Инженерное обеспечение предприятий пищевой промышленности

ВВЕДЕНИЕ

Изготовление деталей и сборка изделий производятся по чертежам. Из чертежа мы узнаём, какой формы и каких размеров должна быть изображённая на нём деталь, из какого материала её надо изготовить, с какой шероховатостью и точностью необходимо обрабатывать её поверхности, узнаём данные о термической обработке, антикоррозионном покрытии и прочее.Чертёж содержит изображения (проекции), которые в зависимости от их содержания делятся на виды, разрезы сечения, и сведения, необходимые для изготовления изделий.Изображения предметов на чертежах получают проецированием. Проецирование — это процесс получения изображения предмета на какой-либо поверхности Получившиеся при этом изображение называют проекцией предмета
Слово «проекция» в переводе с латинского означает «бросание вперёд, вдаль». Нечто похожее на проекцию можно наблюдать, если параллельно стене, противоположной окну, расположить ученическую тетрадь. На стене образуется тень в виде прямоугольника.
Актуальность работы обусловлена значимостью выбранной темы. В любой отрасли промышленности для изготовления отдельных деталей и составных частей машин создаются их геометрические (идеальные) образы, которые называются чертежами. Под чертежами понимают плоское изображение идеальных геометрических очерта­ний и размеров технического объекта, выполненного таким образом, чтобы можно было представить его объёмные формы.В связи с этим у будущего инженера важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это позволяет не только правильно читать и понимать плоские чертежи, но и, используя целый ряд правил и положений, грамотно их выпол­нять.
Объект исследования. Методы проецирования.
Предмет исследования. Основные понятия и категории методов проецирования.
Цель работы. Исследовать методы проецирования.
Задачи работы:
1) Определить виды и методы проецирования;
2) Изучить свойства ортогонального проецирования;
3) Рассмотреть чертеж Монжа;
4) Проанализировать координатный метод задания точки на чертеже.
Структура работы. Работа состоит из введения, теоретической части в виде четырёх разделов, заключения и списка использованных источников.

1. Виды и методы проецирования
Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими. [1]
Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.
Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).27020033286Рисунок 1 – Центральное проецированиеS – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки; SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).0Рисунок 1 – Центральное проецированиеS – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки; SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).Рисунок 1 – Центральное проецированиеS – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки; SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).Рисунок 1 – Центральное проецированиеS – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки; SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций. [2, 3]
Свойство 1. Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.Докажем это утверждение.На рисунке 1: точка А1 – центральная проекция точки А на плоскости проекций π1. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С1) на плоскости проекций π1 совпадает с проекцией точки А (А1):С ∈ SA;SC ∩ π1=C1 → C1 ≡ A1.Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.Чтобы устранить эту неопределенность, т. е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π2) и ещё один центр проецирования (S2) (см. Рисунок 2).center263525Рисунок 2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств00Рисунок 2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойствРисунок 2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойствРисунок 2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойствПостроим проекции точки А на плоскости проекций π2. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А1 на плоскость π1 и А2 на π2 одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В). [4]Свойство 2. Проекция прямой есть прямая.Докажем данное свойство.Соединим точки А и В между собой (см. Рисунок 2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π1=А1В1, где А1В1 – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов. [1]
Параллельное проецирование. Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций; [5]
Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.
Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (см. Рисунок 3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным. [6]center2613Рисунок 3 – Метод параллельного проецированияРисунок 3 – Метод параллельного проецированияРисунок 3 – Метод параллельного проецированияРисунок 3 – Метод параллельного проецированияВведём обозначения:Введём обозначения:Р – направление проецирования;π1 – горизонтальная плоскость проекций;A, B – объекты проецирования – точки;А1 и В1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π1.Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р, с плоскостью проекций π1.Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π1 в точке А1. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В1. Соединив точки А1 и В1, получим отрезок А1 В1– проекция отрезка АВ на плоскость π1.
Вывод по первому разделу работы. В данном разделе работы определялись виды и методы проецирования.Таким образом, в основе построения изображений, которые рассматриваются в начертательной геометрии и применяются в техническом черчении, лежит метод проецирования. Аппарат проецирования включает в себя лучи и плоскость проекций. Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.

