработанной модели по критерию Фишера и Стьюдента2.4 Интерпретация параметров разработанной моделиДанные для расчетов представлены в табл. 1. В последнем столбце приведены значения корреляции между величиной чистой прибыли и соответствующей величинойтехническогоили экономического параметра предприятия. Анализируя эти величины, можно прийти к выводу, что высокая степень корреляции обнаруживается между чистой прибылью и коэффициентом обогатимости (0,92), величиной горной массы (0,92), коэффициентом вскрыши (0,83) и размером капиталовложений (0,7).Состальнымипараметрами обнаруживаетсяслабая степень корреляции. Например, между чистой прибылью и добычей руды (0,08), содержанием меди в руде (0,43), себестоимостью медного концентрата (–0,88) и мировой ценой меди (–0,64), а значит, эти параметры слабо влияют на чистую прибыль и их можно исключить из дальнейшего рассмотрения.Коэффициент вскрыши на руднике открытых работ за рассматриваемый период стабилизировался и составляет 0,66, в то же время коэффициент обогатимости на обогатительной фабрике после некоторого снижения в 2010–2011 гг. имеет некоторую тенденцию к росту.Капитальные вложения на поддержание развития горно-обогатительного производства за рассматриваемый период значительно сократились, что в значительной мере связано с исчерпанием месторождения по добыче исходного сырья.В то же время объем добычи горной массы на предприятии остается стабильным и составляет порядка 18 млн м3.Следует отметить, что в связи с исчерпанием и истощением запасов природного сырья, усложнением условий добычи руды, необходимостью переработки значительно большего количества горной массы для получения единицы готовой продукции в условиях уменьшения содержания полезного компонента в руде, значительно возросла себестоимость 1 т медного концентрата на данном предприятии.Результаты. Установлено, что на изменение прибыли сильное влияние оказывают изменение значений коэффициента вскрыши и коэффициента обогатимости, а также добыча горной массы и капиталовложений.Выводы. Увеличение прибыли может быть получено с увеличением коэффициента вскрыши на руднике открытых работ и коэффициента обогатимости на обогатительной фабрике, то есть на основе переработки накопленной забалансовой руды, что связано с уменьшением добычи первичного сырья и капиталовложенийЗАКЛЮЧЕНИЕБИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОКВакуленко, Е. С.  Эконометрика (продвинутый курс). Применение пакета Stata: учебное пособие для вузов / Е. С. Вакуленко, Т. А. Ратникова, К. К. Фурманов. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 246 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-12244-2. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/496049 (дата обращения: 23.01.2022).Галочкин, В. Т.  Эконометрика: учебник и практикум для вузов / В. Т. Галочкин. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 293 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-14974-6. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/490094 (дата обращения: 23.01.2022).Горно-обогатительный комбинат в городе Эрдэнэт — URL: https://www.erdenetmc.mn (дата обращения: 23.01.2022).Демидова, О. А.  Эконометрика: учебник и практикум для вузов / О. А. Демидова, Д. И. Малахов. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 334 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-00625-4. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/489325 (дата обращения: 23.01.2022).Евсеев, Е. А.  Эконометрика: учебное пособие для вузов / Е. А. Евсеев, В. М. Буре. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 186 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10752-4. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/492423 (дата обращения: 23.01.2022).Иванченко, И. С.  Производные финансовые инструменты: оценка стоимости деривативов: учебник для вузов / И. С. Иванченко. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 261 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-11386-0. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/495817 (дата обращения: 23.01.2022).Костюнин, В. И.  Эконометрика: учебник и практикум для вузов / В. И. Костюнин. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 285 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-02660-3. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/489041 (дата обращения: 23.01.2022).Красс, М. С.  Математика в экономике: математические методы и модели: учебник для среднего профессионального образования / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов; под редакцией М. С. Красса. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2021. — 541 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-9916-9136-9. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/477849 (дата обращения: 23.01.2022).Красс, М. С.  Математика в экономике: математические методы и модели: учебник для бакалавров / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов; ответственный редактор М. С. Красс. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 541 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-9916-3138-9. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/426162 (дата обращения: 23.01.2022).Кремер, Н. Ш.  Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики. Учебно-справочное пособие: учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Петко, И. М. Тришин; под общей редакцией Н. Ш. Кремера. — 5-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 760 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-14218-1. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/488582 (дата обращения: 23.01.2022).Кремер, Н. Ш.  Эконометрика: учебник и практикум для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко; под редакцией Н. Ш. Кремера. — 4-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 308 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08710-9. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/488678 (дата обращения: 23.01.2022).Малугин, В. А.  Математическая статистика: учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Малугин. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 218 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-09872-3. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/493395 (дата обращения: 23.01.2022).Малугин, В. А.  Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для среднего профессионального образования / В. А. Малугин. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 470 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06572-5. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/493390 (дата обращения: 23.01.2022).Малугин, В. А.  Теория вероятностей: учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Малугин. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 266 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08519-8. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/493393 (дата обращения: 23.01.2022).Мардас, А. Н.  Эконометрика: учебник и практикум для вузов / А. Н. Мардас. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 180 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-9916-8164-3. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/490427 (дата обращения: 23.01.2022).Статистика. Практикум: учебное пособие для академического бакалавриата / И. И. Елисеева [и др.]; под редакцией И. И. Елисеевой. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 514 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-3688-9. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/425262 (дата обращения: 23.01.2022).Статистика: учебник для вузов / под редакцией И. И. Елисеевой. — 3-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 361 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-04082-1. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/488653 (дата обращения: 23.01.2022).Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 1 : учебник для вузов / В. В. Ковалев [и др.] ; ответственный редактор В. В. Ковалев. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 333 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-04021-0. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/490798 (дата обращения: 23.01.2022).Теория статистики с элементами эконометрики. Практикум : учебное пособие для вузов / В. В. Ковалев [и др.] ; под редакцией В. В. Ковалева. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 386 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08506-8. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/489389 (дата обращения: 23.01.2022).Тимофеев, В. С.  Эконометрика : учебник для академического бакалавриата / В. С. Тимофеев, А. В. Фаддеенков, В. Ю. Щеколдин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 328 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-4366-5. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/425245 (дата обращения: 23.01.2022).Эконометрика: учебник для вузов / И. И. Елисеева [и др.]; под редакцией И. И. Елисеевой. — Москва: Издательство Юрайт, 2022. — 449 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-00313-0. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/488603 (дата обращения: 23.01.2022).