Реализация методов секущих и парабол в различных программных средствах

Введение   3

ГЛАВА 1. Теоретические сведения   4

1.1. Общие сведения   4

1.2. Метод Ньютона (метод касательных)   6

1.3. Метод секущих   7

1.4. Метод парабол   8

ГЛАВА 2.  Реализация методов секущих и парабол в различных программных средствах   10

2.1. Графическое отделение корней   10

2.2. Численное решение нелинейного уравнения методом секущих в табличном процессоре.   14

2.3. Проверка результатов   16

2.4. Задания для самостоятельного решения.   18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ   19

Список источников   20

Приложение 1. Блок-схема алгоритма метода секущих   22

Приложение 2. Блок-схема алгоритма метода парабол   23

Введение

Задачи решения уравнений часто возникают на практике, например, в экономике, развивая бизнес, вы хотите узнать, когда прибыль достигнет определенного значения, в медицине при исследовании действия лекарственных препаратов, важно знать, когда концентрация вещества достигнет заданного уровня и т.д. В задачах оптимизации часто необходимо определять точки, в которых производная функции обращается в 0, что является необходимым условием локального экстремума. В статистике при построении оценок методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия также приходится решать нелинейные уравнения и системы уравнений.Целью данной курсовой работы является ознакомление с численными методами решения нелинейных уравнений.Задачи:обзорно рассмотреть численные методы решения нелинейных уравнений;изучить метод секущих;изучить метод парабол;решить линейное уравнение методом секущих и методом парабол в табличном процессорепровести сравнительный анализ полученных результатов.Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников, четырех приложений.ГЛАВА 1. Теоретические сведения1.1. Общие сведенияУравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство. Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Все уравнения, которые не являются линейными, называются нелинейными.Нелинейные уравнения можно разделить на две группы – алгебраические и трансцендентные [3]. Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Так, например, многочлен есть целая алгебраическая функция. Уравнения, которые содержат другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т.п.), являются трансцендентными.Методы решения нелинейных уравнений делятся на точные и итерационные. Точные методы позволяют получить корни рассматриваемого уравнения в результате выполнения конечного числа арифметических действий. Другими словами, эти методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения. Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности . Для этого используются приближенные (численные) методы решения.Большинство употребляющихся приближенных методов решения уравнений являются, по существу, способами уточнения корней. Для их применения необходимо знание интервала изоляции [a,b], в котором лежит уточняемый корень уравнения (рис. 1)Рисунок 2 – Интервал изоляции корняПроцесс отделения корней проводят исходя из физического смысла прикладной задачи, графически, с помощью таблиц значений функции f(x) или при помощи специальной программы отделения корней [4]. Процедура отделения корней основана на известном свойстве непрерывных функций: если функция непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b)<0, то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения (1). Если при этом знак функции f'(x) на отрезке [a,b] не меняется, то корень является единственным на этом отрезке.Процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:отделение корней, - т.е. определение интервалов изоляции [a,b], внутри которого лежит каждый корень уравнения;уточнение корней, - т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности.Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней [6]:метод половинного деления (метод дихотомии);метод простых итераций ;метод Ньютона (метод касательных) ;модифицированный метод Ньютона ( метод секущих );метод парабол;метод хорд и др.1.2. Метод Ньютона (метод касательных)Рассмотрим метод Ньютона как базовый метод для методов секущих и парабол. Пусть задано уравнение (1)Запишем уравнение касательной к кривой в точке (Рис.2)(2)Рисунок 2 – Графическая иллюстрация метода НьютонаПоложим здесь , тогда следующее приближение к корню уравнения (1) будет . (3)Таким образом, получаем итерационную формулу метода,(4)Заметим, что тут возникает требование .