2. Свойства ортогонального проецирования
Наряду со свойствами параллельного (косоугольного) проецирования ортогональное проецирование имеет следующие свойства.Свойство №1. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекции, а второй - разности расстоянии концов отрезка до этой плоскости. [2]Свойство №2. Любой отрезок прямой и плоская фигура, параллельные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость без искажения, например, если АВ ½½ П1, то ½ A1B1 ½ = ½AB ½ ; D ABC ½½ П1, то D A1B1C1 = D ABC.-10207303862Рисунок 4 – Свойство №2Рисунок 5 – Свойство №4Рисунок 4 – Свойство №2Рисунок 5 – Свойство №4Рисунок 4 – Свойство №2Рисунок 5 – Свойство №4Рисунок 4 – Свойство №2Рисунок 5 – Свойство №4Свойство №3. Проекция любой фигуры (плоской фигуры, отрезка прямой и т. д.) не может быть больше самой фигуры (как следствие п. 1 и 2).Свойство №4. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны, т. е., если a ^ b, и a ½½ П1, то a1 ^ b1.Пусть дано a ^ b. Построим проекцию a ^ b на П1. AA1 ^ П1 (как проецирующий луч), следовательно, плоскость Г (AA1 Ç b) также перпендикулярна П1. Прямая а перпендикулярна плоскости Г, так как она перпендикулярна двум прямым AA1 и b, принадлежащим плоскости Г. Но a1 ½½ a (a ½½ П1) и, следовательно, a ^ Г, откуда A1 перпендикулярна любой прямой плоскости Г, в том числе и b1. Отсюда справедливо, что a1 ^ b1.Это доказательство относится как к пересекающимся прямым, так и к скрещивающимся. Как видно из чертежа, если с Ì Г, а Г ^ Q , то c1 ^ a1.
Вывод по второму разделу работы. В данном разделе изучались свойства ортогонального проецирования.Таким образом, если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в остальных случаях – косоугольными. Свойства параллельного проецирования те же, что и при центральном, плюс еще одно свойство: параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

3. Чертеж Монжа
Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (см. Рисунок 6), или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называется косоугольным. [4, 7]Четырехугольник АА1В1В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π1 (γ⊥π1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.68961096047Рисунок 6 – Ортогональное проецированиеРисунок 6 – Ортогональное проецированиеРисунок 6 – Ортогональное проецированиеРисунок 6 – Ортогональное проецированиеОсновоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (см. Рисунок 7).До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки. [5]center-123913Рисунок 7 – Монж, Гаспар (1746–1818)Рисунок 7 – Монж, Гаспар (1746–1818)Рисунок 7 – Монж, Гаспар (1746–1818)Рисунок 7 – Монж, Гаспар (1746–1818)10 мая 1746 года родился французский математик Гаспар Монж, граф де Пелюз. Он наиболее известен как изобретатель начертательной геометрии как математической основы технического черчения, а также как отец дифференциальной геометрии.
Во время Французской революции Монж занимал пост морского министра и участвовал в реформе французской системы образования, помогая основать Политехническую школу.«Начертательная геометрия имеет две цели: первая - установить методы изображения на чертежной бумаге, которая имеет только два измерения, а именно длину и ширину, всех твердых тел природы, которые имеют три измерения - длину, ширину и глубину, - при условии, однако, что эти твердые тела способны к строгому определению.
Вторая цель состоит в том, чтобы предоставить средства для распознавания соответственно точного описания форм твердых тел и выведения таким образом всех истин, которые вытекают из их форм и соответствующих положений» - Гаспар Монж. Из книги «О цели начертательной геометрии».Молодость и образование. Монж родился в Боне в Бургундии, сын Жака Монжа (* 1718), купца и уличного торговца из Верхней Савойи, и Жанны Руссо (* ок. 1725). Он обучался в колледже ораторианцев в Боне. Эта школа предлагала более либеральное образование, чем другие религиозные школы, поэтому упор делался не только на гуманитарные науки, но и на историю, математику и естественные науки.
