Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

•     Контрольная работа №1.
  • 1

Тема: Элементы аналитической геометрии.

Задача №1. Даны вершины А(х₁;у₁), В(х₂;у₂), С(х₃;у₃)    треугольника, найти: 1)длину АВ; 2) внутренний угол А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник  АВС.

 

А (-1; 1)

В (5; 4)

С (0; 3)

 

Задача №2. Определить угол между прямыми. Построить линию.
 

3х + 2у = 0

6х – 4у + 9 = 0

Задача №3. Написать уравнение траектории точки М, которая движется по    заданному условию. (Условие приведено в таблице).

Точка М остается втрое ближе к точке А (1; 0), чем  к прямой х = 9
 

Задача №4. Найти расстояние между точками пересечений линий L₁ и L₂. Выполнить построение.

x² -3y² = 12

L₂: окружность радиуса R = 2 с центром в правом фокусе гиперболы 

 

Задача №5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  a и b.
 

a = 3i – k

b = -2i – 5j

Задача №6. Построить плоскости, заданные уравнениями а), б), с).
 

а) 2х-3у+5z =3

б) х-5у+9z=0

в) 2x-5 = 0

Задача    №7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С. Сделать проверку полученного уравнения.
 

A (0;1;-1)

B (6;4;0)

C (3;5;1)
 

Задача №8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М, и перпендикулярной к ОМ.

M (0;1;3)
 

• • 2

Тема: Определители и системы линейных уравнений.

Векторная форма системы линейных уравнений.

Задача №1. Вычислить определитель заданной матрицы

| 2  1  0  1|
|1  -2  1  2|
|3  0   1  1|
|0  2   1  -1|

Задача №2. Решить систему уравнений

{ 2x + y - z = 0
{ 3x + 4y + 6z = 0
{ x+z = 1

Задача №3. Решить однородную систему уравнений..

{ 3x₁ - 4x₂ + x₃ - x₄ = 0 
{ 6x₁ - 8x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0

Задача №4. Найти общее решение системы уравнений.

{ 3x₁ + 2x₂  - 3x₃ + 4x₄ = 1
{ 2x₁ + 3x₂  -2x₃ + 3x₄ = 2
{ 4x₁ + 2x₂  - 3x₃ + 2x₄ = 0
 

Задача №5. Подтвердить, что система несовместна, опираясь

а) на формулы Крамера;

  б) на метод Жордана-Гаусса.

{ x₁ - x₂  + x₃ - 2x₄ = 1
{ x₁ - x₂  + 2x₃ - x₄ = 2
{ 5x₁ - 5x₂  + 8x₃ - 7x₄ = 3

Задача №6. Найти вектор b - линейную комбинацию векторов a₁, a₂, a₃

Задача №7. Даны векторы a₁, a₂, a₃, показать, что заданная система векторов образует базис, и найти координаты вектора c  этом базисе.  

 

b = a₁ + 2a₂ - 3a₃

           a₁ = (2;3;1)

           a₂ = (-1;-3;2)

           a₃ = (5;3;4)

           с = (11;10;-7)
 

3 Тема: Матрицы

Задача №1. Найти матрицу С, являющуюся  произведением матриц А и В. Указать значение элементов С₁₂ и С₂₁.

A = (-3 2 1)
       (0  4  0)

B= (1 0 3)
      (-2  2  1)
      (3  4  1)

Задача №2. Даны матрицы А, В. Найти матрицу Д по заданному условию (см. таблицу).

D = A² - 3B

A= (0  -2  1)
      (3  0  4 )
      (7  2   1)

B = (-1  2  0)
       (4  -2   1)
       (3  5  0)

Задача №3. Найти ранг матрицы А:

A = ( 1 0  1  0 )
       (2  1   3   1)
       (1  0  -2   2)
       (3  0 1  -1)

Задача №4. Найти матрицу, обратную данной.

A = ( 1 -1  3)
       (5  1  2)
       (1 4   -1)
 

Задача №5. Найти матрицу Х из матричного уравнения.

AXB - 3C = 0

A = (3  -1)  B  = (1   -1)  C = (1  -1)
       (0  2)           (1  -2)          (1  2)

Задача №6. Исследовать расширенные матрицы систем линейных уравнений и в случае совместности    уравнений решить их.

{ 3x₁+  x₂  - x₃₊ x₄ = 0
{ 2x₁ + 3x₂  - x₄ = 0
{ x₁ + 5x₂  - 3x₃  = 7
{ 3x₂  + 2x₁₊ x₄ = 2

4 Тема: Элементы математического анализа

Задача №1. Доказать предел.

lim x→ 1  (4x -1) = 3

Задача №2. Вычислить пределы.

 lim x→ ∞  (2 -n)²/ (n-3)³- (n+3)³

lim x→ 3  x²-9 /√1+x -2

 lim x→ (-1) 3x² +2x  -1 / 2x² + 3x +1

 lim x→ ∞ (x-1/ 2x+1)^x

Задача №3. Найти производные функций.

y = x² √cos²4x
y= yn³ * x/ x²+1

Задача №4. Исследовать функцию  и построить график.

y = x² /2 + 1/x