Вычисления по формуле (4) ведут до тех пор, пока (5)или пока не будет выполняться условие (6)Чтобы уменьшить количество арифметических операций на каждом шаге итераций в вычислительной практике для решения уравнений вида (1) часто используют модифицированный метод Ньютона. Отличие этого метода от метода Ньютона состоит в том, что в рабочей формуле (4) вместо величин , стоящей в знаменателе, используют величину , которая не зависит от номера итерации и может быть вычислена заранее всего один раз. Таким образом, рабочая формула модифицированного метода Ньютона имеет вид, (7)Трудность в использовании метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое обязательно должно принадлежать некоторой окрестности корня решаемого уравнения. Поэтому иногда целесообразно применить смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам или метод хорд), а после некоторого числа итераций – быстро сходящийся метод Ньютона [4].1.3. Метод секущихЧтобы избежать вычисления производной, метод Ньютона можно упростить, заменив в (3) производную на приближенное значение, вычисленное по двум предыдущим точкам по определению: (8)Тогда итерационный процесс примет вид: (9)Это двухшаговый итерационный процесс, поскольку использует для нахождения последующего приближения два предыдущих [5]. Порядок сходимости метода секущих ниже, чем у метода касательных и равен в случае однократного корня . Эта замечательная величина называется золотым сечением: [6]1.4. Метод параболМетод парабол является трехшаговым методом , в котором приближение строится по трем предыдущим точкам . Для этого заменим , аналогично методу секущих, функцию интерполяционной параболой, проходящей через точки , приближающей исходную функцию. Иначе этот метод называют методом Мюллера или методом квадратичной интерполяции. За новое приближение берется обычно ближайший к корень соответствующего квадратного уравнения. Геометрическая интерпретация метода парабол дана на Рис.3.Доказывается, что погрешность метода определяется соотношением(10)где p = 1,839.Рисунок 3 – Графическая интерпретация метода параболЭто означает, что, несмотря на привлечение дополнительной информации о функции, метод парабол имеет порядок сходимости, лишь немного превышающий порядок сходимости метода секущих. Вместе с тем возникают задачи решения квадратного уравнения, выбора одного из двух корней многочлена и, самое важное, определение области гарантированной сходимости метода. Если три приближения для построения многочлена выбраны далеко от корня и содержат погрешности, то возможно самое неожиданное поведение решения.Отметим, что метод парабол успешно применяется для отыскания корней многочленов, в том числе комплексных. При этом метод обладает тем замечательным свойством, что начальное приближение может быть действительным [6].Расчетные формулы метода.Пусть известны три точки , через которые проходит парабола. Для начала запишем конечные разностиПарабола, проходящая через три точки, по формуле Ньютона записывается следующим образом (12)где (13)Следующая итерация даёт корень квадратного уравнения y = 0. Тогда получаем рекуррентную формулу метода (14)Знак перед корнем выбирается так, чтобы абсолютное значение знаменателя было максимальным.ГЛАВА 2.  Реализация методов секущих и парабол в различных программных средствахПрактическое применение методов секущих и парабол рассмотрим на примере уравнения (5)2.1. Графическое отделение корнейДля уточнения корней уравнения необходимо предварительно их отделить, например, графически. Для этого запишем уравнение в виде (6)Тогда построим графики функций и (рис.4). Точки пересечения графиков и есть корни уравнения. Для этого:запишем в ячейку С11 начальное значение аргумента, например, -5;в ячейку С12 введем формулу получения очередного значения аргумента, например, с шагом 1 =C11+1 и с помощью маркера скопируем ее вниз до получения значения, например, 5;в ячейку D11 введем формулу правой части функции () =3*C11-1, а в ячейку Е11 – формулу правой части функции ( ) =COS(C11), ссылаясь при этом на соответствующую ячейку значения аргументааналогично, для получения отрезка изоляции в таблице , введем в ячейку F11 правую часть уравнения (6);выделим эти ячейки D11: F11 и с помощью маркера скопируем их вниз дозаполнения таблицы.В итоге получаем таблицу значений функции на отрезке [-5,5]. В столбце F отметим значения, где функция меняет знак. Это F16:F17. Тогда в столбце С им соответствуют границы интервала, на котором имеется корень уравнения. Это С16:С17. Теперь в качестве исходных данных для построения графика, выделим диапазон С11:21 и вызываем мастер построения диаграмм Вставка – Точечная (Рис 4).Рисунок 4 – Выбор типа диаграммыВ выпадающем окне выберем Точечная с гладкими кривыми (Рис 5).Рисунок 5 – Выбор вида диаграммыПосле этого появится результат с настройками по умолчанию (Рис. 6). Рисунок 6 – Вид графика с настройками по умолчаниюПри желании вид можно настраивать по множеству параметров с помощью вкладок Работа с диаграммами (Рис. 7 а))., Макет, и другими (Рис. 7 б)).В результате настройки параметров получаем желаемый внешний вид диаграммы (Рис.8).Рисунок 7 а) – Лента Работа с диаграммамиРисунок 7 б) – Лента Макет Рисунок 8 – Внешний вид диаграммы после настройки параметров Таким образом, подучаем результат графического отделения корней уравнения (Рис 9Из графика заключаем, что заданное уравнение имеет единственный действительный корень, принадлежащий отрезку .Рисунок 9 – Графическое отделение корнейПроверим это, используя теорему о том, что если монотонная функция на краях отрезка принимает значения разных знаков , то на этом отрезке имеется корень уравнения . ИтакТ.