В 1762 году, в возрасте 16 лет, Монж отправился в Лион, где продолжил свое образование в Коллеж де ла Трините. Там он продолжал свое образование до 1764 года, когда вернулся в Боне. Когда Монжу было всего 17 лет, его назначили учителем физики. Он начал изобретать собственные приборы, чтобы выполнить крупномасштабный план города Боне. Работа Монжа была очень хорошо принята, и ее выставили в местной библиотеке, где она сохранилась до наших дней. Шедевр Монжа увидел и местный инженер, который рекомендовал молодого ученого в Королевскую школу инженеров в Мезьере, где он начал работать чертежником.Городские укрепления Гаспара Монжа.
Однако, к сожалению, Монжу не разрешили поступить в само учебное заведение. Он стал широко известен благодаря своим великолепным ручным навыкам, но его математические способности еще не были открыты. После года обучения в Королевской школе Монжа попросили разработать план фортификационных сооружений, чтобы оптимизировать оборону города. Вместо того чтобы рассчитывать задачи, Монж нашел решения с помощью чертежей.
Сначала его решение не было принято, поскольку он не затратил времени, которое считалось необходимым, но после изучения работы была признана ее ценность и отмечены исключительные способности Монжа. В 1770 году Монж был назначен преподавателем экспериментальной физики, а в 1786 году он написал и опубликовал свой «Трактат по статистике» (Traité élémentaire de la statique). В 1780 году он стал членом Французской академии наук; в это время началась его дружба с К. Л. Бертолле. [4]Французская революция и начертательная геометрия. Французская революция полностью изменила ход карьеры Монжа. Гаспар Монж был известен как убежденный сторонник Французской революции. В 1792 году он занял пост морского министра. Когда Комитет общественной безопасности обратился к академикам с призывом оказать помощь в защите республики, он полностью посвятил себя этим операциям и отличился своей энергией, написав «Описание искусства изготовления канонерок» (Description de l'art de fabriquer les canons) и «Описание изготовления акье» (Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication de l'acier). Монж внес большой вклад в создание школы общественных работ, впоследствии Политехнической школы.
Там Монж был назначен профессором начертательной геометрии, а позднее даже директором института.Унификация мер и весов. Гаспар Монж был одним из французских ученых, которые настаивали на введении системы мер и весов, основанной на десятичной системе. Десятичная система счисления была введена во Франции Гербертом д'Орильяком, который стал Папой Римским около 1000 года под именем Сильвестра II, но она еще не была распространена на весы и меры. Согласно декрету от 8 мая 1790 года, полученному Талейраном, Академии наук было поручено разработать систему унификации мер и весов. Гаспар Монж входил в состав Центральной комиссии по мерам и весам, которая должна была реализовать это решение, вместе с Кондорсе, Лапласом, Лагранжем и Борда.
Еще одна работа Монжа в томе за 1783 год посвящена получению воды путем сжигания водорода. Результаты Монжа были предвосхищены Генри Кавендишем. [3]Экспедиция Наполеона в Египет. В следующий период Монж присоединился к экспедиции Наполеона Бонапарта в Египет, участвуя вместе с Бертолле в научной работе Института Египта и Египетского института наук и искусств.
В 1798 году он впервые исследовал фата-моргану в Нижнем Египте. После Египта он последовал за Бонапартом в Сирию и вернулся во Францию в 1798 году. После второй реставрации в 1816 году в качестве ответной меры он был отстранен от всех должностей и исключен из списка Института. Гаспар Монж скончался 28 июля 1818 года, а через несколько лет после этого в Беане была установлена его статуя.Отец дифференциальной геометрии. Монж считается отцом дифференциальной геометрии благодаря своей работе «Применение анализа к геометрии», в которой он ввел понятие линий кривизны поверхности в трехмерном пространстве. Он разработал общий метод применения геометрии к проблемам строительства.
Он также ввел две плоскости проекций под прямым углом друг к другу для графического описания твердых объектов. Эти методы были обобщены в систему под названием описательная геометрия, которая сегодня известна как ортографическая проекция, графический метод, используемый в современном механическом черчении. Монж также дал свое имя общей проблеме теории транспорта, известной как проблема Монжа-Канторовича (или MKP, от Monge-Kantorovich Problem).
Последний получил Нобелевскую премию по экономике в 1975 году и известен тем, что в 1942 году доказал существование оптимального решения этой проблемы. Его имя выбито на Эйфелевой башне (номер 54/72).Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:
1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π1 и π2 (см. Рисунок 8). Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте.
Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей. [10]631707231819Рисунок 8 – Модель построения проекций точкиРисунок 8 – Модель построения проекций точкиРисунок 8 – Модель построения проекций точкиРисунок 8 – Модель построения проекций точкиπ1 – горизонтальная (первая) плоскость проекцийπ2 – фронтальная (вторая) плоскость проекцийπ1∩π2 — ось проекций (обозначим π2/π1)Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π1 и π2.Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π1 и π2 и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А1 – горизонтальная (первая) проекция точки А;А2 – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА1 и АА2 – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π1 и π2. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π1 и π2:АА1⊥π1А2А0⊥π2/π1 АА1 = А2А0 — расстояние от точки А до плоскости π1АА2⊥π2А1А0⊥π2/π1 АА2 = А1А0 — расстояние от точки А до плоскости π22. Совместим поворотом вокруг оси проекций π2/π1 плоскости проекций в одну плоскость (π1 с π2), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 8), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 9):137572014207Рисунок 9 – Ортогональный чертежРисунок 9 – Ортогональный чертежРисунок 9 – Ортогональный чертежРисунок 9 – Ортогональный чертежПрямоугольный или ортогональный носит название эпюр Монжа.Прямая А2А1 называется линией проекционной связи, которая соединяет разноимённые проекции точки (А2 — фронтальную и А1 — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А2А1⊥π2/π1. На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой: [10]А0 А1 – расстояние от точки А до плоскости π2, соответствующее координате yА;А0 А2 – расстояние от точки А до плоскости π1, соответствующее координате zА.Вывод по третьему разделу работы.
В данном разделе работы рассматривался чертеж Монжа.Таким образом, методы ортогонального проецирования используют другой подход к уменьшению размерности данных по сравнению с методами преобразования или выбора переменных.Преимущество этих методов заключается в лучшем определении размеров подпространства, описывающего максимум вариаций, связанных или не связанных с интересующей сущностью y, в многомерном пространстве. Поэтому для лучшего извлечения максимума информации, наиболее связанной с y (как показано в примерах, приведенных выше), методы ортогонального проецирования имеют преимущество в том, что делают регрессионную модель независимой от влияния вариаций в данных, не связанных с y.
Следовательно, методы ортогонального проецирования показывают улучшение интерпретируемости данных и модели. Они также показывают улучшение предсказательных характеристик модели за пределами диапазона калибровки и при наличии различных факторов влияния, которые могут воздействовать на спектральный сигнал. 4. Координатный метод задания точки на чертежеПусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. [2]Т
о есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):center533401. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций. Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π1 в исходное положение (когда π1⊥π2). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А1 и А2 восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π1и π2, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 10).11952325464Рисунок 10 – Построение эпюра точкиРисунок 10 – Построение эпюра точкиРисунок 10 – Построение эпюра точкиРисунок 10 – Построение эпюра точкиВведём третью (профильную) плоскость проекций π3 перпендикулярную π1 и π2 (задана осью проекций π2/π3).Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘0A3 позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π2. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(XA; YA; ZA) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A1=(XA; YA); A2=(XA; ZA)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 11, а и б). 151027169826Рисунок 11 – Построение эпюра точки по её координатамРисунок 11 – Построение эпюра точки по её координатам Рисунок 11 – Построение эпюра точки по её координатамРисунок 11 – Построение эпюра точки по её координатамПо расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит под осью координат X , а фронтальная — А2 – над осью X, то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит над осью координат X, а фронтальная — А2 – под осью X, то точка А принадлежит 3-му квадранту;если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат над осью X, то точка А принадлежит 2-му квадранту;если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат под осью X, то точка А принадлежит 4-му квадранту;если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения.Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки. Таблица 1.Зависимости квадранта положения точки и знаков координатXYZI+++II+—+III+——IV++—Вывод по четвертому разделу работы. В данной работе анализировался координатный метод задания точки на чертеже.Таким образом, при построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться инвариантным свойством ортогонального проецирования 1): проекция точки – это всегда точка.