о., действительно . Для уточнения в качестве начального приближения примем середину отрезка изоляции Алгоритмы расчетов по формулам (8–9) для метода секущих и по формулам (11–14) для метода парабол в виде блок–схем представлены в приложении 1 и приложении 2.2.2. Численное решение нелинейного уравнения методом секущих в табличном процессоре.2.2.1. Метод секущихПостроим таблицу и заполним ее формулами согласно алгоритму метода . Для этого:запишем в столбец В29:В37 имена используемых величин:a =начало отрезка изоляцииb =конец отрезка изоляцииxзначение искомого корня (первая точка для построения секущей)x1вторая точка для построения секущейf(xk-1)значение функции в точке хf(xk)значение функции в точке х1f'разделенная разностьepsточностьв ячейки С29:С30 вписываем границы отрезка локализации корня;в ячейки С32:С36 записываем формулы согласно алгоритму (Рис. 10) и копируем их вправо на одну ячейку, после чего в D37 вносим формулу вычисления погрешностиПосле этого выделяем ячейки D32:D37 и копируем их вправо до получения требуемой точности.Рисунок 10 – Реализация метода секущих с помощью встроенных функцийВ итоге за 6 итераций получаем значение корня x=0.607102 с точностью не хуже 10-5 (Рис 11).Рисунок 11 – Полученные результаты по методу секущих2.2.2. Метод параболПо аналогии с методом секущих (п.2.2.1.) построим таблицу и заполним ее формулами согласно алгоритму метода (Рис. 12)Рисунок 12 – Реализация метода парабол с помощью встроенных функцийДальше с помощью маркера автозаполнения скопируем столбец D вправо до получения требуемой точности (Рис. 13)Рисунок 13 – Полученные результаты по методу парабол2.3. Проверка результатов Проверку результатов можно провести в табличном процессоре с помощью инструмента Подбор параметра. Для этого запишем в ячейку С64 произвольное значение аргумента, желательно из отрезка изоляции, например, 1. В ячейку D64 запишем формулу правой части уравнения со ссылкой на С64: =3*C64-COS(C64)-1. Теперь вызываем мастер инструмента Подбор параметра Данные – Анализ «что если» – Подбор параметра (Рис. 14). В появившемся окне (Рис. 15) указываем:Установить в ячейке D64Значение 0Изменяя значение ячейки С64 Рисунок 14 – Вызов Подбор параметраРисунок 15 – Ввод данных в окне Подбор параметраПосле нажатия кнопки ОК получаем результат (Рис.16)Рисунок 16 – Результат работы Подбор параметра2.4. Задания для самостоятельного решения.Общая постановка задачи:Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом Ньютона, методом секущих, методом парабол с точностью до 0,001Вариант №1Вариант №2Вариант №3Вариант №4Вариант №5Вариант №6Вариант №7Вариант №8Вариант №9Вариант №10Вариант №11Вариант №12Вариант №13Вариант №14Вариант №15ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате выполненной работы:я ознакомился с основными численными методами решения нелинейных уравнений;изучил алгоритмы методов секущих и парабол;получил решение уравнения (1) с помощью встроенных функций табличного процессора;разработал программу численного решения нелинейных уравнений методом секущих и методом парабол.Полученные результаты дают основания утверждать, что метод парабол действительно обладает незначительно высшей скоростью сходимости по сравнению с методом секущих. Для достижения точности не хуже 0.00000001 в методе парабол потребовалось три итерации, а в методе секущих – четыре. В то же время, метод парабол более критичен к выбору начального приближения. Кроме этого, программная реализация более простая для метода секущих. Отсюда можно заключить, что при равных начальных условиях применение метода секущих более эффективно.Дальнейшим улучшением программы считаю реализацию и других известных численных методов решения нелинейных уравнений и получения сравнительного анализа работы.Список источниковЛитература:Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. – 640 с.Вабищевич П.Н. Численные методы. Вычислительный практикум. – М.: Ленанд, 2015. – 320 с. Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 512 с. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – СПб: Лань, 2009. – 672 с. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2008. – 480 с. Ларсен У.Р. Инженерные расчеты в Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 544 с. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. – М.: ИНТУИТ, 2013. – 528 с. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 304 с. Уокенбах Д. Excel 2010: профессиональное программирование на VBA. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2012. – 944 с.Интернет–источникиЛекции по численным методам. [Электронный ресурс]. URL: http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/13/u_lectures.pdf (дата обращения: 01.09.2021).Численные методы: решение нелинейных уравнений. URL: http://statistica.ru/branches-maths/chislennye-metody-resheniya-uravneniy/ (дата обращения: 10.04.2022).Решения задач в Scilab. URL: https://www.matburo.ru/ex_mat_pr.php?p1=scilab (дата обращения: 10.04.2022).Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений.[Электронный ресурс]. URL: https://intuit.ru/studies/courses/2260/156/lecture/27239Приложение 1. Блок-схема алгоритма метода секущихРис. 11. – Блок–схема алгоритма метода секущихПриложение 2. Блок-схема алгоритма метода параболРис. 12. – Блок–схема алгоритма метода парабол