Простейшим способом определения местоположения точки в трехмерном, пространстве при использовании в качестве системы отсчета декартовой системы координат является вычисление трех ее координат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В начертательной геометрии чертеж является основным инструментом решения различных пространственных задач. Поэтому к выполняемому чертежу предъявляются ряд особых требований, среди которых наиболее существенными являются следующие: чертеж должен быть наглядным, обратимым, достаточно простым и точным.center14732000Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством понимается точное воспроизведение формы и размеров предмета по его изображению. Действительно для всех видов технических и горно-геологических чертежей это требование является особенно важным, так как при помощи чертежа в машиностроении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется проходка горных выработок, в геологии – оценка запасов полезного ископаемого и т. д.Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование.Выбираем центр проецирования - произвольную точку S пространства и поверхность проецирования, не проходящую через точку S, например, плоскость проекций p0. Для того, чтобы спроецировать некоторую точку A пространства на плоскость p0, необходимо через центр проецирования S провести проецирующую прямую SA до ее пересечения в точке A0 с плоскостью p0.При этом точка A0 называется проекцией точки A на плоскости p0. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования. Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования, называется центральным.center15935500В случае, если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки пространства, то все проецирующие прямые окажутся взаимно параллельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направление m, по которому оно осуществляется, - направлением (вектором) проецирования.Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то оно называется прямоугольным или ортогональным.
Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, обладают хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако, этот метод имеет существенные недостатки, заключающиеся, во-первых, в сложности построения изображения предмета и, во-вторых, в низких метрических свойствах построенных проекций: вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма затруднительно.
Поэтому этот способ имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.Несмотря на то, что параллельное проецирование по сравнению с центральным дает меньшую наглядность, параллельные проекции и особенно ортогональные обладают лучшей измеримостью и простотой построения.Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предметов по их изображению.
К таким задачам относятся задачи по определению натуральной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними. В горно-геологической практике – это задачи на определение глубины и угла наклона буровых скважин, угла падения пласта полезного ископаемого, углов между осями горных выработок и т. п.В позиционных задачах определяется взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.
Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используются несколько систем изображений

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Белякова, Е.И. Начертательная геометрия / Е. И. Белякова. - Минск: Новое знание, 2021. - 248 c.Бударин, О.С. Начертательная геометрия. Краткий курс: Учебное пособие / О.С. Бударин. - СПб.: Лань, 2020. - 352 c.Волошин-Челпан, Э.К. Начертательная геометрия. Инженерная графика / Э. К. Волошин-Челпан. - М.: Академический проект, 2020. - 183 c.Георгиевский, О.В. Начертательная геометрия и инженерная графика: Мет. пос. / О.В. Георгиевский. - М.: АСВ, 2020. - 140 c.Зеленый, П.В. Начертательная геометрия. Практикум: Учебное пособие / П.В. Зеленый. - М.: Инфра-М, 2017. - 39 c.Климухин, А.Г. Начертательная геометрия / А.Г. Климухин. - М.: Архитектура-С, 2020. - 336 c.Кувшинов, Н.С. Начертательная геометрия. краткий курс (для спо) / Н. С. Кувшинов. - М.: КноРус, 2017. - 320 c.Маслова, Н.М. Начертательная геометрия / Н. М. Маслова, В. Н. Тимофеев. - М.: МГИУ, 2020. - 44 c.Нартова, Л.Г. Начертательная геометрия: Учебник / Л. Г. Нартова. - М.: Academia, 2018. - 512 c.Одиноков, И.П. Начертательная геометрия: Учебное пособие / Ю. А. Зайцев, И.П. Одиноков, М.К. Решетников; под ред. Ю. А. Зайцева. - М.: НИЦ Инфра-М, 2020. - 248 c.ПРИЛОЖЕНИЯПриложение А.Упражнение №1Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка .Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты XA=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты ZA=40, а вниз – значение координаты YA=20. Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.center3093700Приложение Б.Упражнение №2center605436По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций. center75003800Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π1, π2, π3Постройте проекции точки:Е, симметричной точке А относительно плоскости проекций π1;F, симметричной точке В относительно плоскости проекций π2;G, симметричной точке С относительно оси проекций π2/π1;H, симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π1 на 40 мм, от π2 — на 15 мм.